在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生批判性思維的實踐和研究

黃星銘

摘要：高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉了數(shù)學(xué)科的六個核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運算，數(shù)學(xué)建模，直觀想象，數(shù)據(jù)分析。提升數(shù)學(xué)科核心素養(yǎng)需要有序培養(yǎng)，運用批判性思維，從低級至高級、從簡單至繁雜不斷質(zhì)變，不斷提高。數(shù)學(xué)新課改的核心任務(wù)就是要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，把數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實在數(shù)學(xué)教育的各個環(huán)節(jié)。而課堂教學(xué)是學(xué)生提高學(xué)科核心素養(yǎng)的主陣地，就很有必要在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中進(jìn)行批判性思維的實踐和研究。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)，批判性思維，實踐，研究

前言：思維定勢或叫心向，是有一定的心理活動所形成的準(zhǔn)備狀態(tài)，會影響或決定其對同類后繼心理活動的趨勢，也就是人們按照一種固定了的傾向去反映現(xiàn)實，從而表現(xiàn)出心理活動的趨勢性和專注性。培養(yǎng)學(xué)生有批判性思維是使學(xué)生克服思維定勢的消極影響，更新觀念，提高求異思維能力，隨時準(zhǔn)備適應(yīng)新環(huán)境，學(xué)習(xí)新知識，創(chuàng)造新方法。思維定勢與批判性思維相輔相成，互相配合，共同服務(wù)于人的思維發(fā)展，它們是矛盾的“對立統(tǒng)一”體。

人正是在學(xué)習(xí)實踐中不斷積累“經(jīng)驗”，不斷適應(yīng)新環(huán)境的，這是一個曲折的發(fā)展過程。這種“經(jīng)驗”實際上就是思維定勢，需要在此后的學(xué)習(xí)中多次批判，方才由“經(jīng)驗”→“理解”→“熟能生巧”→“批判性思維”。在這動態(tài)的發(fā)展過程中“培養(yǎng)”是少不了的。

正文

一、倡導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生的批判意識和習(xí)慣

批判性思維的特質(zhì)是獨立思考，善于質(zhì)疑，關(guān)注理由和合乎邏輯。學(xué)生的批判性思維不是先天形成的，需要不斷培養(yǎng)。

（1）在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，不斷誘導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“新問題”的意識

中國人強悍于解決問題，但是不善于發(fā)現(xiàn)問題。教師平常的數(shù)學(xué)教學(xué)就是培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維定勢和求異思維能力，通過數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)公式的正確理解和熟練運用，一是牢固學(xué)生的思維定勢，二是不斷批判，提升理性認(rèn)識，扎實學(xué)生的基本技能。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要善于誘導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“新問題”。

例1. 計算：1+1=

【批判】 （1）1群羊+1群羊=2群羊？

【變式】 （2）2-1=？

【發(fā)展】 （3）2+2+2+L+2（100個2）=2×100？

【變式】 （4）2×2×2×L×2 （100個2）=2100 ？

【再發(fā)展】 （5） =？

【再變式】 （6） =？

問題出現(xiàn)在哪里？這是一個“量變”到“質(zhì)變”的數(shù)學(xué)問題。具體的兩個“1”相加得“2”；然而，抽象兩個“集合”的組合仍是一個“集合”。減法是加法的逆運算；乘法本質(zhì)上就是若干個數(shù)的直接疊加；開方是乘方的逆運算。引入虛數(shù)來說明負(fù)數(shù)不能開平方根的問題。

點拔：數(shù)學(xué)運算要多次批判，不斷變式，由易至難，由簡至繁，不斷升華衍生出新的運算。

（2）養(yǎng)成獨立思考的良好習(xí)慣，不斷批判固有知識、不迷信專家

數(shù)學(xué)概念不是與生俱來，需要不斷批判，多次抽象，方可歸納出來。在繼承傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化與發(fā)展新型數(shù)學(xué)分支中，批判已有的數(shù)學(xué)知識，不迷信專家，不斷突破數(shù)學(xué)學(xué)科頸瓶。

例2. 數(shù)域的擴充

自然數(shù)：像0，1，2，3，L。它們是為了計數(shù)的需要，一一衍生出來；

【發(fā)展】素數(shù)（質(zhì)因數(shù)）：像2，3，5，7，L；

合數(shù)：像4，6，8，9，L；

既不是素數(shù)，也不是合數(shù)：像0，1；

【批判】為了表示相反意義的量，引入負(fù)數(shù)，像-1，-2，L；

【發(fā)展】把自然數(shù)和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為“整數(shù)”。

