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    基于數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

    2018-05-16 05:57:56張瀟譯
    關(guān)鍵詞:數(shù)形結(jié)合高中解題

    張瀟譯

    【摘要】作為數(shù)學(xué)解題中常見的一種方式,數(shù)形結(jié)合方法的使用使得解題過程更加簡單、直觀.本文以數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用為研究內(nèi)容,通過實際案例分析,對數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用進(jìn)行講解,以指導(dǎo)高中生對這一解題思想的靈活應(yīng)用.

    【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;高中;數(shù)學(xué);解題

    在數(shù)學(xué)解題過程中,利用幾何知識與代數(shù)知識的轉(zhuǎn)換,能夠有效降低題目難度,使解題步驟更加清晰,提高了解題的準(zhǔn)確率.

    一、數(shù)形結(jié)合思想概述

    數(shù)形結(jié)合思想中的“數(shù)”意味著數(shù)字、代數(shù),而“形”這代表著幾何圖形,數(shù)形結(jié)合思想就是將這兩種簡單的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識進(jìn)行融合,使用幾何圖形關(guān)系來表述代數(shù)關(guān)系,而代數(shù)關(guān)系也可以通過幾何圖形進(jìn)行直觀的展現(xiàn).因此,在數(shù)學(xué)解題過程中,數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用主要有兩種形式:代數(shù)知識輔助解答幾何題目,或者是幾何知識輔助解答代數(shù)題目.

    二、數(shù)形結(jié)合中的轉(zhuǎn)換措施

    根據(jù)數(shù)形結(jié)合的實際使用效果來看,“數(shù)”與“形”之間的轉(zhuǎn)換的形式多種多樣,具體包括“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)換、“數(shù)”向“形”的轉(zhuǎn)換,以及“數(shù)”和“形”之間的相互轉(zhuǎn)換.

    在“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)換過程中,是根據(jù)當(dāng)前題目中所給出圖形的已知信息,經(jīng)過分析,找出在幾何圖形中所隱藏的代數(shù)關(guān)系,并用數(shù)字進(jìn)行表達(dá),對幾何圖形類題目的解答提供幫助.

    “數(shù)”向“形”轉(zhuǎn)換的實際使用有著一定的限制,多以題目中的問題進(jìn)行假設(shè),并將假設(shè)以幾何圖形的方式進(jìn)行展現(xiàn),從而有助于更好地說明假設(shè)中所表現(xiàn)出來的數(shù)量關(guān)系.

    “數(shù)”與“形”之間的相互轉(zhuǎn)換,在實際解題過程中的應(yīng)用較為廣泛,其主要利用了數(shù)學(xué)知識中“數(shù)”“形”相互對立的思想,在幾何圖形與代數(shù)關(guān)系之間尋求轉(zhuǎn)換的平衡性,以利于對題目的分析和解答.

    由此可見,數(shù)形結(jié)合思想的使用,需要根據(jù)實際題目的需要選擇合適的“數(shù)”“形”轉(zhuǎn)換措施,單一的數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)換措施并不能解決所有問題.

    三、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的實際應(yīng)用

    高中數(shù)學(xué)解題過程中,數(shù)形結(jié)合思想的使用不僅提高了數(shù)學(xué)解題的速度和準(zhǔn)確度,也在一定程度上培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,提高了學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

    (一)集合類型題目中的數(shù)形結(jié)合思想

    在高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識中,集合知識屬于考試的重點(diǎn)內(nèi)容,并作為數(shù)學(xué)知識延伸的重要鋪墊,在教學(xué)內(nèi)容中屬于較為重要的部分.其中,集合知識中的交際、補(bǔ)集、并集等知識的介紹,就用到了幾何圖形輔助描述,因此,在高中集合類型題目的解題過程中,使用數(shù)形結(jié)合的思想也就不足為奇.

