基于效用最大化問題和馬科維茨模型的婚姻的討論

高雁南

(山東女子學院，山東 濟南 250300)

用經(jīng)濟學思想研究婚姻問題，是一件很有創(chuàng)造力的事情，也是一件順理成章的事情。德國社會學家L·穆勒認為結(jié)婚有3個主要動機：經(jīng)濟、子女和愛情。從這個角度來看，用經(jīng)濟學的觀點研究婚姻是有效并且有趣的。1973年美國經(jīng)濟學家Gary Becker使用效用最大化的思路解釋婚姻問題，發(fā)表了《婚姻理論I》的文章，標志著用經(jīng)濟學研究婚姻正式成為現(xiàn)實[1]。本文部分借助了Becker的效用最大化的思想，但是并沒有使用Becker的效用函數(shù)；同時還使用了馬科維茨的資產(chǎn)選擇模型分析了青年男女走進婚姻殿堂的兩個動因，為婚姻選擇提供了經(jīng)濟學的解釋。

一、婚姻選擇問題的假設

由于現(xiàn)代婚姻是男女雙方共同自愿達成的，現(xiàn)代社會包辦婚姻的情況已經(jīng)不多，父母雖然會在子女的婚姻中提出參考意見，但是父母的意見絕大多數(shù)情況下僅供子女參考，因此父母在子女婚姻中起的作用就是提出建議，例如子女對婚姻中的一些因素未考慮到而經(jīng)父母的提醒注意到后，最終可能會改變對配偶的選擇，可是無論怎樣，決定是由子女獨立作出的?；诨橐鲎栽傅脑瓌t，可以使用經(jīng)濟學中的偏好(Preference)的概念去刻畫男女雙方對婚姻的選擇，而偏好對應的是效用，也就是說，男女雙方是否選擇進入婚姻，取決于他們結(jié)婚之后的生活是否出現(xiàn)了改善，也就是他們的效用是否提高了。

男女在結(jié)婚之前，各自保持單身，而結(jié)婚之后，他們的收入會合并，消費也因此會合并。不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)婚之后夫妻雙方的消費合并對夫妻的生活質(zhì)量有較大的提高，這可以表現(xiàn)在有相當多的生活耐用品夫妻是可以共用的，所以在較小的消費支出下，夫妻消費可以達到較高的效用，例如房產(chǎn)，夫妻雙方只要投入一套房產(chǎn)的錢就可以獲得很高的效用，而如果他們不結(jié)婚，就不得不每人支出一套房產(chǎn)的消費，從而使他們各自持有的存款或金融資產(chǎn)的比例降低。根據(jù)經(jīng)典的效用理論，一個消費者的效用取決于他的消費，這在某些情況下是有道理的，可是，在家庭和婚姻的這個范疇中，較高的消費并不總是能夠帶來較高的效用。應該指出的是，在保證消費一定的情況下，盡可能地保留更多的金融資產(chǎn)對個人未來的保障是最重要的，即使剩余的金融資產(chǎn)并沒有完全變成消費，它們也完全可以通過遺產(chǎn)的方式保留給下一代，從而維系整個家族和下一代的財富水平。這種觀念在東亞地區(qū)尤其是中國是主流思想，傳統(tǒng)的宏觀模型中總是假設住戶在最后一期將所有的資產(chǎn)變成消費，為的是將以消費作為主要自變量的效用函數(shù)最大化。因此，建立以金融資產(chǎn)為主要自變量的效用函數(shù)是該模型的又一個重要假設。在這里，金融資產(chǎn)指的是那些投資回報率高、風險低的高保值、高增值財產(chǎn)，包括優(yōu)質(zhì)金融產(chǎn)品、房產(chǎn)、分紅保險等。

