☉江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué) 陳 蓬
分類討論的思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,其基本思路是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問題,通過對(duì)基礎(chǔ)性問題的解答來實(shí)現(xiàn)解決原問題的思想策略.對(duì)問題實(shí)行分類與整合,分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個(gè)已知條件,實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè),將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題),優(yōu)化解題思路,降低問題難度.
分類討論的常見類型主要有:(1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論:有的概念本身是分類的,如絕對(duì)值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等;(2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論;(3)由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論;(4)由圖形的不確定性引起的分類討論;(5)由參數(shù)的變化引起的分類討論等.
常見分類討論:指數(shù)函數(shù)y=ax底數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax,直線中的斜率k,等比數(shù)列的公比q,分離系數(shù),定義(等差數(shù)列、等比數(shù)列、奇偶性、圓錐曲線的定義等)引起的分類討論,二次項(xiàng)系數(shù),一元二次函數(shù)的判別式Δ,軸與區(qū)間的關(guān)系,零點(diǎn)大小,零點(diǎn)與區(qū)間的位置關(guān)系,端點(diǎn)函數(shù)值的大小,圖像位置關(guān)系(上下方、交點(diǎn)),絕對(duì)值的分類談?wù)摰?在分類討論中我們要遵循不重不漏、層次分明、先易后難的原則,下面主要就分類討論思想在含參型函數(shù)運(yùn)用進(jìn)行研究.
例1設(shè)函數(shù)f(x)=|ax-x2|+2b(a,b∈R).
(1)當(dāng)b=0時(shí),若不等式f(x)≤2x在x∈[0,2]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若a為常數(shù),且函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
分析:絕對(duì)值符號(hào)在函數(shù)問題中是常見的符號(hào),可以通過正負(fù)分析法去絕對(duì)值符號(hào),也可以通過絕對(duì)值不等式去絕對(duì)值,在二次含參型函數(shù)中,充分分析因參數(shù)引起的軸與區(qū)間的位置關(guān)系,在求最值時(shí)考慮端點(diǎn)取值的大小關(guān)系.
解:(1)當(dāng)b=0時(shí),若不等式x|a-x|≤2x在x∈[0,2]上恒成立.
當(dāng)x=0時(shí),不等式恒成立,則a∈R.
當(dāng)0<x≤2時(shí),則|a-x|≤2在(0,2]上恒成立,即-2≤x-a≤2在(0,2]上恒成立.
因?yàn)閥=x-a在(0,2]上單調(diào)遞增,ymax=2-a,ymin>-a,則
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0,2].
(2)函數(shù)f(x)在[0,2]上存在零點(diǎn),即方程x|a-x|=-2b在[0,2]上有解.
當(dāng)a≤0時(shí),則h(x)=x2-ax,x∈[0,2],且h(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,所以h(x)min=h(0)=0,h(x)max=h(2)=4-2a,則當(dāng)0≤-2b≤4-2a時(shí),原方程有解,則a-2≤b≤0.
點(diǎn)評(píng):在問題(1)中可以利用絕對(duì)值不等式去絕對(duì)值,從而進(jìn)行分離變量,將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題,在問題(2)中首先根據(jù)a對(duì)二次函數(shù)圖像的影響進(jìn)行分類討論,進(jìn)而根據(jù)軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行二次分類討論,當(dāng)0<a<2,根據(jù)單調(diào)性可以知道函數(shù)的最大值在區(qū)間端點(diǎn),根據(jù)大小分析法解決函數(shù)的最大值,在解題過程在要遵循先易后難的原則.
例2已知函數(shù)f1(x)=3|x-p1|,f2(x)=2·3|x-p2|(x∈R,p1,p2為常數(shù)).函數(shù)f(x)定義為:對(duì)每個(gè)給定的實(shí)數(shù)x,f(x)=
(1)求(fx)=f(1x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x成立的充分必要條件(用p1,p2表示);
(2)設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),滿足a<b,且p1,p2∈(a,b).若(fa)=(fb),求證:函數(shù)(fx)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)遞增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為(閉區(qū)間[m,n]的長(zhǎng)度定義為n-m).
分析:在讀題的過程中,聯(lián)想到函數(shù)f(1x)=3|x-p1|,f(2x)=2·3|x-p2|的圖像,借助圖像的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.
解:(1)由(fx)的定義可知,(fx)=f(1x)(對(duì)所有實(shí)數(shù)x)等價(jià)于f(1x)≤f(2x)(對(duì)所有實(shí)數(shù)x),這又等價(jià)于3|x-p1|≤2·3|x-p2|,即3|x-p1|-|x-p2|≤3log32=2對(duì)所有實(shí)數(shù)x均成立(.*)
由于|x-p1|-|x-p2|≤(|x-p1)-(x-p2)|=|p1-p2(|x∈R)的最大值為|p1-p2|,故(*)等價(jià)于3|p1-p2|≤2,即|p1-p2|≤log32,這就是所求的充分必要條件.
(2)分兩種情形討論:
(i)當(dāng)|p1-p2|≤log32時(shí),由(1)知,(fx)=f(1x)(對(duì)所有實(shí)數(shù)x∈[a,b]),則由(fa)=(fb)及a<p1<b易知調(diào)性可知,函數(shù)(fx)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度為示意圖如圖1).
圖1
這表明x0在p1與p2之間.由⑴易知,
綜上可知,在區(qū)間[a,b]上,
(示意圖如圖2)
圖2
故由函數(shù)f(1x)及f(2x)的單調(diào)性可知,(fx)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)遞增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為(x0-p1)+(b-p2).
由于 (fa)=(fb),即3p1-a=2·3b-p2,得p1+p2=a+b+log32.②
故由①②得(x0-p1)+(b-p2)=b-
綜合(i)(ii)可知,(fx)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)遞增區(qū)間的長(zhǎng)度和
分類討論是數(shù)學(xué)解題的思想,通過層次分明、代數(shù)入微的書寫,準(zhǔn)確的表達(dá)才能增強(qiáng)解題過程的準(zhǔn)確性,通過以上例題分析不難發(fā)現(xiàn)在解題過程中我們往往要借助數(shù)形結(jié)合思想才能使得分類討論更加簡(jiǎn)潔和精準(zhǔn)(含參型函數(shù)、數(shù)形結(jié)合分類討論、代數(shù)書寫),數(shù)形結(jié)合可以直觀地揭示含參型函數(shù)問題本質(zhì),而數(shù)形結(jié)合又不能視為我們的解題過程,因此將數(shù)形結(jié)合能夠通過分類討論思想分析,進(jìn)而進(jìn)行代數(shù)化精準(zhǔn)書寫才是做此類問題的關(guān)鍵.H