    例1 存在兩個集合M,N,集合M={(x,y)|x2+y2=1,x∈R,y∈R},N=M={(x,y)|x2-y=0,x∈R,y∈R},求M∩N中元素的數(shù)量.

    解析 如果采用直接求解法,將題目中的兩個方程x2+y2=1,x2-y=0組成方程組,求得對應(yīng)未知量x,y的取值范圍,盡管,這種解題方法可以得到最終答案,但是,對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的學(xué)生來說,解題過程過于煩瑣,不僅浪費(fèi)了大量時間,出現(xiàn)錯誤的可能性也大大增加.在該題目中,以數(shù)字形式表述的集合關(guān)系過于抽象,即便通過計算求得了相關(guān)未知量的取值范圍,也需要利用幾何知識進(jìn)行直觀的展現(xiàn).其中x2+y2=1是半徑為1的圓的通用表達(dá)式,而x2-y=0則是常見的拋物線,因此,求解兩個集合的交集,也就變?yōu)榍髢蓚€圖形的交點(diǎn),解題難度大大降低,思路也更加清晰.

    (二)函數(shù)類型題目中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

    函數(shù)的學(xué)習(xí)幾乎貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個過程,是數(shù)學(xué)知識體系中較為基礎(chǔ)的內(nèi)容,在高中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)已經(jīng)不再是簡單的函數(shù)基礎(chǔ)知識學(xué)習(xí),更重要的是學(xué)會利用函數(shù)關(guān)系解決實際問題.對于這一理論性與抽象性同時存在的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識,在相關(guān)題目中,該類型題目不僅包含多種函數(shù)關(guān)系,還可以借助幾何圖形進(jìn)行輔助理解,極大地降低了函數(shù)類型題目的難度,提高了解題效率.

    例2 求解方程sin2x=sinx在區(qū)間x∈(0,2π)中的解的個數(shù).

    解析 該題目看似簡單,但是其中涉及的知識內(nèi)容則較為豐富,如果直接進(jìn)行解題,則需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)變形,利用sin2x=2sinxcosx=sinx的變化關(guān)系,且在區(qū)間x∈(0,2π)上,sinx≠0,所以,cosx=12,這樣也可以找到3個答案與之對應(yīng).但是,對于函數(shù)變形掌握程度較差的學(xué)生來說,則可以使用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解答,通過建立坐標(biāo)系的方式,將兩個三角函數(shù)在利用平面幾何圖形進(jìn)行展現(xiàn),在保證幾何圖形繪制過程中相關(guān)參數(shù)正確的同時,就可以直觀地發(fā)現(xiàn)兩個圖形的交點(diǎn)數(shù)量,問題也就得到解答.

    基于數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中所體現(xiàn)出來的簡便性、高效性等特點(diǎn),在實際解題過程中,也常常被用來檢驗答案是否正確.因此,掌握數(shù)形結(jié)合思想,對于提高數(shù)學(xué)解題效率有著極為重要的作用.

    四、總 結(jié)

    在高中數(shù)學(xué)解題方法中,數(shù)形結(jié)合思想有著較為廣泛的應(yīng)用,基于數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)對措施的不同,在使用這一方法進(jìn)行解題時,應(yīng)明確“數(shù)”“形”之間轉(zhuǎn)換關(guān)系,選擇與之相適應(yīng)的解題方法.盡管,數(shù)形結(jié)合思想能夠幫助高中生提高數(shù)學(xué)解題效率,卻不能忽視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識所起到的重要作用,牢固掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識,建立完善的“數(shù)”“形”知識體系,能夠促進(jìn)高中生對數(shù)形結(jié)合思想的有效應(yīng)用.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]田昀.高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合思想的思考研究[J].中華少年,2017(5):93.

    [2]楊芳.淺談?wù)w思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].高考(綜合版),2014(10X):117.

    [3]賀有銘.高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)解題中的應(yīng)用探究[J].高考,2016(15):147-148.

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