【批判】測量或分配當(dāng)中，經(jīng)常得不到整數(shù)值，為了表示這些“數(shù)值”，引入了“分?jǐn)?shù)”，像 。

【發(fā)展】真分?jǐn)?shù)：像 ；

假分?jǐn)?shù)：像 L；

帶分?jǐn)?shù)：像 L；

【再發(fā)展】把整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為“有理數(shù)”。整數(shù)可以看作分母為1的分?jǐn)?shù)，任意有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)均可化為“ ”形式。

【批判】像 ，L，它們均是無限不循環(huán)小數(shù)，沒有規(guī)律性可言，簡直是“蠻橫無理”！稱它們?yōu)椤盁o理數(shù)”。

【發(fā)展】把有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為“實數(shù)”，它們是實實在在的一個數(shù)。

【批判】像 L，二次根式的被開方數(shù)中出現(xiàn)“負(fù)數(shù)”，它們虛構(gòu)的，現(xiàn)實不存在的“數(shù)”，稱為“虛數(shù)”。

【發(fā)展】虛數(shù)：a+bi中虛部b≠0；虛數(shù)不能比較大?。?/p>

實數(shù)：a+bi中虛部b=0；實數(shù)可比較大?。?/p>

【再發(fā)展】把實數(shù)和虛數(shù)統(tǒng)稱為“復(fù)數(shù)”。

數(shù)域的不斷擴充，給數(shù)集的發(fā)展不斷注入了新鮮血液。

二、培養(yǎng)學(xué)生批判性思維的基本前提

（1）熟悉數(shù)學(xué)文化，明確學(xué)生的現(xiàn)有思維水平

與其昏昏就無法使人昭昭。數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)文化要有一個清楚的認(rèn)識，通過課堂教學(xué)不斷挖掘和揭示數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué)，進(jìn)而掌握數(shù)學(xué)的真誠。

數(shù)學(xué)文化有以下特征：

其一：在現(xiàn)實與科學(xué)的互動中形成。人類的一切文化活動都離不開現(xiàn)實生活的實踐，數(shù)學(xué)也不例外。古埃及人在尼羅河畔的測繪實踐中孕育了幾何測量學(xué)；具有柏拉圖傳統(tǒng)的古希臘人在天文學(xué)與聲學(xué)的研究中開創(chuàng)了公理化體系的思想，為人類科學(xué)探索中的理性思維豎立起光輝的典范；文藝復(fù)興時期以牛頓為代表的學(xué)者將自然哲學(xué)科學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)原理，創(chuàng)立微積分，給數(shù)學(xué)文化注入新的活力，并且使數(shù)學(xué)在物理學(xué)和工程技術(shù)等得到了廣泛的應(yīng)用，將人類文明推進(jìn)到一個全新的時代；從十七世紀(jì)歐洲保險的博彩業(yè)中誕生和發(fā)展而來的概率統(tǒng)計其應(yīng)用正方興未艾LL所有這一切說明數(shù)學(xué)文化與現(xiàn)實世界有高度有同構(gòu)關(guān)系。

其二：在發(fā)展與包容中完善。數(shù)學(xué)文化在不斷隨著社會科技的發(fā)展中與時俱進(jìn)，外部的文化環(huán)境是數(shù)學(xué)文化發(fā)展的外推力，而數(shù)學(xué)文化中包容與自我完善的機制是數(shù)學(xué)文化發(fā)展的內(nèi)驅(qū)力，其包容性和自我完善性是其他學(xué)科所無法比擬的，數(shù)學(xué)以抽象嚴(yán)謹(jǐn)著稱，但這不能概括為數(shù)學(xué)文化的全部特征，數(shù)學(xué)的許多理論并不是絕對真理，數(shù)學(xué)文化的歷史性和相對性決定了數(shù)學(xué)文化必須遵循“否定之否定”哲學(xué)原理，在包容中由不嚴(yán)格到嚴(yán)格，在揚棄中不斷自我完善和發(fā)展數(shù)學(xué)文化，這才是數(shù)學(xué)文化的顯著特征。

其三：在整合與創(chuàng)新中超越。今天數(shù)學(xué)在各行各業(yè)的應(yīng)用之所以從幕后走到臺前，除了數(shù)學(xué)文化能很好地提示客體發(fā)展的客觀規(guī)律外，還由于數(shù)學(xué)文化的前瞻性隨著時代的發(fā)展而愈發(fā)顯現(xiàn)出來。眾所周知，著名物理學(xué)家麥克斯韋在十九世紀(jì)由電磁規(guī)律所建立的麥克斯韋微分方程組，不僅從理論上證明了光也是一種電磁波，還預(yù)言了電磁波的存在，從而把電、磁、光統(tǒng)一起來，這一切均被實驗所證實。非歐幾何引起數(shù)學(xué)思想的巨大變化，是數(shù)學(xué)在整合創(chuàng)新中極具超越精神的光輝例證，盡管一些數(shù)學(xué)模型在建立之初是如此抽象和不可理解，但是具有超前意識的數(shù)學(xué)家找到了它們的現(xiàn)實背景，非歐幾何成為了相對論、視覺空間理論的基礎(chǔ)，難怪物理大師愛因斯坦不得不驚呼“理論物理學(xué)家越來越不得不服從純數(shù)學(xué)的形式支配”。

