基于邏輯推理素養(yǎng)的高三復(fù)習(xí)教學(xué)*

☉福建省廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 林運(yùn)來

一、問題提出

1.何為邏輯推理素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展需要的人的關(guān)鍵能力與思維品質(zhì).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》就是在大力倡導(dǎo)建構(gòu)學(xué)生核心素養(yǎng)的背景下進(jìn)行的修訂，此次修訂將數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)歸納為：用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，明確提出了6個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.

邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過程.邏輯推理是由已經(jīng)總結(jié)出來的規(guī)律推出新的規(guī)律，是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，是人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì).

2.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課現(xiàn)狀

當(dāng)前高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課存在“輕視教材，重視題目”的傾向，教師把教材“丟棄”在一邊，將教輔資料奉為圭臬，把主要時(shí)間都花在講解公式、性質(zhì)、定理和結(jié)論應(yīng)用的例題上，對(duì)公式、性質(zhì)、定理和結(jié)論的證明教學(xué)簡單帶過，一道例題接著一道例題，然后鞏固訓(xùn)練.由于受教師的影響，不少學(xué)生頭腦里往往只留下公式、性質(zhì)、定理的外殼，忽視它們的來龍去脈，應(yīng)用時(shí)只會(huì)“死記硬背，生搬硬套”.而采取死記硬背的方式，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解和把握大多是不正確的，伴隨認(rèn)知過程所產(chǎn)生的情意過程大多是消極的、負(fù)面的，死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練所形成的數(shù)學(xué)技能往往是片面、畸形的，相應(yīng)的數(shù)學(xué)能力其實(shí)很難形成，而未能獲得理解、尚未內(nèi)化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程對(duì)于學(xué)生健全人格的塑造，其實(shí)是負(fù)面的.［1］

近期筆者對(duì)一道高考題進(jìn)行變式教學(xué)，精心創(chuàng)設(shè)問題情境，促進(jìn)學(xué)生建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，引導(dǎo)學(xué)生提高邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，教學(xué)中感觸頗多.

二、試題及評(píng)析

引題在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）間的“L—距離”定義為||P1P2||=|x1-x2|+|y1-y2|，則平面內(nèi)與x軸上兩個(gè)不同的定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的“L—距離”之和等于定值（大于||F1F2||）的點(diǎn)的軌跡可以是圖1中的（ ）.

圖1

評(píng)析：此題是2014年福建高考卷文科12題，試題通過定義“L—距離”，要求考生探究動(dòng)點(diǎn)的軌跡，考查學(xué)生即時(shí)學(xué)習(xí)的能力，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).對(duì)問題追根溯源，不難發(fā)現(xiàn)此題源于對(duì)教材“兩點(diǎn)間距離公式”以及“橢圓第一定義”的深加工，以新穎別致的面目呈現(xiàn)，具有概念學(xué)習(xí)的深刻意蘊(yùn).“L—距離”定義形式簡潔優(yōu)美，具有很好的對(duì)稱性，選擇支給出的四個(gè)圖形都具有對(duì)稱美，令人賞心悅目.解答時(shí)要求考生通過對(duì)問題情境的轉(zhuǎn)化，揭示“L—距離”的本質(zhì)屬性，能有效診斷、甄別學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平，是一道內(nèi)涵豐富的好題.

三、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

1.結(jié)合生活實(shí)際，創(chuàng)設(shè)問題情境

教師出示問題情境：在一些城市中，街道大多是相互垂直或平行的，從城市的一點(diǎn)到達(dá)不在同一條街道上的另一點(diǎn)，常常不能僅僅沿直線方向行走，而只能沿街走（轉(zhuǎn)直角彎，很像字母L的手寫體）.因此我們可以引入平面直角坐標(biāo)系，對(duì)給定兩點(diǎn)P1（x1，y1）和P2（x2，y2），用以下方式定義P1與P2間的“L—距離”：||P1P2||=|x1-x2|+|y1-y2|.

師：類比教材中“兩點(diǎn)間距離”，你能探究得出“L—距離”的某些性質(zhì)嗎？證明你的結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)教學(xué)要從生活和社會(huì)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，要從學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、生活經(jīng)驗(yàn)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中不斷積累數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn)，形成和發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).教師對(duì)高考題進(jìn)行變式，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)設(shè)置問題情境，學(xué)生要解答這個(gè)問題必須具備一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，能夠理解定義，在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行推理.既讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)源于生活，又知道了課本以外的知識(shí)，更激發(fā)了對(duì)未知事物的好奇與探究的激情和興趣，而且結(jié)論是開放的，給學(xué)生很大的思考與探討的空間.

