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    基于知識(shí)主動(dòng)建構(gòu)的教學(xué)設(shè)計(jì)、演繹和訓(xùn)練

    2018-05-14 09:28鐘鳴陳鋒
    關(guān)鍵詞:直角三角形拋物線變式

    鐘鳴 陳鋒

    一、問題的提出

    數(shù)學(xué)教師如何有效訓(xùn)練學(xué)生思維的深度與廣度,進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)?筆者認(rèn)為,對(duì)于常態(tài)課而言,基于對(duì)知識(shí)的整體設(shè)計(jì),深入知識(shí)的本質(zhì)和連接點(diǎn),能訓(xùn)練學(xué)生的思維深度;基于學(xué)生現(xiàn)有水平,依據(jù)學(xué)情預(yù)設(shè)適合學(xué)生的問題串,逐層推進(jìn)、步步深入、系統(tǒng)演繹,能降低思考難度;基于問題的變式拓展,把握本質(zhì)不變規(guī)律,能訓(xùn)練學(xué)生的思維廣度。下面,筆者以“二次函數(shù)的幾何應(yīng)用”一課的教學(xué)過程與反思為例,談一談如何幫助學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)。

    二、基于知識(shí)主動(dòng)建構(gòu)的教學(xué)設(shè)計(jì)、演繹和訓(xùn)練

    1.課堂引入整體設(shè)計(jì)。

    “二次函數(shù)的幾何應(yīng)用”是數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)部運(yùn)用,是函數(shù)應(yīng)用的例子,其關(guān)聯(lián)代數(shù)與幾何,有很強(qiáng)的綜合性,是近幾年各地中考的熱點(diǎn)。本節(jié)課是繼教材中二次函數(shù)內(nèi)容結(jié)束后,對(duì)二次函數(shù)拋物線與幾何圖形之間綜合問題的微專題探究?;诙魏瘮?shù)的整體知識(shí),圍繞學(xué)生已掌握的內(nèi)容,筆者開展了如下的課堂導(dǎo)入。

    師:近段時(shí)間我們一直在研究二次函數(shù),你能說說處理二次函數(shù)的關(guān)鍵是什么嗎?

    生1:二次函數(shù)的表達(dá)式。

    師:求出二次函數(shù)表達(dá)式的關(guān)鍵又是什么?

    生2:點(diǎn)。

    師:由此可見,點(diǎn)是解決二次函數(shù)問題的金鑰匙。有了點(diǎn)的坐標(biāo)就可以求出二次函數(shù)的表達(dá)式,反之有了二次函數(shù)的表達(dá)式就可以用表達(dá)式表示點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而表示與它相關(guān)的量。那么,點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示哪些與它相關(guān)的量呢?

    生3:利用點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示線段長(zhǎng),由線段可以聯(lián)系角度。

    師:線段和角是幾何圖形的元素。圖形問題可以因此轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,從而進(jìn)行數(shù)形雙向聯(lián)系。

    板書:

    式→點(diǎn)→線(角)→形;

    形→線(角)→點(diǎn)→式。

    師:對(duì)于這個(gè)思路,我們?cè)谝淮魏瘮?shù)、反比例函數(shù)中反復(fù)經(jīng)歷。二次函數(shù)與幾何圖形問題的基本處理方法也應(yīng)如此。

    基于整體的,才是生長(zhǎng)的、深入的。筆者從二次函數(shù)的解析式與點(diǎn)說起,由點(diǎn)到線,再由線到角,又由線和角到形,將二次函數(shù)與相關(guān)的知識(shí)關(guān)聯(lián)起來,橫向溝通,打通函數(shù)與圖形的內(nèi)在聯(lián)系;指出一次函數(shù)與反比例函數(shù)中的相同經(jīng)驗(yàn),縱向聯(lián)系,抓住知識(shí)方法背后的不變本質(zhì)。抓住本質(zhì)方能正確遷移,打通聯(lián)系才能自然聯(lián)想,引導(dǎo)學(xué)生避免“只見樹木不見森林”的狹隘思維,帶領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的自然生長(zhǎng)、方法的逐步深入、思想的漸次升華。

    2.課堂例題系統(tǒng)演繹。

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)指出,數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng),特別是課堂教學(xué),應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣,調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性,引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考,鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。創(chuàng)造性的思維一定是有深度的。由于九年級(jí)學(xué)生已具備一定的分析問題的能力,有獨(dú)特的解決函數(shù)問題的方法(課堂導(dǎo)入部分會(huì)給學(xué)生充分表達(dá)自己方法的機(jī)會(huì)和時(shí)間),基于學(xué)生實(shí)際水平,筆者讓學(xué)生圍繞二次函數(shù)與幾何應(yīng)用的核心問題展開學(xué)習(xí),鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。在例題教學(xué)部分,筆者進(jìn)行了如下設(shè)計(jì)。

    例 如圖,拋物線y=ax2-2ax+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),拋物線經(jīng)過點(diǎn)(2,-3),與y軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為點(diǎn)D。

    師:(示范讀題)根據(jù)這些條件,你能得到什么?

