聯(lián)合分析法與綜合法解決證明問題

高慧明

綜合法：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立.這種證明方法叫做綜合法.

對于綜合法大家并不陌生， 實際上初中的平面幾何題大多就是用綜合法加以證明的.

特點：由因?qū)Ч?，綜合法可用框圖表示為：

P？圯Q1 → Q1？圯Q2 → Q2 ？圯Q3 →…→ Qn？圯Q

證明數(shù)學(xué)命題時，還經(jīng)常從要證的結(jié)論Q出發(fā)，反推回去，尋求保證Q成立的條件，即使Q成立的充分條件P1.為了證明P1成立，再去尋找P1成立的充分條件P2；為了證明P2成立，再去尋求P2成立的充分條件…，直到找到一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.

求證：■≥■（a>0，b>0）.

要證 ■≥■，只需證a+b ≥2■，

只需證a+b- 2■≥0，只需證（■-■）2≥0.

由于（■-■）2≥0顯然成立，因此原不等式成立.

這就是分析法.

分析法：一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明方法叫做分析法.

特點：逆推證法；執(zhí)果索因. 框圖表示：

Q？坩P1 → P1？坩P2 → P2？坩P3 →…→ 得到一個明顯成立的條件

應(yīng)用舉例：

分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法.在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件.綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題.對于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛.

既然綜合法是“由因?qū)Ч保治龇ㄊ恰皥?zhí)果索因”，那么在證明過程中，就可用分析法尋找思路，用綜合法表達(dá). 運用綜合法可以解決不等式、數(shù)列、三角、幾何、數(shù)論等相關(guān)證明問題. 值得注意的是分析法也是思考問題的一種基本方法，在已知和未知之間的關(guān)系不明朗時可以通過從結(jié)論出發(fā)探究問題的思路.學(xué)科網(wǎng)

例1. 設(shè)a、b是兩個正實數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3>a2b+ab2.

證明：（用分析法思路書寫）

要證 a3+b3>a2b+ab2成立，

只需證（a+b）（a2-ab+b2）>ab（a+b）成立，

即需證a2-ab+b2>ab成立.（∵a+b>0）

只需證a2-2ab+b2>0成立，

即需證（a-b）2>0成立.

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以（a-b）2>0顯然成立，由此命題得證.

（以下用綜合法思路書寫）

∵ a≠b，∴ a-b≠0，∴（a-b）2>0，即a2-2ab+b2>0，

亦即a2-ab+b2>ab.

由題設(shè)條件知，a+b>0，∴（a+b）（a2-ab+b2）>ab（a+b），

即a3+b3>a2b+ab2，由此命題得證.

例2. 若實數(shù)x≠1，求證：3（1+x2+x4）>（1+x+x2）2.

證明：（綜合法）

3（1+x2+x4）-（1+x+x2）2

=3+3x2+3x4-1-x2-x4-2x-2x2-2x3

=2（x4-x3-x+1）=2（x-1）2（x2+x+1）

=2（x-1）2[（x+■）2+■].

∵ x≠1，從而（x-1）2>0，且（x+■）2+■>0，

∴ 2（x-1）2 [（x+■）2+■]>0，

∴ 3（1+x2+x4）>（1+x+x2）2.

討論：若題設(shè)中去掉x≠1這一限制條件，要求證的結(jié)論如何變換？

例3. 已知a，b∈R+，求證aabb≥abba.

證明：本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行. （綜合法）

1）差值比較：注意到要證的不等式關(guān)于a，b對稱，

不妨設(shè)a≥b>0，從而原不等式得證.

∵ a-b≥0，

∴ aabb-abba = abbb（aa-b-ba-b）≥0.

2）商值比較：設(shè)a≥b>0，

∵ ■≥1，a-b≥0， ∴ ■=（■）a-b≥1.

故原不等式得證.

注：1.比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法.用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號；

2.無論用分析法還是綜合法， “變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步. 因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法.

例4. 在△ABC中，三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列. 求證：△ABC為等邊三角形.

分析：將A，B，C成等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號語言就是2B= A+C；A，B，C為△ABC的內(nèi)角，這是隱含條件，明確表示出來就是 A+ B+ C=？仔；a、b、c成等比數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號語言就是b2=ac.此時，如果能把角和邊統(tǒng)一起來，那么就可以進(jìn)一步尋找角和邊之間的關(guān)系，進(jìn)而判斷三角形的形狀，余弦定理正好滿足要求.于是，可以用余弦定理為工具進(jìn)行證明.