需要注意的是，由于金融資產(chǎn)是不斷累積的，第一期的收入減去消費之后是第一期的金融資產(chǎn)，而第一期的金融資產(chǎn)經(jīng)過增值之后會與第二期的收入合并用于第二期的消費，同樣的，第二期消費完畢之后剩余的金融資產(chǎn)(也可能包含第一期的一部分)將繼續(xù)在第三期進行增值用于第四期的消費。由于金融資產(chǎn)的累積效應，同時考慮到消費者可能會在生命的前半期通過借貸的方式進行消費，所以在最大化效用函數(shù)的時候只要取較為末期的金融資產(chǎn)余額作為自變量即可，此時對應的消費者已近中年，已經(jīng)具備了相當?shù)呢攧漳芰?，有的已?jīng)實現(xiàn)了財務自由，比如，取第n期的金融資產(chǎn)。

二、效用最大化分析

假設一個住戶有x個家庭成員，當x=1時，即對應單身，當x大于等于2時，就對應著已婚的情況，此處假設x只能取1或2，需要指出的是，此時分析的更多的是青年男女在結(jié)婚時候的選擇，而對于子女的誕生對住戶效用的影響暫且不作分析。

先假設x=1，此時住戶中只有一個單身成員，假設這名單身成員可以活X期，第一期開始單身成員找到了工作取得工資，假設該名單身成員在未來任何一期都不會失業(yè)，都能取得工資，設其工資收入為M，則第一期的工資收入為M1；設他的消費為C，則第一期的消費為C1；將其剩余的金額作為金融資產(chǎn)，記為A1，則很容易寫出住戶第一期的預算約束(Budget constraint)：

A1=M1-C1

(1)

依次寫出住戶第2期、第3期、第4期的預算約束：

A2=A1(1+r)+M2-C2

(2)

A3=A2(1+r)+M3-C3

(3)

……

An=An-1(1+r)+Mn-Cn

(4)

將(1)式代入(2)式，得到

A2=M1(1+r)+M2-C1(1+r)-C2

(5)

將(4)代入(3)得到，

A3=M1(1+r)2+M2(1+r)+M3-C1(1+r)2-C2(1+r)-C3

(6)

根據(jù)以上方法逐次迭代，可以得到An的表達式：

(7)

想要最大化住戶的效用，也就是最大化An，就要使Mt盡可能地大，Ct盡可能地小，也就是說住戶盡可能地獲取更高的收入，在保證正常消費的情況下，盡可能減少浪費性或者不保值的產(chǎn)品的購買，例如不保值且養(yǎng)護成本較高的豪華轎車。

(8)

造成消費減少的原因有如下幾個方面：

第一，生活用品尤其是大型耐用品可以共同使用，實現(xiàn)資源優(yōu)化，從而極大地減少開支，比如汽車，夫妻雙方購買一輛即可滿足日常出行；比如房子，夫妻雙方只要共同負擔一套房子的支出就可以保證正常的生活質(zhì)量。除了有代表性的大件生活用品外，日常生活的必需品都可以共用，比如電費、水費、煤氣費、網(wǎng)費都可以不再重復支出，從而節(jié)省大量開支。

第二，資源利用效率提高可以避免浪費，例如在食品開支上，單身的男女更多的是選擇外出就餐或者是自己做飯，自己做飯的時候由于一人做飯能源的利用效率較為低下，同時可能會造成浪費，而兩個人拼火做飯，則會顯著降低個體食品支出成本。

所以，合并之后，兩個人的消費支出有可能不升反降，個體消費支出則會出現(xiàn)較大可能的下降。夫妻雙方可以在保證收入至少不變的情況下，調(diào)整夫妻二人收入來源的分配，也就是二者在家庭中的分工，比如丈夫如果找到了較為高薪的工作，那么妻子就可以適當減少工作時間，從而照顧家庭，夫妻之間的勞動工時可以極大程度地互相替代。

另外一個值得注意的方面就是金融產(chǎn)品的利率r往往會隨著投資基數(shù)的增加而增加，例如許多金融理財產(chǎn)品在投資的時候都有最低認購限額，兩人財務合并之后，能夠獲得更大的投資基數(shù)，所以有可能會獲得更高的投資回報率。

