一道網(wǎng)絡(luò)研討問題的命題立意與解法探尋

鄭冰心 陳少毅

摘 要：隨著信息化時(shí)代的到來，網(wǎng)絡(luò)教研成為傳統(tǒng)教研的延伸，引領(lǐng)著老師們專業(yè)的提升與成長，也孕育出許多新題型新方法?，F(xiàn)將最近我市在網(wǎng)絡(luò)研討中熱議的一道問題的命制及解法討論呈現(xiàn)給大家，以展示網(wǎng)絡(luò)教研的新活力。

關(guān)鍵詞：網(wǎng)絡(luò)教研；命題立意；解法探究

1 問題出處與命題立意

1.1 問題呈現(xiàn)

圖1如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P為BC邊上一點(diǎn)，連接AP，過點(diǎn)P作PQ⊥AP交AB于Q。求線段BQ的最大值。

1.2 問題出處

在我市開展的一次命題研討與培訓(xùn)活動(dòng)中，一位老師呈現(xiàn)了如下的命題：

如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，作PQ⊥AP交CD于點(diǎn)Q。

（1）求證：△ABP∽△PCQ；

（2）設(shè)BP=x，CQ=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）若點(diǎn)E是AQ的中點(diǎn)，連結(jié)DE，PE，求DE+PE的最小值。

本題雖然脫胎于常見的正方形中的一線三等角問題，但其第三問又高于常規(guī)地對第（2）小題的直接或簡單運(yùn)用的問題，如：“求CQ的最大值”或“求△ADQ面積的最小值”，這樣的問題沒有太大的思維含量。而求“DE+PE的最小值”，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的化歸轉(zhuǎn)化能力，能將問題轉(zhuǎn)化為求AQ的最小值，進(jìn)而求CQ的最大值，將幾何最值問題與函數(shù)關(guān)系式建立聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；同時(shí)還要求學(xué)生能突破兩點(diǎn)之間線段最短的思維定勢。這樣的問題設(shè)置有一定的思維高度，具有較強(qiáng)的選拔功能。

會(huì)后，筆者進(jìn)行了反思，本題的命制與解題的關(guān)鍵在于一線三等角所構(gòu)造的相似，因此試題背景不囿于正方形，也可以是矩形；再特殊一些，例如連接AC，或還可構(gòu)造出新的關(guān)系?；谝陨险J(rèn)識，于是在我市網(wǎng)絡(luò)教研群中拋出了上述命題。

1.3 命題立意

本題以直角三角形為背景，以直角關(guān)系為主線，構(gòu)造幾何最值的求解問題。由于是比較熟悉的圖形與構(gòu)造方式，便于解題者思路的打開與先前方法的遷移應(yīng)用；但試題有別于原題的圖形特征，需要在求解中添加適當(dāng)?shù)妮o助線，給解題帶來了一定困難，體現(xiàn)了試題變式改造中基于原題、適度創(chuàng)新的命制原則。本題所展現(xiàn)的進(jìn)易求難的命題方式，也正是很多中考壓軸題所體現(xiàn)的命制方向。

由于只是一道供教師研討的網(wǎng)絡(luò)教研問題，試題只呈現(xiàn)了最終的問題，并沒有進(jìn)行適當(dāng)?shù)匿亯|與小題設(shè)置，為后續(xù)的變式改造創(chuàng)造了條件。由于本問題經(jīng)過搜索，尚未見諸網(wǎng)絡(luò)，有利于老師們獨(dú)立思考，并開展網(wǎng)絡(luò)研討，也為他們今后利用該問題編制例題或試題提供了很好的素材。

在本題的求解中，需要應(yīng)用先前解決正方形等圖形中“一線三等角”的經(jīng)驗(yàn)，因此有助于教師關(guān)注對一類問題本質(zhì)的探尋，而非一味地沉迷于題海戰(zhàn)術(shù)；同時(shí)引導(dǎo)教師在例習(xí)題的教學(xué)中重視對解題方法的提煉，而非解題過程的展示；本題命制中所體現(xiàn)的變式方式，可促進(jìn)老師們在變式教學(xué)中強(qiáng)化對問題結(jié)構(gòu)的認(rèn)識，讓學(xué)生在有限的解題教學(xué)中融會(huì)貫通，解一通百。

