基于“最近發(fā)展區(qū)”下的高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)

李坤

【摘要】“最近發(fā)展區(qū)”理論為數(shù)學(xué)教學(xué)提供了科學(xué)的理論基礎(chǔ)和實(shí)踐指導(dǎo)，在高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)中，教師可以在“最近發(fā)展區(qū)”理論背景下，根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平，通過(guò)設(shè)置逐步遞進(jìn)的變式題目，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從現(xiàn)有能力向潛在能力的跨越.本文以“最近發(fā)展區(qū)”理論為指導(dǎo)，以案例的形式呈現(xiàn)變式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)中的滲透.

【關(guān)鍵詞】最近發(fā)展區(qū)；高中數(shù)學(xué)；變式教學(xué)

一、概念性變式

（一）概念引入變式務(wù)必運(yùn)用“最近發(fā)展區(qū)”

概念引入是概念教學(xué)的第一步.蘇霍姆林斯基曾說(shuō)：“人的心靈深處，總有一種把自己當(dāng)作發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者的固有需要.”那么，在此背景下設(shè)計(jì)變式，既要向?qū)W生展示知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和形成過(guò)程，又要激發(fā)學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生抓住概念的本質(zhì)特征，轉(zhuǎn)化目前的“最近發(fā)展區(qū)”，建立起感性認(rèn)知與抽象概念之間的聯(lián)系.

案例1 等差數(shù)列的概念引入

① 我們經(jīng)常遇到這樣的數(shù)，從0開(kāi)始，每隔3數(shù)一次，可以得到數(shù)列：0，3，6，9，12，15，….

② 班上50名學(xué)生依次報(bào)數(shù)，得到數(shù)列：1，2，3，4，5，…，48，49，50.

③ 水庫(kù)水位為10 m，自然放水每天水位下降0.5 m，降低到6 m時(shí)停止放水，那么水庫(kù)在放水過(guò)程中，每天的水位構(gòu)成數(shù)列：10，9.5，9，8.5，8，7.5，7，6.5，6.

學(xué)生分析討論這三個(gè)數(shù)列的共同特點(diǎn)，歸納出等差數(shù)列概念的本質(zhì)特征：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù).這個(gè)常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.

符號(hào)語(yǔ)言：當(dāng)n∈N*，且n≥2時(shí)，an-an-1=d.

[評(píng)析]學(xué)生在此之前對(duì)數(shù)列已經(jīng)具有感性的認(rèn)知，通過(guò)分析①②③的共同特點(diǎn)，抓住等差數(shù)列概念的本質(zhì)特征，轉(zhuǎn)化目前的“最近發(fā)展區(qū)”.

（二）概念辨析變式必須符合“最近發(fā)展區(qū)”

概念辨析變式是在引進(jìn)概念之后，針對(duì)概念本質(zhì)特征做進(jìn)一步探討.美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說(shuō)：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟.”這種以問(wèn)題為鋪墊所設(shè)計(jì)的變式題目，需要完全符合學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”.

例如，在等差數(shù)列{an}中，已知a5=10，a12=31，求首項(xiàng)a1和公差d.

變式1：在等差數(shù)列{an}中，已知a1=3，an=21，d=2，求n.

變式2：在等差數(shù)列{an}中，已知a2=7，a4=13，求a3.

[評(píng)析]原題屬于在等差數(shù)列中，對(duì)于四個(gè)量a1，an，n，d知三求一的問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題.通過(guò)變式，雖然題目的形式有所改變，問(wèn)題的本質(zhì)特征沒(méi)有發(fā)生改變，學(xué)生在運(yùn)用概念解決問(wèn)題的同時(shí)，也加深了對(duì)概念內(nèi)涵和外延的理解，為后面問(wèn)題的深化奠定了良好的認(rèn)知基礎(chǔ).

