初等矩陣的教學(xué)方案探析

蘇永美 丁軍

【摘要】初等矩陣是“線性代數(shù)”課程中一個非常重要的概念，對于初等矩陣概念的引入，大多數(shù)教材一般都是直接給出，然后再去驗(yàn)證三類初等矩陣的功能.本教學(xué)方案通過線性方程組兩種不同的求解方式入手提出兩個問題，在引導(dǎo)學(xué)生分析問題、解決問題的過程中給出了初等矩陣的概念，并得到了其在矩陣乘法中的功能.然后又以問題為導(dǎo)向，給出了利用初等變換求逆矩陣和解矩陣方程的方法.

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù)；初等矩陣；啟發(fā)式教學(xué)；教學(xué)方案

一、引 言

初等矩陣是“線性代數(shù)”課程中一個非常重要的概念，它作為橋梁將矩陣的初等行變換與矩陣的乘法聯(lián)系起來，從而得到了利用矩陣的行變換求矩陣的逆、矩陣的秩、向量組的極大無關(guān)組和向量組的秩及解矩陣方程等很多重要的方法，尤其是利用矩陣的初等變換計(jì)算逆矩陣的方法對初學(xué)者更是尤為神奇.“線性代數(shù)”的教材版本較多，不同版本的體系也略有不同，但無論是哪種版本，在學(xué)習(xí)初等矩陣之前，矩陣的代數(shù)運(yùn)算和矩陣的初等變換都應(yīng)該已經(jīng)完成學(xué)習(xí)，這就為我們設(shè)計(jì)本次的教學(xué)方案提供了保證.本文從一個具體的線性方程組求解出發(fā)，提出問題，在引導(dǎo)學(xué)生思考的過程中給出了初等矩陣的概念，同時得到了初等矩陣在矩陣乘法中的功能，從而得到了利用初等行變換求逆矩陣和解矩陣方程的方法.

二、教學(xué)方案

本教學(xué)方案通過線性方程組兩種不同的求解方式提出兩個問題，然后引導(dǎo)學(xué)生分析問題、解決問題，具體過程如下：

（一）問題的引入

我們首先給出如下線性方程組，分別用兩種方式給出方程組解的形式.

方法1 由于方程組的消元過程就相當(dāng)于對線性方程組的增廣矩陣做三種類型的初等行變換，當(dāng)增廣矩陣化為行最簡形時，就可以直接寫出方程組的解，過程如下：

通過上面兩種方法求解，我們發(fā)現(xiàn)既可以只利用矩陣的初等行變換求解線性方程組，也可以通過矩陣的逆借助矩陣的乘法來求解線性方程組.將上面兩種方法聯(lián)系起來，很自然地就可以引導(dǎo)學(xué)生提出問題.

矩陣的初等行變換和矩陣的乘法之間有聯(lián)系嗎？矩陣的初等行變換是否可以借助矩陣的乘法來實(shí)現(xiàn)？

帶著這個問題，我們進(jìn)入教學(xué)的第二個環(huán)節(jié)，學(xué)生參與，探討問題.

（二）問題的探討

對于以上問題，為了方便學(xué)生們自己思考討論，課上我們可以以二階矩陣為例來探求初等行變換與矩陣的乘法之間的聯(lián)系，為了更清楚地探究初等行變換和矩陣乘法的關(guān)系，我們將二階矩陣A按行進(jìn)行分塊，然后給出A的三種初等行變換：

至此，學(xué)生們已經(jīng)了解了矩陣的初等變換可以通過矩陣的乘法來實(shí)現(xiàn).由于有了前面的討論，學(xué)生們此時就可以自己推出初等矩陣共有三種形式，而且可以仿照上面二階矩陣，分別用記號E（i，j），E（i（k）），E（i，j（k））來記錄它們的產(chǎn)生方式和記載他們在矩陣乘法中的初等變換功能，此時再給出下面的定理就顯得水到渠成了.

定理1 設(shè)A是一個m×n階矩陣，對A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘相應(yīng)的m階初等矩陣，對A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘相應(yīng)的n階初等矩陣.

至此，一開始提出的問題就得到了圓滿解決.

課上學(xué)生們在自己參與的過程中得到了逆矩陣如此簡單的計(jì)算方法，學(xué)生們在感受到思考的樂趣之余又獲得了滿滿的成就感.

三、結(jié) 論

本文結(jié)合作者自身的課堂教學(xué)實(shí)踐，設(shè)計(jì)了一個初等矩陣的教學(xué)方案，該方案從利用高斯消元法解線性方程組和借助逆矩陣、矩陣乘法解方程組入手提出問題，在引導(dǎo)學(xué)生思考參與的過程中給出了初等矩陣的概念，并讓學(xué)生自己總結(jié)出初等矩陣在矩陣乘法中的功能，進(jìn)一步得到了利用矩陣初等變換求逆矩陣和解矩陣方程的方法.由于整個教學(xué)過程都是學(xué)生們經(jīng)過思考可以解決的，所以學(xué)生們的學(xué)習(xí)熱情高漲，可以達(dá)到良好的教學(xué)效果.

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