2 關(guān)于問題求解的網(wǎng)絡(luò)研討

2.1 基于先行解題經(jīng)驗(yàn)的解法探索

如圖3，若將Rt△ABC補(bǔ)全為矩形，則會(huì)聯(lián)想運(yùn)用先前采用的相似方法求解問題，在網(wǎng)絡(luò)研討中，主要有以下兩種方法。

以上兩種方法，均從原來矩形中“一線三等角”的解題經(jīng)驗(yàn)入手，由相似三角形構(gòu)造方程或函數(shù)模型，進(jìn)而得到問題的結(jié)論。然而，上述兩種解法最后的解決都依賴于高中的數(shù)學(xué)知識，解法1需要求解二次不等式，解法2則利用了均值不等式。顯然這些高中的知識與方法并非絕大多數(shù)初中學(xué)生所能掌握，若作為中考試題也不利于正確的教學(xué)導(dǎo)向。

2.2 基于垂線段最短的解法展示

從總的方向看，上述兩種方法都傾向于用代數(shù)方式解決問題，

而且或多或少地運(yùn)用了高中知識。那么有無用初中所學(xué)就能完成的方法呢？部分老師給出如下解法。

上述兩種解法，解題的關(guān)鍵都是利用點(diǎn)到直線的距離垂線段最短（或弦心距小于半徑），只是解法3利用直角∠APQ構(gòu)造了一個(gè)隱形圓，而解法4則是直接利用直角三角形的性質(zhì)。這兩種解法，都要求學(xué)生有較強(qiáng)的化歸轉(zhuǎn)化能力和代數(shù)表達(dá)與運(yùn)算能力。借助上面的隱形圓，有老師又給出了另一種解法。

2.3 基于臨界思想的解法表達(dá)

解法5：令點(diǎn)Q從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，以AQ為直徑作⊙O，設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)O到BC的距離為d.隨著點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)，r在不斷增大，當(dāng)時(shí)，⊙O與BC無交點(diǎn)，即在BC上不存在點(diǎn)P，使得∠APQ=90°；當(dāng)時(shí)，⊙O與BC有唯一的公共點(diǎn)；此后，隨著r的增大，⊙O與BC有交點(diǎn)，但BQ不斷變小。

而當(dāng)時(shí)，由相似可得，解得，此時(shí)BQ=2.5。

綜上分析，線段BQ的最大值為2.5。

此種借助臨界思想的解法，容易被學(xué)生所接受。但學(xué)生在思考時(shí)更多地是基于幾何直觀的合情推理，而不是也難于進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯表達(dá)。因此，教師要強(qiáng)化從合情推理到演繹推理過渡的教學(xué)。

3 網(wǎng)絡(luò)研討的后續(xù)思考

縱觀本次網(wǎng)絡(luò)研討，眾多老師能踴躍參與，得益于擁有一個(gè)寬松便捷的網(wǎng)絡(luò)平臺， 更主要的因素在于提供了一個(gè)可供研討的好習(xí)題。一個(gè)好的研討習(xí)題必須具有原創(chuàng)性、解法的多樣性和可拓展性。原創(chuàng)性是激發(fā)教師積極思考的內(nèi)在動(dòng)力，試想如果只是提供一道陳題，手機(jī)一搜便有答案，豈不太低估老師的智慧，浪費(fèi)大家的精力；解法的多樣性有助于不同思維習(xí)慣學(xué)生進(jìn)行解答，同時(shí)也避免了一條道走到黑的局面，也讓網(wǎng)絡(luò)研討持續(xù)進(jìn)行成為可能；可拓展性讓研討習(xí)題充滿活力，例如本道習(xí)題，老師們還可在原題的基礎(chǔ)上加以變式改造，或輔于前導(dǎo)性問題，降低解題的難度，或改變設(shè)問的角度，如求點(diǎn)Q的軌跡長，隱蔽問題結(jié)論。但不論何種改造，命題變式的關(guān)鍵要推陳出新，服務(wù)教學(xué)與考試，若對于課堂訓(xùn)練，則要側(cè)重典型引領(lǐng)，關(guān)注解題思路的總結(jié)與提升；若對于考試命題，則要追求背景新穎，滲透數(shù)學(xué)思想方法的考查，體現(xiàn)對學(xué)生創(chuàng)新意識的考查。