數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)教學(xué)的底蘊，而數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神是學(xué)生的靈魂，數(shù)學(xué)文化正是把它們二者高度地統(tǒng)一起來。

（2）合理設(shè)計數(shù)學(xué)課堂教學(xué)內(nèi)容，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維

數(shù)學(xué)學(xué)科特點：抽象性、嚴(yán)密性和廣泛應(yīng)用性。而對數(shù)學(xué)規(guī)律的認(rèn)識要經(jīng)過“實踐——認(rèn)識——再實踐——再認(rèn)識”這一過程，換言之，對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，始終是一個歷史，發(fā)展的動態(tài)過程，這種過程不會終結(jié)，只有更加完善。

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要設(shè)計出切合實際的學(xué)習(xí)任務(wù)，優(yōu)化處理數(shù)學(xué)教材，發(fā)動學(xué)生自主學(xué)習(xí)，不面面俱到，要舍得放棄，突出重點，走出數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的窘境。

不滿堂灌，不拘泥于某一種教學(xué)模式，不迷戀于一種教法，批判性地認(rèn)識教學(xué)方法，融入個人思想，匯集當(dāng)?shù)靥厣?，把?shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，分層施教，和而不同、和而不流，讓不同程度的學(xué)生能在有限的時間內(nèi)啟迪心智、提升品格，使數(shù)學(xué)教學(xué)步入佳境，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維。

例3.求函數(shù)y=x（1-x），0

【初中數(shù)學(xué)的解法】配方法，

y=-x2+x （去括號）

=-（x- ）2+ （配方）

∵0

∴x= 時，函數(shù)的最大值= （在頂點處取最大值）

【高中數(shù)學(xué)的解法1】應(yīng)用均值不等式

∵0

∴1-x>0， （驗證“一正、二定、三相等”條件）

∴y=x（1-x）≤ ，

當(dāng)且僅當(dāng)x=1-x，即x= 時，等號成立。

【高中數(shù)學(xué)的解法2】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)

∵0

∴yˊ=-2x+1 （求導(dǎo)）

∵00；

∴函數(shù)在（0， ）上遞增，在（ ，1）上遞減，

∴x= 時，函數(shù)取最大值，即ymax=f（ ）= 。

注意：因人而異，因材施教，實現(xiàn)百花齊放。

三、培養(yǎng)學(xué)生批判性思維對教師提出的種種挑戰(zhàn)

社會迅猛發(fā)展，學(xué)生要求教師專業(yè)素質(zhì)越來越高，不斷提出他們學(xué)習(xí)發(fā)展的需求。打籃球，要求老師像姚明一樣，一伸手就扣籃；跑起步，要求老師像蘇炳添一樣，一溜煙就跑完；游起泳，要求老師像孫陽一樣，魚一樣穿梭；LL教師永遠(yuǎn)是學(xué)者，活到老學(xué)到老，與學(xué)生一起學(xué)習(xí)，不斷進(jìn)步，不斷提升自身的專業(yè)技術(shù)水平，不斷滿足學(xué)生日益發(fā)展需要。教師又是教練，怎樣帶好隊員？怎樣帶好隊伍？怎樣發(fā)揮出隊伍的最大效率？均是給教師提出的種種挑戰(zhàn)。冷靜面對挑戰(zhàn)，靈活應(yīng)對，深刻透視以下四個的現(xiàn)實問題：

（1）正確認(rèn)識“為什么要學(xué)數(shù)學(xué)”？

首先，數(shù)學(xué)是有用的。在生活、生產(chǎn)、科學(xué)和技術(shù)中，我們都會看到數(shù)學(xué)的許多應(yīng)用。數(shù)學(xué)學(xué)科是“研究數(shù)量關(guān)系和空間形式”，在理論中，在物質(zhì)世界中，在精神世界中，處處都有用場。數(shù)學(xué)就在我們身邊，她是科學(xué)的語言，她是一切科學(xué)和技術(shù)的基礎(chǔ)，她是我們思考和解決問題的工具。

其次，學(xué)數(shù)學(xué)能提高能力。數(shù)學(xué)學(xué)得好，更容易學(xué)好其他理論。理論之間往往有彼此想通和共同的東西，而“數(shù)量關(guān)系與空間形式”、邏輯結(jié)構(gòu)及探索思維等正是它們支架或脈絡(luò)，因而數(shù)學(xué)恰在它們的核心處。這樣，在數(shù)學(xué)中得到的訓(xùn)練和修養(yǎng)會很好地幫助我們學(xué)習(xí)其他理論，數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高對于個人能力的發(fā)展至關(guān)重要。