證明：由A，B，C成等差數(shù)列，得2B= A+C，又A+ B+ C=？仔，所以B=■.

由a、b、c成等比數(shù)列，得b2 =ac.

由余弦定理得b2 =a2+c2-2accosB=b2=a2+c2-ac.

所以a2+c2-ac=ac，即（a-c）2=0，a=c，從而A=C.

所以A=B=C=■.

所以△ABC為等邊三角形.

說明：解決數(shù)學(xué)問題時，往往要先作語言的轉(zhuǎn)換，如把文字語言轉(zhuǎn)化成符號語言，或把符號語言轉(zhuǎn)化成圖形語言等.還要通過細(xì)致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來.

例5. 已知a，b>0，求證：a（b2 +c2）+b（c2+a2）≥4abc.

證明：∵ b2 +c2≥2bc，a>0，∴ a（b2 +c2）≥2abc.

同理 b（c2+a2）≥2 abc，∴ a（b2 +c2）+b（c2+a2）≥4abc.

變式：已知a，b>0，求證：（ab+c2）（a+b）≥4abc，如何證明？

例6. 證明：■+■<■+■.

分析：本題直接入手困難，但可以去掉根號，證明變形后的不等式成立即可.

證明：欲證：■+■<■+■.

只需證：（■+■）2<（■+■）2.

即9+2■<9+2■.

只需證■<■.

只需證14<18.

而14<18顯然成立.

∴ ■+■<■+■.

說明：1. 用分析法證明不等式時，省略掉“要證明”和“只需證明”的字樣是錯誤的；

2. 在本例中，如果我們從“14<18”出發(fā)，逐步推退回去，就可以用綜合法證出結(jié)論.但由于我們很難想到從“14<18”入手，所以用綜合法比較困難.

證法2：由上面證法，可以構(gòu)造出所要證明的不等式.

∵14<18，∴ ■<■，即9+2■<9+2■.

故（■+■）2<（■+■）2，∴ ■+■<■+■.

證法2用的是綜合法，它剛好是分析過程的逆過程.

說明：事實上，在解決問題時，我們經(jīng)常把綜合法和分析法綜合起來使用：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P′.若由P′可以推出成Q′立，就可以證明結(jié)論成立.

例7. 已知a≥2，求證：■-■<■-■

證明：要證■-■<■-■，

只需證■-■<■-■，

只需證2a-1+2■■<2a-1+2■■，

即證■■<■■，

只需證（a+1）（a-2）<（a-1）a，

即證a2-a-2

只需證-2<0.

因為-2<0顯然成立.

所以■-■<■-■.

可以用綜合法敘述.

例8. 已知？琢，？茁≠k？仔+■，k∈Z，且sin？茲+cos？茲=2sin？琢

……①，sin？茲·cos？茲=sin2？茁……②

求證：■=■.

分析：比較已知條件和結(jié)論，發(fā)現(xiàn)結(jié)論中沒有出現(xiàn)？茲，因此第一步工作可以從已知條件中消去？茲.觀察已知條件的結(jié)構(gòu)特點，發(fā)現(xiàn)其中蘊含數(shù)量關(guān)系（sin？茲+cos？茲）2-2sin？茲·cos？茲=1，于是可得4sin2？琢-2sin2？茁=1. 把4sin2？琢-2sin2？茁=1與結(jié)論相比較，發(fā)現(xiàn)角相同，但函數(shù)名稱不同，于是嘗試轉(zhuǎn)化結(jié)論：統(tǒng)一函數(shù)名稱，即把正切函數(shù)化為正（余）弦函數(shù).把結(jié)論轉(zhuǎn)化為cos2？琢-sin2？琢=■（cos2？茁-sin2？茁）再與4sin2？琢-2sin2？茁=1.比較，發(fā)現(xiàn)只要把cos2？琢-sin2？琢=■（cos2？茁-sin2？茁）中的角的余弦轉(zhuǎn)化為正弦，就能達(dá)到目的.

證明：因為（sin？茲+cos？茲）2-2sin？茲cos？茲=1.

所以可得4sin2？琢-2sin2？茁=1. ……③

另一方面，要證■=■，

即證■=■，

即證cos2？琢-sin2？琢=■（cos2？茁-sin2？茁），

即證1-2sin2？琢=■（1-2sin2？茁），

即證4sin2？琢-2sin2？茁=1由于上式與③相同，于是問題得證.