（三）概念深化變式完全依據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”

對(duì)概念進(jìn)行深化鞏固是概念教學(xué)的重要環(huán)節(jié).奧蘇貝爾曾說(shuō)：“如果讓我用一句話概括教育心理學(xué)的內(nèi)容，我將說(shuō)就是在學(xué)生已有知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué).”概念鞏固變式是在學(xué)生對(duì)概念的內(nèi)涵和外延理解基礎(chǔ)上，通過(guò)精心設(shè)置學(xué)生容易出錯(cuò)、需要利用概念之間的邏輯關(guān)系解決問(wèn)題的變式題目，讓學(xué)生在思考、變式和分析中深化對(duì)概念的理解，使學(xué)生的潛在發(fā)展水平順利地轉(zhuǎn)化為現(xiàn)有發(fā)展水平，充分依據(jù)了“最近發(fā)展區(qū)”理論.

例如，已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1，an+1=an-3an+1an，證明：1an為等差數(shù)列.

變式1：已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=25，且對(duì)任意的n∈N*，都有anan+1=4an+2an+1+2，證明：1an為等差數(shù)列.

變式2：已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an=2an-1+2n-1（n≥2），a1=5，bn=an-12n，證明：{bn}為等差數(shù)列.

[評(píng)析]本例中的題目都考查了利用數(shù)列的遞推公式證明數(shù)列具有等差數(shù)列的特征，原題中an+1=an-3an+1an兩邊可直接同時(shí)除以an+1an，進(jìn)而得出1an為等差數(shù)列；“變式1”與原題的區(qū)別在于首先需要對(duì)anan+1=4an+2an+1+2化簡(jiǎn)，然后再將等式兩邊同時(shí)除以an+1an；“變式2”無(wú)疑是對(duì)“變式1”的深化，學(xué)生只有在能解答“變式1”的前提下，在教師指導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)等式兩邊“符號(hào)”的特點(diǎn)，從而找出解決問(wèn)題的方法.

從概念性變式中可以發(fā)現(xiàn)，每一道變式問(wèn)題的解答都建立在學(xué)生對(duì)原問(wèn)題的認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，引起學(xué)生內(nèi)心的認(rèn)知矛盾，這樣的施教既有一定的深度又有力度，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué).

二、過(guò)程性變式

過(guò)程性變式是指在數(shù)學(xué)變式教學(xué)中，對(duì)教學(xué)對(duì)象進(jìn)行有層次性的推進(jìn)過(guò)程.這種層次性既可以看成是為教學(xué)內(nèi)容設(shè)置一系列的臺(tái)階，又可以看成是數(shù)學(xué)中某種活動(dòng)策略或經(jīng)驗(yàn)，其目的在于讓學(xué)生積累多種活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).因此，筆者認(rèn)為過(guò)程性變式是一種由淺入深、由局部到整體的一種教學(xué)手段，它更符合“最近發(fā)展區(qū)”理論.

案例2 已知ax2-ax+13≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

變式1：已知函數(shù)f（x）=ax2-ax+13的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

變式2：函數(shù)f（x）=ax2-ax+13的定義域?yàn)镽的充要條件是什么？

變式3：已知函數(shù)f（x）=1ax2-ax+13的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

變式4：已知函數(shù)f（x）=log2ax2-ax+13的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

[評(píng)析]本例主要是對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行考查，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)變式，考查對(duì)定義域、二次根式、充要條件、分式、對(duì)數(shù)知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)；考查二次不等式恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化方法.變式題目的綜合性逐漸加強(qiáng)，難度不斷加大，新舊知識(shí)之間跨度小，學(xué)生在掌握原問(wèn)題的基礎(chǔ)上，能夠通過(guò)類(lèi)比聯(lián)想，與前面題目產(chǎn)生聯(lián)系，在教師的指導(dǎo)下解決問(wèn)題，符合學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”.

從過(guò)程性變式中可以發(fā)現(xiàn)，教學(xué)中應(yīng)該把教學(xué)層次和教學(xué)要求設(shè)置在學(xué)生的思維“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，學(xué)生通過(guò)自主探索和小組協(xié)作，使得問(wèn)題得到解決.在數(shù)學(xué)變式教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該首先準(zhǔn)確界定學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，然后把學(xué)生的思維潛在水平轉(zhuǎn)化為現(xiàn)有水平，對(duì)于難學(xué)的內(nèi)容或問(wèn)題，應(yīng)適當(dāng)采取鋪墊，讓學(xué)生“跳起來(lái)就能摘到果實(shí)”.

【參考文獻(xiàn)】

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