（2）如何才能學(xué)好數(shù)學(xué)？

數(shù)學(xué)是自然的，數(shù)學(xué)內(nèi)容是在人類長期的實踐中經(jīng)過千錘百煉的數(shù)學(xué)精華和基礎(chǔ)，其中的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的。如果有人感到某個概念不自然，是強加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過程，它的應(yīng)用，以及它與其他概念的聯(lián)系，你就會發(fā)現(xiàn)它實際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味，這有助于大家的學(xué)習(xí)。

數(shù)學(xué)是清楚的。清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的結(jié)論，數(shù)學(xué)中命題，對就是對，錯就是錯，不存在絲毫的含糊。我們說，數(shù)學(xué)是易學(xué)的，因為它是清楚的，只要大家按照數(shù)學(xué)規(guī)則，按部就班地學(xué)，循序漸進(jìn)地想，絕對可以學(xué)懂；我們又說，數(shù)學(xué)是難學(xué)的，也因為它是清楚的，如果有人不是按照數(shù)學(xué)規(guī)則去學(xué)去想，總想把“想當(dāng)然”的東西強加給數(shù)學(xué)，在沒有學(xué)會加法的時候就想學(xué)乘法，那就要處處碰壁，學(xué)不下去了。

在對數(shù)學(xué)有一個正確認(rèn)識的基礎(chǔ)上，還要講究一點方法。學(xué)數(shù)學(xué)要摸索自已的學(xué)習(xí)方法。學(xué)習(xí)、掌握并能靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)的途徑有千萬條，每個人都可以有與眾不同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。做習(xí)題、用數(shù)學(xué)解決各種問題是必需的，理解概念、學(xué)會證明、領(lǐng)會思想、掌握方法也是必需的，還要充分發(fā)揮問題的作用，問題使我們的學(xué)習(xí)更主動、更生動、更富探索性。要善于提問，學(xué)會提問，“凡事問個為什么”，用自已的問題和別人的問題帶動自已的學(xué)習(xí)，類比地學(xué)、聯(lián)系地學(xué)，既要從一般概念中看到它的具體背景，不使概念“空洞”，又要在具體例子中想到它蘊含的一般概念，以使事物有“靈魂”。

學(xué)數(shù)學(xué)趁年輕。高中生正處在一生中接受數(shù)學(xué)訓(xùn)練、打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的最佳時期。這個時期下點兒功夫?qū)W數(shù)學(xué)，將會終身受益。

（3）怎樣教好數(shù)學(xué)？

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的基本流程：提出問題——嘗試解法——分析比較——解決問題——方法提煉——問題拓展。

南京師范大學(xué)附中特級教師陶維林就“一節(jié)好的數(shù)學(xué)課的標(biāo)準(zhǔn)”作個性鮮明的說明：①學(xué)生參與度越高越好；②教師如何教？如何引領(lǐng)學(xué)生思考？如何引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)問題？③讓學(xué)生學(xué)會了多少？學(xué)得越多越好；④數(shù)學(xué)教學(xué)的特色是什么？要有個性；⑤合理地教學(xué)設(shè)計，越大氣越好；

如何上好一節(jié)數(shù)學(xué)課目前尚沒有一個標(biāo)準(zhǔn)。個人認(rèn)為課前充分備好課，備學(xué)生、備教材、備課時教案、備教法、備教具，優(yōu)化設(shè)計教學(xué)內(nèi)容，有舍有棄，胸有成竹；課堂教學(xué)要靈活互動教學(xué)，突出重點，不面面俱到，精講多練；課后及時反思，不斷提升教學(xué)水平。

（4）怎樣處理教學(xué)實踐中的矛盾？

矛盾一：一節(jié)課40分鐘，讓“學(xué)生討論”與“教師講授”的時間如何分配？頗受爭議。讓學(xué)生互動多、練習(xí)多，自然要求教師要少講；如果教師講少了，許多內(nèi)容得不到強調(diào)，學(xué)生會自主學(xué)會嗎？

目前，各地流行“大班教學(xué)”，克服學(xué)生人數(shù)多的現(xiàn)實問題。分層教學(xué)固然重要，因材實教。如果學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力強，點拔一下，他們就會了，教師肯定要“少講”多練。如果學(xué)生的基礎(chǔ)差，則需要教師反復(fù)點拔，講的時間肯定“多”。不管如何，一節(jié)課要有取舍，突出重點，必須完成主要的教學(xué)內(nèi)容，多講少講沒有個準(zhǔn)，學(xué)生能掌握東西就才OK！