生1：||P1P2||≥0.

生2：||P1P2||=||P2P1||.

師：太棒了！生1提出的性質(zhì)可以稱為非負(fù)性，生2提出的性質(zhì)可以稱為對(duì)稱性.還有沒有哪個(gè)同學(xué)愿意給大家分享自己的發(fā)現(xiàn)？

生3：對(duì)平面上三點(diǎn)P1，P2，P3，都有||P1P3||≤||P1P2||+||P2P3||.

師：說一說，你是怎么想到的？你能證明嗎？

生3：老師你剛才指出了前面兩個(gè)同學(xué)提出的性質(zhì)，我發(fā)現(xiàn)這兩條性質(zhì)與學(xué)習(xí)過的“兩點(diǎn)間距離”的性質(zhì)類似，于是聯(lián)想到“三角形不等式”，就得出這個(gè)性質(zhì)，證明也比較容易.

師：非常好！生3的發(fā)現(xiàn)表明“L—距離”滿足“三角形不等式”這一性質(zhì).大家還有沒有其他發(fā)現(xiàn)？

生4：||P1P2||≥||P1P2||.

師：這個(gè)發(fā)現(xiàn)聯(lián)系到兩種距離，非常好！你能證明你的結(jié)論嗎？

生4：我想到兩種證明方法，一種是代數(shù)證法，即把兩種“距離”的表達(dá)式寫出來，兩邊平方就能得出結(jié)論；第二種是幾何證法，畫出圖形就能證明.

筆者請(qǐng)他到講臺(tái)上板書其證明所用圖形，如圖2所示.

師：非常好！生4利用圖2“直達(dá)”不等式||P1P2||≥||P1P2||的數(shù)學(xué)本質(zhì)，即||P1P2||=||MP2||+||MP1||≥||P1P2||，同時(shí)也給出“L—距離”這一概念的直觀表示和合理解釋.

設(shè)計(jì)意圖：直觀想象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個(gè)方面，幾何圖形是直觀想象的一個(gè)重要載體，在學(xué)習(xí)中要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注不等式證明的幾何意義與背景，加強(qiáng)知識(shí)之間的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理及分析解決問題的能力.

圖2

2.小組討論交流，進(jìn)行類比推理

新課程理念強(qiáng)調(diào)過程教學(xué)的重要性.過程教學(xué)就是要暴露知識(shí)的形成過程及發(fā)生發(fā)展的過程.面對(duì)一個(gè)陌生的問題，教師可以從引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)舊知開始，類比地提出問題，促進(jìn)學(xué)生思考.

教師出示問題：對(duì)“L—距離”而言，我們還能探究得出其他一些性質(zhì)，同學(xué)們可以在課后繼續(xù)研究.類比“兩點(diǎn)間距離”，如果要從剛才已經(jīng)探究得出的這些性質(zhì)中，選出幾條作為“L—距離”的“距離公理”，你認(rèn)為選擇哪幾條比較合適？說說你的理由.請(qǐng)四個(gè)學(xué)習(xí)小組展開討論，然后每組派一名代表匯報(bào)結(jié)果.

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)不僅僅是計(jì)算和應(yīng)用公式，數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)是思維方式，是演繹和歸納的邏輯思維方式.教師要求學(xué)生做出選擇，并說明理由，傳達(dá)出創(chuàng)造性比知識(shí)更重要的教育理念.在解答問題的過程中，學(xué)生思維的條理性和嚴(yán)密性都能得到一定程度的增強(qiáng)，進(jìn)一步體會(huì)到“言必有據(jù)”的推理特征，感悟數(shù)學(xué)的理性精神.［2］

生5：我們小組選了三條，第一條“非負(fù)性”，因?yàn)橐惶岬健熬嚯x”，人們往往想到的就是長度，具有非負(fù)性；第二條“對(duì)稱性”，因?yàn)樗从吵觥氨舜恕敝g的一種關(guān)系，即“由此及彼”與“由彼及此”是一樣的，對(duì)P1，P2來說體現(xiàn)了公平性；第三條，我們選“三角形不等式”，因?yàn)樵凇安坏仁健钡膶W(xué)習(xí)中，我們知道現(xiàn)實(shí)生活中的不等關(guān)系要遠(yuǎn)多于相等關(guān)系，它們都是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系，是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容，既然定義了“L—距離”，就要關(guān)注在這個(gè)概念下，量與量之間能不能進(jìn)行比較，像一般的兩個(gè)復(fù)數(shù)就不能比較大小，同時(shí)這個(gè)性質(zhì)與三角形這一重要的圖形聯(lián)系在一起.（全班同學(xué)都鼓掌）