從上面的分析可以看出，結(jié)婚從某種程度上有一種“規(guī)模效應”的結(jié)果，能夠降低生存成本、提高生活質(zhì)量，從而獲得更高的幸福感。

三、從另一個角度討論婚姻對于收入的影響

通過上面預算約束的分析發(fā)現(xiàn)，住戶能否實現(xiàn)更大的幸福感，取決于他是否能夠獲得更多的收入并在最大程度上積累更多的財富，而由于收入的取得存在著波動性，沒有人能夠保證一生工資無憂且一直保持穩(wěn)定，所以收入的波動性可以用風險這個金融學的概念衡量，住戶的目標是不僅僅要獲得較高的期望收入，更要盡可能地減小收入風險，這跟金融學中的馬科維茨資產(chǎn)組合模型中探討的問題幾乎完全一樣。馬科維茨(1952)創(chuàng)造性地使用了均值-方差組合模型選出了他認為最佳的投資組合[2]，類似地，我們可以借用馬科維茨的資產(chǎn)組合模型對婚后收入合并對收入風險的控制進行說明。

馬科維茨模型中的單個證券的收益率，就可以被刻畫成單個單身男性M的收入，單個證券的期望收益率對應著單身男性的期望收入。假設單身男性的收入服從下面的伯努利分布：

收入狀態(tài)收入大小概率高aμ低b1-μ

同樣單身女性F的收入就相當于投資組合中的另外一個證券，單身女性的收入也服從一個伯努利分布：

收入狀態(tài)收入大小概率高cπ低d1-π

單身男性M的收入的數(shù)學期望可以寫成：

E(M)=aμ+b(1-μ)

(9)

單身女性F的收入的數(shù)學期望可以寫成：

E(F)=cπ+d(1-π)

(10)

根據(jù)標準差的定義，單身男性M的收入的標準差可以寫成：

(11)

同理單身女性F的收入的標準差可以寫為：

(12)

假設結(jié)婚之后，男性在家庭總收入中所占的比例為QM，女性在家庭總收入中所占的比例為QF，則容易得到：

(13)

(14)

QM+QF=1

(15)

婚后男女的期望收入為：(用H表示婚后總收入)

E(H)=QME(M)+QFE(F)

婚后男女收入的標準差的公式可以通過綜合上面的公式證明(證明略去)，為：

(16)

其中σMF是單身男女收入的協(xié)方差(σMF=E[M-E(M)][F-E(F)]),容易證明協(xié)方差可以寫成單身男女各自收入的相關系數(shù)和它們各自收入標準差的乘積：

(17)

其中ρMF為兩人收入的相關系數(shù)。

通過上面的公式我們可以看到：夫妻雙方的收入相關性越小，收入組合的波動越小，風險就越小。這可以解釋婚姻選擇市場上大家普遍不愿意尋找與自己相近職位或同一行業(yè)的伴侶，因為這不利于收入風險的規(guī)避。

類似的還有，為什么尋找伴侶的時候大家都愿意找工作穩(wěn)定的？首先從相關性上來看，假設配偶的工作絕對穩(wěn)定，意味著自己的工作與配偶的工作無任何相關性，則相關系數(shù)為零，即ρMF=0。其次，配偶的工作穩(wěn)定對應著配偶收入的標準差為零(QF2σF2=0)，那么夫妻雙方收入的標準差就變成：

(18)

顯然在這個例子中的男方愿意找一個工作收入比自己穩(wěn)定的女方來抵消自己收入的風險。這就不難理解，為什么男性特別喜歡尋找教師、公務員等穩(wěn)定職位的女性作為自己的配偶了。

再來看另外一個例子，如果男性和女性從事的工作在不同的行業(yè)，收入的變化成負相關，那么從合并收入的標準差公式很容易看出，男女的收入的相關系數(shù)越小，合并后的收入的標準差越小，2QMQFσMσFρMF對應地就越小，σH也就越小。

如果假設男性和女性收入的相關系數(shù)為-1，即為完全負相關，那么能否確定一個固定的QM、QF使得兩人合并收入的標準差最小呢？為了便于記錄，設QM=q，則QF=1-q，ρMF=-1，則容易寫出σH2的表達式：

σH2=q2σM2+(1=q)2σF2-2q(1-q)σMσF

(19)

對(19)求導，可得最小的q為(可證二階條件大于零)：

(20)

將q*帶回(19)中，易得到：

σH=0

同時，也可以寫出男女在這種情況下的平均收入：

(21)