說明：（1）用P表示已知條件、定義、定理、公理等，用Q表示要證明的結(jié)論，則上述過程可用框圖表示為：

P？圯P1 → P1？圯P2 →…→ Pn ？圯P′ ←…← Q2？圯Q1 ← Q1？圯Q

Q′？圯Qm

（2）在解決問題過程中，通常用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進(jìn)行書寫；或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”（分析），從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結(jié)論之間的距離，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑.

例9. 已知函數(shù)f（x）=2sin■cos■-2■sin2■+■.

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及最值；

（2）令g（x）=f（x+■），判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并說明理由.

分析：本題考查三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)，解題的基本方法就是綜合法.將三角函數(shù)式化為一個角的一個三角函數(shù).

解析：（1）∵ f（x）=sin■+■（1-2sin2■）=sin■+■cos■=2sin（■+■）.

∴ f（x）的最小正周期T=■=4？仔.

當(dāng)sin（■+■）=-1時，f（x）取得最小值-2；當(dāng)sin（■+■）=1時，f（x）取得最大值2.

（2）由（2）知f（x）=2sin（■+■）.又g（x）=f（x+■）.

∴ g（x）=2sin[■（x+■）+■]=2sin（■+■）=2cos■.

∵ g（-x）=2cos（-■）=2cos■=g（x）.

∴ 函數(shù)g（x）是偶函數(shù).

例10. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2■，∠PAB=60° .

（1）證明AD⊥平面PAB；

（2）求異面直線PC與AD所成的角的正切值；

（3）求二面角P-BD-A的正切值.

分析：（1）根據(jù)演繹推理的三段論模式，根據(jù)有關(guān)的已知定理進(jìn)行推證，注意轉(zhuǎn)化的思想；

（2）也得根據(jù)異面直線的角的定義這個大前提，作出兩異面直線所成的角，再進(jìn)行求解；

（3）根據(jù)二面角的定義，作出二面角的平面角，再進(jìn)行具體的計算.學(xué)科網(wǎng)

（1）證明：在△PAD中，由題設(shè)PA=2，AD=2，PD=2■，可得PA2+AD2=PD2，于是AD⊥PA.在矩形ABCD中，AD⊥AB，又PA∩AB=A，所以AD⊥平面PAB.

解析：（2）由題設(shè)，BC∥AD，所以∠PCB（或其補(bǔ)角）是異面直線PC與AD所成的角.

在△PAB中，由余弦定理得：

PB=

■=

■.

由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB？奐平面PAB，所以AD⊥PB. 因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故tan∠PCB=■=■.

所以異面直線PC與AD所成的角的正切值為■.

（3）過點P作PH⊥AB于H，過點H作HE⊥BD于E，連結(jié)PE.因為AD⊥平面PAB，PH⊥平面PAB，所以AD⊥PH.又AD∩AB=A，因而PH⊥平面ABCD，故HE為PE在平面ABCD內(nèi)的射影.由三垂線定理可知BD⊥PE.從而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角.

由題設(shè)可得. PH=PA·sin60°=■，AH=PA·cos60°=1，BH=AB-AH=2，BD=■=■，HE=■·BH=■.

于是在Rt△PHE中，tanPEH=■=■.

所以二面角P-BD-A的平面角的正切值為■.

注：當(dāng)然此題除了利用這種幾何方法處理，也可以使用向量方法處理，實際上高中數(shù)學(xué)試題中的絕大多數(shù)題目都是通過綜合法解決的， 綜合法是最廣泛的一種解決問題的方法.

題組練習(xí)：

1. 證明：通過水管放水，當(dāng)流速相等時，如果水管截面（指橫截面）的周長相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大.

2. 設(shè)a， b， c是的△ABC三邊，S是三角形的面積，求證：c2-a2-b2+4ab≥4■S.

3. A，B為銳角，且tanA+tanB+■tanAtanB=■，求證：A+B = 60°.

答案簡析：

1. 提示： 設(shè)截面周長為l，則周長為l的圓的半徑為■，截面積為 ？仔（■）2，周長為 l的正方形邊長為 ■，截面積為（■）2，問題只需證： ？仔（■）2>（■）2.

2. 略證：正弦、余弦定理代入得：-2abcosC+4ab≥2■absinC，

即證：2-cosC≥2■sinC，即：■sinC+cosC≤2，即證：sin（C+■）≤1（成立）.

3. 提示：計算tan（A+B）.