矛盾二：教學(xué)手?jǐn)嗍遣皇窃礁呒壴胶?？多媒體教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)矛盾沖撞！

個人認(rèn)為：數(shù)學(xué)教育手?jǐn)嗖灰姷迷礁呒壴胶?！多媒體教學(xué)僅僅是輔助教學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)是抽象的教育活動，很多情況下需要傳統(tǒng)的“手把手”點拔、推理。目前，很多優(yōu)質(zhì)課競賽均采用多媒體教學(xué)，表面上教學(xué)容量大、師生互動多，實際上那些是花架的，不實用，一閃一閃的屏幕，學(xué)生無法正常記錄、反應(yīng)、思考，像看電影似的，坐著看上一把癮，談不上發(fā)現(xiàn)問題或提出問題。

矛盾三：高中數(shù)學(xué)解題難度大，專項訓(xùn)練耗時多，是不是訓(xùn)練越多越好？

自中央落實“八項規(guī)定”以來，一周五天教學(xué)工作制，周未沒補課。時間緊，教學(xué)任務(wù)卻不減。上課起來像跑步一樣，飛著不著地。數(shù)學(xué)訓(xùn)練更是沒有個譜，有日考、周考、月考、統(tǒng)測，就沒有時間完整點評，滑著跑。數(shù)學(xué)光講不練，萬萬不行；數(shù)學(xué)光練不講，效果不行。

“精講”與“多練”矛盾沖突，需要平衡。復(fù)雜問題可以歸類教學(xué)，一一化解難點，通過“專題比較”教學(xué)，讓函數(shù)圖像變換帶來勃勃生機，讓學(xué)生就平移的方向、平移的位置、伸縮量的大小、對稱性質(zhì)等等，多視角批判思考，從而提升完整的系統(tǒng)認(rèn)知。

例4.說說下列函數(shù)的圖象變換

（1）y=sin x→y=sin（x-2）； （向右平移兩個長度單位）

（2）y=sin x→y=sin（x+2）； （向左平移兩個長度單位）

（3）y=sin x→y=sin2x； （縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短兩倍）

（4）y=sin x→y=sin ； （縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長兩倍）

（5）y=sin x→y=sin x+2； （向上平移兩個長度單位）

（6）y=sin x→y=sin x-2； （向下平移兩個長度單位）

（7）y=sin x→y=cos x； （向左平移 個長度單位）

（8）y=f（x）→y=|f（x）|； （x軸上方部分保留，下方部分對折到上方來）

（9）y=f（x）→y=f（-x）； （圖象關(guān)于y軸對稱）

（10）y=f（x）→y=-f（-x）； （圖象關(guān)于原點中心對稱）

小結(jié)：函數(shù)的變換要熟記，可運用多媒體輔助教學(xué)，加以深刻認(rèn)識。對于繁雜函數(shù)的圖象，需要轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型或常見函數(shù)類型，方可作圖。對于分段函數(shù)的圖象，需要逐段繪圖，不可馬虎，它只是一個函數(shù)，不是多個函數(shù)。

四、四、探索培養(yǎng)學(xué)生批判性思維的有效資源與良好的教學(xué)方式

1.

學(xué)生接觸的教學(xué)資源主要是教材、學(xué)校征訂資料、報紙雜志、手機搜索、電腦下載等等，涉及面大，內(nèi)容多，無時不出現(xiàn)新問題，無處不存在新問題。

1、 教學(xué)資源泛濫，良莠不齊，對培養(yǎng)學(xué)生批判性思維有負(fù)面影響

當(dāng)下是網(wǎng)絡(luò)時代，學(xué)生獲得教學(xué)資源的途徑有多種多樣。有自已主動上網(wǎng)搜索，或與同伴交流共享，或閱讀新聞媒體，或詢問長輩等等，主要來自于個人的學(xué)習(xí)需要。然而，學(xué)習(xí)信息有真有假，資料良莠不齊，媒體眾說不一，長輩各有說辭，造就了學(xué)生思想混亂，很難理清頭緒。面對數(shù)學(xué)課堂中出現(xiàn)的新問題、新思想，批判性的主見很難形成，頭腦往往思維定勢，屢屢出現(xiàn)隨大流的現(xiàn)象。

針對教學(xué)資源泛濫問題，需要過濾網(wǎng)絡(luò)資源，辯其真?zhèn)?，?yōu)化選擇公信度更高的信息作為培養(yǎng)學(xué)生具有批判性思維的素材，若能組織一些老師自編教材，開展校本課程開發(fā)，對學(xué)生的批判性思維必有很大的推動作用。