    生4:求出函數(shù)解析式為y=x2-2x-3,用兩點(diǎn)的坐標(biāo)(-1,0)、(2,-3)代入,就能求出它的解析式。

    師:還可以求什么?

    生5:利用解析式求出對(duì)稱軸為直線x=1;求出點(diǎn)坐標(biāo)B(3,0)、C(0,-3);利用對(duì)稱及解析式可以求得D坐標(biāo)(1,-4)。

    師:除了剛才的方法,求拋物線的解析式還有哪些方法?

    生6:先結(jié)合解析式的特征直接求出對(duì)稱軸為直線x=[2a2a]=1,再利用對(duì)稱性,由A(-1,0)求出B點(diǎn)坐標(biāo)(3,0),設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+1)(x-3),將點(diǎn)(2,-3)代入即可。

    師:不計(jì)算能說明此函數(shù)必經(jīng)過(0,-3)嗎?為什么?

    生7:利用對(duì)稱軸直線x=1及點(diǎn)(2,-3),由對(duì)稱性直接求出C(0,-3)。

    師:還可以獲得些什么?

    生8:可以求線段所在直線的解析式,如直線BC的解析式為y=x-3。

    生9:可以求線段的長(zhǎng)度,如AB=4。

    生10:可以求一些直線與x軸、y軸的特殊夾角,如BC與y軸夾角為45°。

    師:除了考慮到了求點(diǎn)坐標(biāo)、線段(或直線)解析式、長(zhǎng)度及一些特殊角度外,你還會(huì)聯(lián)想到什么?

    生11:把得出的線段長(zhǎng)、角度放入幾何圖形中去。

    師:對(duì),例如放到三角形中去……

    基于學(xué)生的,才是適切的、深刻的。教師基于學(xué)生的已有基礎(chǔ)設(shè)計(jì)問題,引發(fā)學(xué)生自然聯(lián)想,這樣設(shè)計(jì)問題才是適切的;在學(xué)情預(yù)設(shè)和學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)回答的情況下,適時(shí)追問,不斷促使學(xué)生思維走向深刻。問題與追問,共同構(gòu)成了深度思維的系統(tǒng)演繹過程,有利于學(xué)生深度思維的培養(yǎng)。筆者基于學(xué)生的學(xué)情,設(shè)計(jì)這樣的問題與問題串,起步低、落腳高,引導(dǎo)學(xué)生從二次函數(shù)的解析式特征獲知有用信息,自主探究,在追問質(zhì)疑中生成有深度、高質(zhì)量的思維活動(dòng)。

    3.課堂探究變式訓(xùn)練。

    把握事物的本質(zhì)不是直接告訴學(xué)生本質(zhì)是什么,而是要讓學(xué)生通過主動(dòng)探究和體驗(yàn),在變化中抓住不變的本質(zhì);要通過一個(gè)背景展開教學(xué)過程,進(jìn)行變式探究,在變式中剝離非本質(zhì)屬性,呈現(xiàn)知識(shí)、方法的本質(zhì)特征,讓學(xué)生站得高,想得深遠(yuǎn)。筆者基于一個(gè)簡(jiǎn)單背景進(jìn)行變式訓(xùn)練,將涉及三角形的問題一一呈現(xiàn),如定面積問題、面積最大問題、直角三角形問題、相似三角形問題等,將學(xué)生的思維引向深入,讓學(xué)生在變化中感悟不變的思想方法。這無疑是復(fù)習(xí)課激發(fā)學(xué)生深度參與的一種方式。

    探究問題:例題的條件不變,在此拋物線上找一點(diǎn)P,使△ACP為直角三角形,這樣的P點(diǎn)有幾個(gè)?并求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

    變式1:將“點(diǎn)P在拋物線上”改成“點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上”。(讓學(xué)生略微分析方法思路)

    變式2:將“△ACP為直角三角形”改為“△ACP為等腰三角形”。

    (由學(xué)生總結(jié)構(gòu)造直角三角形與等腰三角形的基本技能:判斷是否有兩定點(diǎn);在兩定點(diǎn)前提下由“兩線一圓”構(gòu)造直角三角形、由“兩圓一線”構(gòu)造等腰三角形。)

    變式3:在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?(也讓學(xué)生思考一下找全等三角形的方法。)

    變式4:請(qǐng)?jiān)趻佄锞€上找一點(diǎn)P,使△BCD的面積與△CDP的面積相等,并求點(diǎn)P坐標(biāo)。

    變式5:此拋物線上是否存在使△CDP的面積最大的點(diǎn)P?

