高考數(shù)學(xué)不等式試題分類與解析

☉安徽省臨泉第一中學(xué) 李曉燕

不等式是高考數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)，也是熱門考點(diǎn)，它具有較強(qiáng)的“連通性”，通過不等式能夠?qū)⒏咧袛?shù)學(xué)中的很多知識(shí)聯(lián)合起來，然后以一種綜合性問題的方式出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)的壓軸題當(dāng)中，對(duì)學(xué)生分析問題、解決問題的能力提出了較高的要求.研究高考數(shù)學(xué)不等式部分試題的種類和主要考點(diǎn)，對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，幫助學(xué)生學(xué)好不等式部分的知識(shí)具有重要的意義.

一、高考數(shù)學(xué)不等式試題類型

通過對(duì)近10年全國各地的高考數(shù)學(xué)試卷的統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，高考數(shù)學(xué)對(duì)于不等式的考查主要分為兩個(gè)方面：一方面，是直接通過所學(xué)的知識(shí)來解不等式，另一方面，是借助不等式的工具性，結(jié)合其他部分的知識(shí)進(jìn)行考查.對(duì)于不等式的考查很少是單純地解不等式或者證明不等式，更多地是與函數(shù)、數(shù)列、圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)等部分的知識(shí)相結(jié)合，通過不等式的工具性來求定義域、單調(diào)性或取值范圍等.

（一）不等式的性質(zhì)判斷及應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)不等式共有9條性質(zhì)，分別是對(duì)稱性、傳遞性、加法單調(diào)性、同向不等式可加性、乘法單調(diào)性、同向正值不等式可乘方、正值不等式可乘方、正值不等式可開方和倒數(shù)法則.在高考試題中，我們很少發(fā)現(xiàn)會(huì)有題目單獨(dú)考查不等式的性質(zhì)，它常常與其他知識(shí)結(jié)合來考查.常見的題型主要有以下幾種：

第一種，利用不等式的性質(zhì)，就不等式變換中的條件和結(jié)論是否是充分、必要條件展開討論.該類題目主要結(jié)合實(shí)數(shù)和三角函數(shù)等部分知識(shí)來出題.考生在解決這類問題的時(shí)候不僅要準(zhǔn)確掌握不等式的相關(guān)性質(zhì)，還要對(duì)充分必要條件的相關(guān)知識(shí)也要準(zhǔn)確把握，在解題的時(shí)候，重點(diǎn)要放在對(duì)原有不等試的靈活轉(zhuǎn)化上.

例1 在給定的下列四個(gè)條件中，能夠使a＞b成立的充分不必要條件是（ ）.

（A）a＞b+1 （B）a＞b-1 （C）a2＞b2（D）a3＞b3

對(duì)于這道題，不僅考查了學(xué)生對(duì)充要條件的把握，還考查了同向不等式的可加性和正值不等式的可乘方的性質(zhì)，結(jié)合不等式的性質(zhì)，可以非常容易地得出正確答案.另外，2016年和2017年上海卷；2015年天津卷和安徽卷；2017年浙江卷、天津卷、重慶卷都出現(xiàn)過類似的問題.

第二種，判斷數(shù)值的大小，這一類型的問題一般會(huì)與函數(shù)和代數(shù)式部分的知識(shí)相結(jié)合，考查學(xué)生根據(jù)已知條件，借助不等式的性質(zhì)，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最終求出實(shí)數(shù)值的能力.

例2 如果實(shí)數(shù)x，y同時(shí)滿足3≤xy2≤8，4的最大值是多少？

在解決這類問題的時(shí)候，首先通過設(shè)元的方式對(duì)原式進(jìn)行變形，設(shè)，變形后得出的最大值就是要求出b2的最大值和a的最小值，這樣就可以根據(jù)原式中給出的定義域，結(jié)合不等式的倒數(shù)性質(zhì)，求出原函數(shù)的最大值.

第三種，判斷不等式是否成立，這一類問題先給出一定的不等式條件，然后借助不等式的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)和實(shí)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，來判斷給出的不等式是否成立.

例3 如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么下列不等式一定成立的是（ ）.

在解決這一類問題的時(shí)候，要先把握好要考查的內(nèi)容，該題主要考查不等式同向同值不等式可乘性的性質(zhì)，因此，可以根據(jù)題目中給定的在已知條件進(jìn)行變形，由于c＜d＜0，a＞b＞0，那么就可以推出.2016年全國理科數(shù)學(xué)試卷第8題就是這一類型，它是結(jié)合實(shí)數(shù)取整的性質(zhì)來進(jìn)行求解.