2、 2.教師的教學(xué)方式與學(xué)生的學(xué)習(xí)方式要和諧發(fā)展，實現(xiàn)雙贏

教學(xué)是一門交流藝術(shù)，老師的教與學(xué)生的學(xué)，雙向互動。

如果學(xué)生素質(zhì)好，老師點拔一下就可以了，教的時間不長，主要讓學(xué)生不斷批判，自主探索新問題?！鞍渭狻钡膶W(xué)生不是教出來的，而是指導(dǎo)出來的，沒有必要花過多的時間在管理的細(xì)節(jié)上，專攻教學(xué)點拔即可。如果學(xué)生素質(zhì)不好，老師要預(yù)留出問題或引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，讓學(xué)生批判已有的知識，找出新問題的對策，逐漸提升數(shù)學(xué)思維能力，時間要有保證，更要突出“教法”的優(yōu)化。

數(shù)學(xué)是清楚的，相似或相近的教學(xué)內(nèi)容可采用“專題類比”，集中比較各異，上下貫通，讓學(xué)生前后比較，批判方程結(jié)構(gòu)的差異性，批判方程成立的適用條件，批判方程的完整性，不斷加深認(rèn)識，形成完整的系統(tǒng)認(rèn)知。

例5.類比學(xué)習(xí)圓錐曲線方程

1. 圓的方程

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

① （x-a）2+（y-b）2=R2； 圓心（a，b），半徑=R；離心率e=0

② x2+y2=R2； 圓心（0，0），半徑=R；離心率e=0

圓的一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D2+E2-4F>0）

圓的參數(shù)方程：

① 圓心（a，b），半徑=R；

② 圓心（0，0），半徑=R；

2. 橢圓的方程

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

橢圓的一般方程： mx2+ny2=1 （m>0，n>0）；

橢圓的參數(shù)方程：

（1） （a>b>0） 焦點在x軸，

（2） （a>b>0） 焦點在y軸，

3. 雙曲線的方程

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

雙曲線的一般方程： mx2+ny2=1 （mn<0）；

雙曲線的參數(shù)方程：

（1） （a>0，b>0） 焦點在x軸，

（2） （a>0，b>0） 焦點在y軸，

4. 拋物線的方程

（1）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

y2=2px，p>0； p為焦準(zhǔn)距，焦點在x軸，開口向右；

y2=-2px，p>0； p為焦準(zhǔn)距，焦點在x軸，開口向左；

x2=2py，p>0； p為焦準(zhǔn)距，焦點在y軸，開口向上；

x2=-2py，p>0； p為焦準(zhǔn)距，焦點在y軸，開口向下；

（2）拋物線的參數(shù)方程

p為焦準(zhǔn)距，焦點在x軸，開口向右；

p為焦準(zhǔn)距，焦點在x軸，開口向左；

p為焦準(zhǔn)距，焦點在y軸，開口向上；

p為焦準(zhǔn)距，焦點在y軸，開口向下；

小結(jié)：通過類比學(xué)習(xí)，明確方程的結(jié)構(gòu)特征，各有千秋，一目了然。

五、總結(jié)歸納培養(yǎng)學(xué)生批判性思維的結(jié)構(gòu)化程序

上一節(jié)數(shù)學(xué)課之前，教師首先要備課，事先要備好學(xué)生目前的思維水平、備教材、備教學(xué)內(nèi)容、備教具等。選定教學(xué)課題之后，要優(yōu)化該課時的教學(xué)內(nèi)容，精選教學(xué)素材。教師課前預(yù)設(shè)出批判內(nèi)容，好讓學(xué)生有目的地去探索。課堂教學(xué)中，教師主動讓學(xué)生批判。學(xué)生發(fā)現(xiàn)新問題，發(fā)現(xiàn)很多越好。教師引導(dǎo)學(xué)生逐一解決新問題，初步形成學(xué)生批判思維。經(jīng)多次升華，反復(fù)批判，思維能力才牢固形成。下圖形象地表示出“批判性思維的一個變化周期”。

批判性思維的一個變化周期示意圖

人的思維經(jīng)常定勢，起始水平為A。經(jīng)過批判性學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)新問題、解決新問題之后，思維水平升為B。若不繼續(xù)加以批判性學(xué)習(xí)，他的思維水平就定勢在B上。學(xué)習(xí)無止境，活到老學(xué)到老，需要后續(xù)不斷的批判性學(xué)習(xí)，方可不斷提升思維水平。為解決此類問題，老師經(jīng)常要“變式訓(xùn)練”，通過微妙差異性的訓(xùn)練題強化學(xué)生的應(yīng)對能力，多方位提升學(xué)生的批判性思維水平。

例6.（1）若函數(shù)f（x）=x2+ax+1，當(dāng)x?[0，2]時恒有f（x）>0，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）若函數(shù)f（x）=x2+ax+1，當(dāng)a?[0，2]時恒有f（x）>0，求實數(shù)x的取值范圍；