師：說得非常好，看來文科生的語言確實(shí)富有詩情畫意.事實(shí)上，“距離”這一概念還有延拓的空間，“距離”的更一般意義是：對(duì)于一個(gè)集合A，如果在它的元素之間定義了一個(gè)實(shí)值函數(shù)d（a，b），滿足如下三條公理：

（1）（非負(fù)性）對(duì)任意a，b∈A，均有d（a，b）≥0，式中的等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)成立；

（2）（對(duì)稱性）d（a，b）=d（b，a）；

（3）（三角形不等式）對(duì)任意a，b，c∈A，有d（a，c）≤d（a，b）+d（b，c）.

這時(shí)，我們把函數(shù)d（a，b）叫做距離，并把定義了距離函數(shù)的集合A叫做距離空間.

3.通過數(shù)學(xué)應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

教師出示問題：若平面上的動(dòng)點(diǎn)P與x軸上兩個(gè)不同定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的“L—距離”之和等于定值（大于||F1F2||）.

（1）求出點(diǎn)P的軌跡方程；

（2）你能類比課本中通過橢圓的方程討論它的一些簡單而基本的性質(zhì)的方法研究點(diǎn)P的軌跡的性質(zhì)嗎？你認(rèn)為要研究它的哪些性質(zhì)？

（3）畫出點(diǎn)P的軌跡圖形，并描述圖形的特征.

設(shè)計(jì)意圖：反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，是我國中學(xué)數(shù)學(xué)課程的基本理念之一.數(shù)學(xué)應(yīng)用是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，目的是運(yùn)用數(shù)學(xué)，鞏固所學(xué)知識(shí).教師要求學(xué)生描述圖形特征，有助于提升學(xué)生數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)譯能力，培養(yǎng)學(xué)生的思維與表達(dá)能力.

師生共同探究得出如下解答：

解析：（1）以經(jīng)過定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.設(shè)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），顯然||F1F2||=2c.

設(shè)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的“L—距離”之和等于定值2a（其中a＞c＞0），由定義，點(diǎn)P的軌跡（即要求的曲線）就是集合A={|||PF1||+||PF2||=2a}.

因?yàn)閨|PF1||=|x+c|+|y|，||PF2||=|x-c|+|y|，

所以|x-c|+|x+c|+2|y|=2a. ①

（2）上面從動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的定義（幾何特征）出發(fā)建立了曲線對(duì)應(yīng)的方程.下面再利用方程研究曲線的幾何性質(zhì)，包括形狀、大小、對(duì)稱性和位置等.

范圍：可以利用方程（代數(shù)方法）研究它的范圍.因?yàn)閨x-c|+|x+c|≥|（x-c）-（x+c）|=2c，由方程①可知，2|y|=2a-（|x-c|+|x+c|）≤2a-2c，所以曲線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都適合不等式2|y|≤2a-2c，即-（a-c）≤y≤a-c.同理有|x-c|+|x+c|=2a-2|y|≤2a，即-a≤x≤a.這說明曲線位于直線x=±a和y=±（a-c）所圍成的矩形框里.

對(duì)稱性：在方程①中以-y代y，方程并不改變，這說明當(dāng)點(diǎn)P（x，y）在曲線上時(shí)，它關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P1（x，-y）也在曲線上，所以所求曲線關(guān)于x軸對(duì)稱；同理，以-x代x，方程也不改變，所以所求曲線關(guān)于y軸對(duì)稱；以-x代x，以-y代y，方程也不改變，所以所求曲線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.綜上，所求曲線關(guān)于x軸、y軸和坐標(biāo)原點(diǎn)都是對(duì)稱的.

頂點(diǎn)：在方程①中，令x=0，得y=±（a-c），這說明所求曲線與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)為B1（0，c-a），B2（0，a-c）.同理，令y=0，得x=±a，這說明A1（-a，0），A2（a，0）是軌跡與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，這四個(gè)交點(diǎn)可以定義為軌跡的頂點(diǎn).