（二）求解不等式

求解不等式除了直接求不等式以外，還會(huì)跟函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)相結(jié)合來考查不等式的解法.因此，大體上可以分為兩類：直接解簡單不等式和其他知識(shí)背景下解不等式.直接解不等式類問題主要出現(xiàn)在試卷中的選擇題或填空題部分，可以通過同解變形的方式來完成.

例4 求不等式x2+x-2的解集是多少？

對(duì)于這一類問題，可以利用公式法或者圖像法來進(jìn)行求解，是不等式求解中的基礎(chǔ)問題.另外，還有解分式不等式、解無理不等式、解函數(shù)不等式、解分段不等式、解絕對(duì)值不等式等，在解分式不等式的時(shí)候可以將原不等式轉(zhuǎn)化為同解變形式或不等式組來求解，在約分的過程中要注意變形的等價(jià)性；在解絕對(duì)值不等式的時(shí)候，去掉絕對(duì)值后要對(duì)原式進(jìn)行分類討論，有其中含有參數(shù)的絕對(duì)值，一定要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.

其他背景下考不等式的解法主要有：函數(shù)、集合、導(dǎo)數(shù)、充要條件、方程、三角函數(shù)等知識(shí)背景下求解不等式.在解決這類問題時(shí)，需要借助不等式的相關(guān)知識(shí)，從這些背景中抽象出不等式模型，然后再進(jìn)行求解.

例5函數(shù)f（x）=lg（x-2）的定義域是多少？

解決這類問題就要借助背景知識(shí)的相關(guān)性質(zhì)，得出x-2＞0，最終求出函數(shù)f（x）=lg（x-2）的定義域.

（三）證明不等式

在高考數(shù)學(xué)中，證明不等式常常是以壓軸題的形式出現(xiàn)，一般主要有以下幾種形式：直接證明一般不等式；證明數(shù)列不等式；證明函數(shù)不等式.其中，出現(xiàn)頻率最多的就是證明數(shù)列不等式，下面就列舉證明數(shù)列不等式的例子.

例6 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，其中a1=1

（1）求a2的值是多少？

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（3）證明：一切正整數(shù)條件下，都有

在解決數(shù)列不等式的時(shí)候，要根據(jù)不同的數(shù)列不等式選擇不同的方法，其主要方法有：放縮法，就是根據(jù)不等式的性質(zhì)，對(duì)不等式進(jìn)行放縮，該題的第三問就需要使用放縮法進(jìn)行求解；比較法、遞推法、構(gòu)造函數(shù)法、歸納法、分類討論法、性質(zhì)法、定積分法等.

（四）應(yīng)用不等式

應(yīng)用不等式主要包括線性規(guī)劃、不等式恒成立、最值和取值范圍類問題，其中線性規(guī)劃類問題是近幾年高考數(shù)學(xué)經(jīng)常出現(xiàn)的考點(diǎn).線性規(guī)劃類問題除了直接考查學(xué)生求目標(biāo)函數(shù)的最值以外，還會(huì)結(jié)合數(shù)列、幾何問題來考察學(xué)生的綜合解題能力.

例7平面中有一點(diǎn)集B=（{x，y）|(x-1)2+(y-1)2≤1}，那么A∩B所表示的圖形的面積是（ ）.

通過對(duì)近幾年的高考數(shù)學(xué)試題統(tǒng)計(jì)來看，對(duì)于線性規(guī)劃問題解題的重點(diǎn)在于建立線性模型，尤其是當(dāng)遇到那些不能夠直接給定約束條件的題目，要將它們進(jìn)行轉(zhuǎn)化，建立起標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃模型.

二、高中數(shù)學(xué)不等式復(fù)習(xí)建議

首先，要重視數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.通過對(duì)近些年高考數(shù)學(xué)不等式部分的考題分析不難看出，每年的題目類型都是在不斷變化的，但是這些變化怎么變都離不開“數(shù)學(xué)思想”，只要理解了題目中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，就能夠很容易的解決這一問題.在教學(xué)中要重視劃歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論的應(yīng)用，在同解變形的過程中就是利用了劃歸與轉(zhuǎn)化這數(shù)學(xué)思想，將無理不等式、分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式.借助數(shù)形結(jié)合的思想，能夠在解一元二次不等式時(shí)很快的求出解集，能夠在解絕對(duì)值不等式時(shí)避免數(shù)軸分類錯(cuò)誤的產(chǎn)生.借助分類討論的思想，能夠縮小題目討論的范圍，簡化題目.

其次，要注重解題方法的掌握.在證明不等式時(shí)，可以采用歸納法、放縮法、分析法等，在解決恒成立問題時(shí)，可以采用分離參數(shù)法等，在平時(shí)的教學(xué)中就要注重這些方法的講授.H