【分析】問題（1）中x是主元；問題（2）中a是主元。不斷批判數(shù)學(xué)問題，提升分析問題、解決問題的能力。

解：（1）當(dāng)x=0時，f（x）=1>0恒成立，得a?R；

當(dāng)x?（0，2]時，由x2+ax+1>0恒成立，得a

∵ （當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立）

∴a>-2。

（2）由a?[0，2]，恒有f（x）=x2+ax+1>0

設(shè)g（a）=ax+x2+1=f（x），

∴

∴x?R，x≠-1。

【注意】批判相近的數(shù)學(xué)問題，通過比較，找出關(guān)鍵因素，迎刃而解。

例7.已知兩個函數(shù)f（x）=8x2+16x-k，g（x）=2x3+5x2+4x，x?[-3，3]，k?R。

（1）若對任意x?[-3，3]，都有f（x）≤g（x）成立，求k的取值范圍；

（2）若存在x?[-3，3]， 使得f（x）≤g（x）成立，求k的取值范圍；

（3）若對任意x1，x2?[-3，3]，都有f（x1）≤g（x2）成立，求k的取值范圍；

解：（1）設(shè)h（x）=g（x）-f（x）=2x3-3x2-12x+k，

∵任意x?[-3，3]，都有f（x）≤g（x）成立；即h（x）?0恒成立；

∴[h（x）]min?0

∵h(yuǎn)ˊ（x）=6x2-6x-12=6（x-2）（x+1）>0?x<-1或x>2；

hˊ（x）<0?-1

∴h（x）在（-∞，-1）上遞增，在（-1，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增；

∵h(yuǎn)（-3）=k-45，h（-1）=k+7，h（2）=k-20，h（3）=k-9，

∴[h（x）]min=k-45?0，∴k?45；

（2）問題等價于h（x）=g（x）-f（x）?0在x?[-3，3]有解，

∴[h（x）]max?0

由（1）得知：[h（x）]max=k+7?0，∴k?-7；

（3）問題等價于[f（x）]max≤[g（x）]min在x?[-3，3]恒成立，

∵[f（x）]max=120-k，[g（x）]min=-21，

∴120-k≤-21， ∴k?141。

【小結(jié)】要“等價轉(zhuǎn)化”數(shù)學(xué)問題，使其變?yōu)槲覀兡軌蚧蛉菀滋幚淼暮瘮?shù)類型，運用化歸思想，化難為易。

六、與批判性思維培養(yǎng)相關(guān)的教學(xué)反思

案例+反思=教師的專業(yè)成長。也就是說教師的成長過程可以歸結(jié)為通過反思積累教學(xué)案例的過程?？梢哉n前反思或課后反思，通常在上第一次課時要采用課前反思，上第二次課時要采用課后反思。

課后反思，顧名思義就是上課之后進(jìn)行教學(xué)反思，其內(nèi)容主要是反思備課的效果和教案的預(yù)設(shè)。

經(jīng)常性的進(jìn)行課后反思，不僅可以同以往的教學(xué)工作聯(lián)系，起到承上啟下的作用，還能夠從整體上觀察本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，查漏補缺；能夠進(jìn)一步明確教學(xué)目標(biāo)，確定教學(xué)起點；能夠檢測預(yù)設(shè)方案和學(xué)生的符合程度。在研究實踐中，筆者發(fā)現(xiàn)，能夠經(jīng)常做課后反思的教師對課堂把握的程度要更好，課堂教學(xué)效果也更加理想。因為他已經(jīng)實踐過一次，先前遇到的問題、節(jié)奏的掌控、重難點的把握愈發(fā)靈活應(yīng)付。同一個教師上兩個班數(shù)學(xué)課，后一個班級的效果是要比前一個好，就是這個道理。

同樣地，課前反思也有一定的預(yù)設(shè)功效，事先評估學(xué)生的實際，科學(xué)設(shè)計教案，盡量減少課堂教學(xué)失誤。

筆者在這里，只就課后反思的內(nèi)容作深入闡述。

（1）反思課程內(nèi)容

本節(jié)課要上什么是反思的首選。教學(xué)內(nèi)容要符合學(xué)生實際，符合課程體系，逐步培養(yǎng)學(xué)生動手能力，循序漸進(jìn)提升學(xué)生批判性思維，不可恣意更改或添加輔助教學(xué)內(nèi)容。例如：人教A版《數(shù)學(xué)必修3》第三章第一節(jié)“隨機事件的概率”這一知識點的講授中，新課程標(biāo)準(zhǔn)明確要求讓學(xué)生“會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率”，但是筆者發(fā)現(xiàn)：許多教師事先為學(xué)生講解了計數(shù)的加法原理和乘法原理，而忽視了讓學(xué)生理解隨機事件的具體含義，沒有培養(yǎng)學(xué)生尋找基本事件的能力，而且這不是個別現(xiàn)象。