圖像：由前面的討論，只需考慮x≥0，y≥0的情形，再結(jié)合對(duì)稱性就可以得出方程①對(duì)應(yīng)的軌跡.當(dāng)x≥0，y≥0時(shí)，方程①可以化為只需畫出函數(shù)，的圖像，就可以得出動(dòng)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的軌跡.

（3）由（2）得，點(diǎn)P的軌跡如圖3所示.

圖3

四、教學(xué)思考

1.高考復(fù)習(xí)要回歸教材

核心素養(yǎng)就是兩件事：（1）學(xué)習(xí)和掌握現(xiàn)成的知識(shí)作為工具；（2）利用這些工具去解決新問題.［3］教學(xué)中筆者通過改編高考題，設(shè)計(jì)層層深入的問題串，為引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究提供了良好的平臺(tái)，彰顯了問題的價(jià)值.學(xué)生在探究時(shí)，回歸到“L—距離”的定義，重新審視概念并用概念解決問題.接著“足夠地退”，“退回”課本，仿照教材中研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)的方法，通過對(duì)曲線的范圍、對(duì)稱性及特殊點(diǎn)的深入討論，從整體上把握曲線的形狀、大小和位置.“回歸課本”有助于深化對(duì)問題的認(rèn)識(shí)，讓課本煥發(fā)新的活力，彰顯教材價(jià)值！

課堂教學(xué)內(nèi)容由教師主導(dǎo)并精心設(shè)計(jì)，預(yù)設(shè)各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的教學(xué)規(guī)劃，是課堂教學(xué)取得成功和有序推進(jìn)的保證.課程標(biāo)準(zhǔn)下，高中數(shù)學(xué)教材編寫的指導(dǎo)思想為“改進(jìn)教學(xué)和學(xué)習(xí)的方式，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)”，因此作為一線的教育工作者，要認(rèn)識(shí)到教材在教育教學(xué)中發(fā)揮的引導(dǎo)作用.［4］教師要做到“三個(gè)理解”（即理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)），真正走進(jìn)教材、走進(jìn)高考、走進(jìn)學(xué)生；教師在實(shí)施課程過程中，應(yīng)根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行適度調(diào)整和加工，合理選用和“再度開發(fā)”，要能運(yùn)用問題、變化問題、深化問題、活化問題，不斷開啟學(xué)生思維的大門.

2.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)必須經(jīng)過真正意義上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才能形成

“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)應(yīng)滲透在具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)過程中，成為引導(dǎo)學(xué)生理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的指路明燈和導(dǎo)航儀”（李尚志語）.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的本質(zhì)就是不斷地建立概念，挖掘概念的內(nèi)涵和外延，引發(fā)新的沖突進(jìn)而建立新的概念的過程，而不是僅僅停留在知識(shí)為本、記憶為主理念下的以接受事實(shí)性知識(shí)為主要目的.

一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)不必兼顧所有核心素養(yǎng)，要根據(jù)教材內(nèi)容和教學(xué)需求，恰當(dāng)?shù)鼐劢褂谝粋€(gè)或幾個(gè)核心素養(yǎng)的發(fā)展；一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)中涉及的幾個(gè)核心素養(yǎng)不必平均用力，結(jié)合學(xué)生情況和教師水平，可以突出某個(gè)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).上述教學(xué)筆者通過創(chuàng)設(shè)問題情境，從概念學(xué)習(xí)立意，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的本質(zhì)規(guī)律；通過問題解決，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷思考的過程，感悟研究曲線的方程與性質(zhì)的一般套路和思維方式，獲得直接的經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)，親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的抽象過程、數(shù)學(xué)性質(zhì)的推導(dǎo)過程，建構(gòu)真正的數(shù)學(xué)理解，提高了知識(shí)遷移和問題解決的能力，提升了學(xué)生思維品質(zhì)，相應(yīng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)也伴隨這個(gè)過程逐漸提升.

1.孔凡哲，史寧中.中國學(xué)生發(fā)展的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)概念界定及養(yǎng)成路徑［J］.教育科學(xué)研究，2017（6）.

2.林運(yùn)來.中美兩道考題帶給我們的啟示［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2015（1-2）.

3.李尚志.核心素養(yǎng)滲透數(shù)學(xué)課程教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2018（1）.

4.劉校國.螺旋式上升背景下教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)方式的研究——基于蘇教版高中數(shù)學(xué)教材必修1與必修4函數(shù)圖像變換編寫的比較［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2017（10）.F