高考數(shù)列問(wèn)題的解題方法與技巧

☉江蘇省泰興中學(xué) 錢(qián)繼兵

數(shù)列是由一列有序的數(shù)組成的集合，其定義域?yàn)檎麛?shù)集以及它的有限子集.在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)列與其他知識(shí)點(diǎn)有很強(qiáng)的聯(lián)系性，例如函數(shù)、方程、簡(jiǎn)易邏輯、幾何、不等式等內(nèi)容.在大學(xué)學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)中，例如差分方程、級(jí)數(shù)等知識(shí)點(diǎn)也是建立在數(shù)列之上的.除此之外，數(shù)列還與我們的生活息息相關(guān)，在人口增長(zhǎng)、分期付款等問(wèn)題上都可以利用數(shù)列的知識(shí)進(jìn)行解決.由此可見(jiàn)，數(shù)列既是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)，同時(shí)也是連接理論學(xué)習(xí)和生活實(shí)踐的紐帶，學(xué)好數(shù)列知識(shí)對(duì)學(xué)生有著非常重要的意義.

一、數(shù)列部分的高頻考點(diǎn)

筆者對(duì)近些年高考試題的分析后發(fā)現(xiàn)，數(shù)列知識(shí)的考查是高考中的一個(gè)重點(diǎn)，不僅涉及填空題，而且很多壓軸題的解題都與數(shù)列知識(shí)有關(guān).數(shù)列分等差數(shù)列和等比數(shù)列.在等差數(shù)列中，學(xué)生應(yīng)重點(diǎn)掌握等差數(shù)列的概念、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、等差數(shù)列和一次函數(shù)之間的關(guān)系這些知識(shí)點(diǎn)并知道如何將等差數(shù)列和實(shí)際應(yīng)用結(jié)合起來(lái)進(jìn)行解題；在等比數(shù)列中，除了等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及求和公式這些基本概念之外，學(xué)生還應(yīng)當(dāng)熟悉等比數(shù)列和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系并會(huì)運(yùn)用等比數(shù)列解決實(shí)際問(wèn)題.高考中?？嫉闹R(shí)點(diǎn)有：（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式.這個(gè)考點(diǎn)的考法主要是對(duì)公式的考查，可以給出遞推公式讓考生求通項(xiàng)公式，也可能給出第n項(xiàng)與前n項(xiàng)和讓考生求通項(xiàng)公式，通常這一類(lèi)題目的難度設(shè)置為中等水平.（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.這個(gè)考點(diǎn)主要是考查學(xué)生對(duì)求和公式的掌握程度.（3）數(shù)列的性質(zhì).這個(gè)考點(diǎn)難度的設(shè)置處于中等水平.（4）數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題.這一類(lèi)題目的難度較高，同時(shí)分值較大，在壓軸題中比較常見(jiàn).

二、數(shù)列問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解法

（一）數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

通項(xiàng)公式是數(shù)列部分的基礎(chǔ)知識(shí)也是核心知識(shí)，數(shù)列許多性質(zhì)的研究是建立在通項(xiàng)公式的基礎(chǔ)之上的.高中數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的考查比較常見(jiàn)，主要是以已知第n項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系求通項(xiàng)公式和給出遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式這兩種形式出題來(lái)考查學(xué)生.

1.觀察歸納法求通項(xiàng)公式

例1 寫(xiě)出下列各個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：

（4）3，33，333，3333，….

解：（1）通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)是從4開(kāi)始的偶數(shù)，因此通項(xiàng)公式為an=2n+2（.2）通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，每一項(xiàng)的分母都是比分子大1，而分母是2的n次冪的形式，因此該數(shù)列的通項(xiàng)公式可以寫(xiě)成3）該數(shù)列帶有交替的正負(fù)號(hào)，因此要在通項(xiàng)公式中加入（-1）n+1這個(gè)因式，再將原數(shù)列中的符號(hào)去掉，進(jìn)行觀察.可以將第二這樣可以看出分母全部為正奇數(shù)：3，5，7，9，11，13…，分子可以寫(xiě)成12+1，22+1，32+1，42+1，52+1，62+1，…，因此該數(shù)列的通項(xiàng)公式為（4）這個(gè)數(shù)列可以寫(xiě)成…，分子可以寫(xiě)成（10-1），（102-1），（103-1），（104-1），…，而分母都是3.因此通項(xiàng)公式可以寫(xiě)成的形式.

點(diǎn)評(píng)：在做這一類(lèi)型的題目時(shí)，要仔細(xì)觀察數(shù)列的前幾項(xiàng)，把握好數(shù)列以下幾個(gè)方面的特點(diǎn)：（1）數(shù)列分式中分子、分母的變化規(guī)律；（2）相鄰項(xiàng)之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)；（3）拆項(xiàng)之后相鄰項(xiàng)之間的變化規(guī)律；（4）正負(fù)號(hào)變化的的特點(diǎn).對(duì)這些特點(diǎn)進(jìn)行觀察并歸納總結(jié)對(duì)于掌握這一類(lèi)型題目的解法非常有幫助.

2.遞推法求通項(xiàng)公式

例2 已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an=2an-1+3（n≥2）且a1=1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解法1（遞推法）：an=2an-1+3=2（2an-2+3）+3=2［2（2an-3+3）+3］+3=…=2n-1+3（1+2+22+…+2n-2）2n+1-3.