    基于變式的,才是本質(zhì)的、深遠(yuǎn)的。這組變式由例題背景出發(fā),層層遞進(jìn),或構(gòu)建特殊三角形并變換形狀,或引入相似,或求面積,或找最值。通過豐富的變式,既減少學(xué)生熟悉題目的時(shí)間,又減少機(jī)械低效的計(jì)算。學(xué)生在不斷的變式中,抓住分析問題的通法,抓住幾何圖形的性質(zhì),學(xué)會(huì)了轉(zhuǎn)化問題的思想方法,提升了解題能力。

    三、教學(xué)反思

    1.整體設(shè)計(jì)要系統(tǒng)整合。

    本節(jié)課的主題是“二次函數(shù)的幾何應(yīng)用”,筆者在教材的整合上體現(xiàn)了整體性。在九年級(jí)上學(xué)期二次函數(shù)的應(yīng)用中盡管包羅萬象,但是拋物線與直線形圖形的綜合無非就是特殊圖形的存在性問題、面積的最值問題、圖形之間特殊的關(guān)系問題等。站在九年級(jí)教學(xué)的系統(tǒng)角度來看,對(duì)于本節(jié)課,要先整體感知、宏觀把握,然后到九年級(jí)下學(xué)期專題復(fù)習(xí)之時(shí)再劃分類別、各個(gè)擊破。這是一種有層次、有節(jié)奏的系統(tǒng)規(guī)劃。

    2. 系統(tǒng)整合要瞻前顧后。

    本節(jié)課從拋物線的點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算開始,由點(diǎn)的坐標(biāo)得到線段的長(zhǎng)、直線的表達(dá)式,再由線的計(jì)算進(jìn)入基本圖形——三角形的形狀研究和大小計(jì)算,帶領(lǐng)學(xué)生研究了特殊的三角形——直角三角形的存在問題、面積的計(jì)算問題和面積的最值問題,復(fù)習(xí)運(yùn)用了二次函數(shù)、一次函數(shù)、勾股定理等基礎(chǔ)知識(shí),總結(jié)提煉了直角三角形存在問題的“兩線一圓”找點(diǎn)法和等腰三角形存在問題的“兩圓一線”找點(diǎn)法,滲透了將面積求解轉(zhuǎn)化為“軸上形”的轉(zhuǎn)化思想。由此再進(jìn)一步帶領(lǐng)學(xué)生往后眺望。學(xué)生掌握了拋物線與三角形之間的相關(guān)知識(shí)處理方法后,必將可以類比這些方法解決與其他圖形(如四邊形、五邊形、多邊形,甚至圓)間的關(guān)聯(lián)問題,解答與圖形的形狀確定、圖形的面積大小、圖形之間的聯(lián)系問題,讓學(xué)生多角度體驗(yàn),思維真正地由淺到深得以鍛煉。

    3. 系統(tǒng)演繹要環(huán)環(huán)相扣。

    教師站位要比較高,對(duì)知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)、題與題之間的銜接要自然巧妙。學(xué)生在筆者的啟發(fā)引導(dǎo)下不僅能深入課堂,而且在思維的廣度和深度上都得到了有效訓(xùn)練,自然地獲得深刻體驗(yàn)。筆者從一開始的開放式問答就抓住了學(xué)生的注意力,由點(diǎn)到線,再到形,引出了本節(jié)課的重點(diǎn),在給出題目后設(shè)置了一連串追問:“看到這些信息,你想到了什么?”“c是多少,怎么求的?”“不用計(jì)算,你能說說拋物線肯定經(jīng)過(0,-3)的理由嗎?”“除了剛才的方法,求這個(gè)拋物線的解析式還有哪些方法?”以此促使學(xué)生不斷深入思考,培養(yǎng)了學(xué)生的讀題、審題、篩選信息的技能。

    (作者單位:1.江蘇省無錫市西漳中學(xué),2.江蘇省無錫市太湖格致中學(xué))

    本文是江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“指向初中數(shù)學(xué)核心概念主動(dòng)建構(gòu)的教學(xué)研究”(立項(xiàng)編號(hào)C-c/2016/02/02)的階段研究成果。

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