（2）反思教學(xué)目標(biāo)是否明確

教學(xué)目標(biāo)中的行為動詞應(yīng)該是可測量的，也就是說我們可以通過某一道習(xí)題或者某種測驗來檢驗我們的教學(xué)目標(biāo)是否達(dá)到了，如果教學(xué)目標(biāo)達(dá)成，我們才可以進(jìn)行下一章節(jié)的學(xué)習(xí)，反之則不行。例如：“讓學(xué)生掌握（理解）一元二次不等式的解法”就是一個錯誤的教學(xué)目標(biāo)。這里的掌握、理解均是抽象的行為動詞，不可測量。正確的教學(xué)目標(biāo)可以是“學(xué)生能解決三步以內(nèi)的一元二次不等式的解法”，這樣我們就能夠清楚地評估出本節(jié)課達(dá)到什么程度就是教學(xué)成功。

（3）反思學(xué)生的當(dāng)前水平

教師要反思學(xué)生的當(dāng)前發(fā)展水平，簡單地說，好的教學(xué)內(nèi)容不能夠太難，也不能太簡單，而應(yīng)該是讓學(xué)生“跳一跳，就能夠得到的”。新課程改革下強調(diào)為學(xué)生終身發(fā)展服務(wù)，我們的教學(xué)工作一定要有人性化，符合學(xué)生本身發(fā)展，選擇合理的教學(xué)內(nèi)容，有效地提高課堂教學(xué)效率，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生積極向上的品質(zhì)。

（4）情境引入是否恰當(dāng)

新課程改革下，課堂引入可以分為兩種，一種是“創(chuàng)設(shè)情境教學(xué)，另一種為“情境—教學(xué)”。前者是傳統(tǒng)意義上的情境引入式教學(xué)，后者是西南地區(qū)開展的“設(shè)置數(shù)學(xué)情境與提出數(shù)學(xué)問題”教學(xué)實驗所提出來的教學(xué)基本模式。兩者的共同點都是通過一個現(xiàn)實情境來引入教學(xué)。

新課程改革主張：數(shù)學(xué)生活化，強調(diào)情境設(shè)計的生活性。

創(chuàng)設(shè)情境首先要注重聯(lián)系學(xué)生的現(xiàn)實生活，在學(xué)生鮮活的日常生活環(huán)境中發(fā)現(xiàn)、挖掘?qū)W習(xí)情境的資源。其次要挖掘和利用學(xué)生的經(jīng)驗，強調(diào)情境創(chuàng)設(shè)的形象性。再次要體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特色，緊扣教學(xué)內(nèi)容，能夠簡單明了地讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)情境中蘊藏的數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)問題，能夠激發(fā)學(xué)生情感。

（5）課件使用是否得當(dāng)

不能為了省事而用課件代替板書，把教學(xué)內(nèi)容羅列在POWERPOINT上，缺乏互動性、時效性差。

哪些教學(xué)內(nèi)容要呈現(xiàn)在課件上，哪些則不需要，必須要明確，精選教學(xué)素材，突出重點，不能面面俱到。

課件展現(xiàn)形式有靜態(tài)、動態(tài)之分。無論選擇+哪一種制作方式，課件要科學(xué)、準(zhǔn)確地反映教學(xué)內(nèi)容，簡潔地表達(dá)出設(shè)計目標(biāo)，充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和學(xué)習(xí)興趣。

（6）反思教材

新課程改革后，教材一再變動，有刪減、有增加、有變化。要正確理解新教材的編寫意圖，正確理解教材中的內(nèi)容，有利于開展課堂教學(xué)，有利于教師專業(yè)素質(zhì)的提高。

（7）反思一題多解

數(shù)學(xué)和其他學(xué)科相比，有一個顯著的區(qū)別就是出現(xiàn)“一題多解”頻次高。反思我們準(zhǔn)備的習(xí)題是否有“一題多解”，反思我們的思想是否考慮周全。一旦發(fā)現(xiàn)有“一題多解”，要善于提問學(xué)生，啟發(fā)學(xué)生的批判性思考，讓學(xué)生探索出多個解題方法，各抒已見。

結(jié)束語：思維定勢與批判性思維是矛盾的“對立統(tǒng)一體”，在人的思維活動發(fā)展中，它們互相促進(jìn)，互相轉(zhuǎn)化，它們和諧發(fā)展過程就是人辯證思維能力的提高過程，我們惟有對思維和求異思維能力各自的作用加以利用，不斷批判性思考，最大程度地培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的獨特優(yōu)勢，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人，充分感受數(shù)學(xué)求知的樂趣，在不斷探究和合作學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，在解決問題的過程中全面提高批判性思維。

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