解法2（構(gòu)造法）：設(shè)an-1+c=2（an+c），即c=3.因此數(shù)列{an+3}的首項(xiàng)為a1+3=4，公比為2，則an+3=4·2n-1=2n+1，則an=2n+1-3.

點(diǎn)評(píng)：這種遞推法和構(gòu)造法適合an+1=pan+q（p≠1）的類(lèi)型.

（二）數(shù)列前n項(xiàng)和的求法

數(shù)列求和同時(shí)也是數(shù)列問(wèn)題中常出的題型之一，對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和講究一定的方法和技巧，但這些技巧都是建立在求和公式的基礎(chǔ)之上的.

1.公式法

例3 已知的前n項(xiàng)和.

解：由已知條件l，從而解得x=由等比數(shù)列的求和公式得

2.錯(cuò)位相減法

在求等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，如遇到形如求{an·bn}這一類(lèi)形式的前n項(xiàng)和，其中{an}，{bn}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列時(shí)可以運(yùn)用錯(cuò)位相減法進(jìn)行靈活地化簡(jiǎn)、簡(jiǎn)便解題.

例4求和：Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n-1）xn-1（x≠1）.

解：由題意可知，{（2n-1）xn-1}的通項(xiàng)公式是由一個(gè)等差數(shù)列{2n-1}和一個(gè)等比數(shù)列{xn-1}相乘得到的.設(shè)xSn=x+3x2+5x3+7x4+…+（2n-1）xn（設(shè)置錯(cuò)位）.將Sn和xSn的求和式子相減能夠得到（1-x）Sn=1+2x+2x2+2x3+2x4…+2xn-1-（2n-1）xn（錯(cuò)位相減）.由等比數(shù)列的求和公式得（1-x）Sn=1+

3.反序相加求和法

顧名思義，倒序相加求和法就是指將數(shù)列以相反的順序進(jìn)行排列，并和原來(lái)的數(shù)列進(jìn)行相加，從而可以得到n個(gè)（a1+an）.

例5 求Sn=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值.

解：原式Sn=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°，并將該式以相反的順序進(jìn)行排列：Sn=sin289°+sin288°+…+sin23°+sin22°+sin21°，又由三角函數(shù)的性質(zhì)可知，sin x=cos（90°-x），sin2x+cos2x=1，從而將兩式相加，得到2Sn=（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin289°+cos289°）=1+1+1+…+1=89.因此解得Sn=44.5.

4.裂項(xiàng)相消法

裂項(xiàng)相消法是指在對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和的過(guò)程中，將數(shù)列的通項(xiàng)公式拆分成兩項(xiàng)差，這樣在計(jì)算的過(guò)程中能夠產(chǎn)生正負(fù)項(xiàng)的相互抵消，從而化簡(jiǎn)計(jì)算，只需計(jì)算最終剩下的幾項(xiàng)便可以對(duì)整個(gè)復(fù)雜的數(shù)列進(jìn)行求和.這種方法適用的范圍比較廣，但必須要保證將等差數(shù)列拆分后各個(gè)項(xiàng)都不是0，只有這樣才能利用等差數(shù)列公式d=an+1-an進(jìn)行求和.裂項(xiàng)相消法能夠很好地體現(xiàn)出數(shù)學(xué)中分解與組合的數(shù)學(xué)思維.

在利用裂項(xiàng)相消法對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和時(shí)，可以按照下列步驟進(jìn)行化簡(jiǎn)和計(jì)算：（1）首先對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行分析，然后有規(guī)律地將其分解成若干項(xiàng)，分解時(shí)一定要注意這些項(xiàng)能夠相互抵消.（2）對(duì)各個(gè)項(xiàng)進(jìn)行通項(xiàng)，使得它們的值為1，2，3，…n，相加從而得到Sn.（3）將式子中相互抵消的項(xiàng)刪去，便可以通過(guò)剩下的幾項(xiàng)求得數(shù)列的和.在整個(gè)解題過(guò)程中要保持時(shí)刻清醒，要弄清哪些項(xiàng)是要消去的，哪些項(xiàng)是要保留的.

例6 已知數(shù)列{an}：1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

三、逆向思維在數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)中，逆向思維是非常重要的一種數(shù)學(xué)思維，當(dāng)學(xué)生解不出一道題時(shí)可以運(yùn)用逆向思維換一個(gè)角度進(jìn)行思考，在數(shù)列部分知識(shí)的考查中也常用到逆向思維.

例7 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2Sn=3n+3，求{an}的通項(xiàng)公式.

解： 當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=3，當(dāng)n≥2時(shí)可以得到an=3n-1.

因此，當(dāng)n=1時(shí)，a1=3；當(dāng)n≥2時(shí)，an=3n-1.

點(diǎn)評(píng)：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式，可以利用數(shù)列最基本的性質(zhì)即an=Sn-Sn-1（n≥2）進(jìn)行巧妙化簡(jiǎn)，從而快速解出{an}的通項(xiàng)公式.

數(shù)列在高考中占有非常重要的地位.數(shù)列問(wèn)題的解題方法和技巧還有很多，以上分析是筆者教學(xué)的一點(diǎn)心得，管窺之見(jiàn)，權(quán)作引玉之磚.H