這是最令人歡喜的結(jié)論，因為在比較嚴苛的假設下，男女雙方可以通過合并收入的方式把收入波動的風險降到0，當然這也大大低于男女單身時各自面對的收入波動的風險。

需要特別指出的是，風險一味降低也并不是一件好事，因為那可能意味著以兩人收入的大幅度降低作為標準代價，在收入較高的情況下保持相對較低的標準差才是理性的選擇。在這里筆者使用馬科維茨模型并不是要真的確定夫妻雙方的收入期望值和波動性，并且這也并不是主觀上能夠確定的，使用這一理論只是想說明，結(jié)婚可以使夫妻雙方收入的波動整體降低，從而從金融學的角度論證結(jié)婚可以降低收入波動風險這一論斷。

四、總結(jié)

經(jīng)濟學可以為婚姻問題提供很多有趣的解釋，通過效用最大化問題和馬科維茨模型對婚姻選擇的解讀，可以得到如下啟示：

第一，婚后的收入合并可以有效地增加夫妻雙方金融財富的積累，從而使夫妻雙方更有幸福感，這一結(jié)論的得出是基于對三個事實的分析：一是結(jié)婚可以減少個體消費，產(chǎn)生規(guī)模效應，降低生活成本；二是結(jié)婚可以合并收入，集中力量辦大事；三是結(jié)婚可以增加用于投資的金融資產(chǎn)的基數(shù)，從而獲得更大的投資回報率。

第二，婚后的收入合并可以降低收入的波動，從而使生活更加穩(wěn)定，考慮到大多數(shù)人都是風險厭惡者，婚姻可以有效規(guī)避風險，從而增強夫妻雙方的幸福感。

第三，上述分析中并沒有牽扯到舉辦婚禮的投入對夫妻雙方消費的影響，顯然，在中國的傳統(tǒng)風俗下，婚姻的締結(jié)需要支出相當?shù)馁M用，包括婚禮費用、婚后生活用品的采購等，撇開婚禮費用之外，其余大量商品的采購是為日后生活進行的必需采購，并沒有額外增加夫妻雙方的消費。此外，大多數(shù)情況下，婚禮的費用支出大部分都由年輕人的父母承擔，同時，為舉辦婚禮支出理性的、可接受的費用，已經(jīng)成為大多數(shù)理性消費者的選擇。因此，婚禮費用不會對婚后夫妻的消費行為產(chǎn)生太大牽絆。

第四，子女的生養(yǎng)對婚后消費的影響在本文中并沒有給出相關分析，顯然，養(yǎng)育子女會極大程度地增加婚后的家庭消費，考慮到生養(yǎng)子女是絕大多數(shù)中國家庭的選擇，即使沒有選擇立刻結(jié)婚的青年也會為自己未來子女養(yǎng)育積累更多的資本，而這種資本的積累恰恰在婚后會更加迅速，因此，通過結(jié)婚的方式積累更多的財富從而為生養(yǎng)子女作準備，亦可以作為上述分析對婚姻選擇的解讀。

第五，對于選擇金融資產(chǎn)數(shù)量的多少作為決定消費者效用的自變量，會引起如下的思考：現(xiàn)時對于金融資產(chǎn)的積累實際上是一種儲存起來的未來消費，因此，金融資產(chǎn)的多寡影響的是未來的消費——影響的仍然是消費。對于這種思考有兩方面的回應：一是為什么中國消費者一直以來保持較高的儲蓄率，且年輕一代的儲蓄率并不比年長一代更低？二是財富的代際轉(zhuǎn)移是不是使更多的人把積累更多的金融資產(chǎn)作為延續(xù)家族繁榮和獲得幸福感的重要因素？這都是可以進一步進行分析和研究的。

青年男女之所以選擇走入婚姻殿堂是受多種因素決定的，這涉及社會科學和自然科學的各個方面，本文主要從經(jīng)濟學的兩個大的角度對婚姻的選擇給出了相關解釋。希望通過這些解釋，能夠使大家更好地了解婚姻，選擇婚姻，并擁有美滿幸福的人生。

參考文獻:

[1] Markowitz H.PortfolioSelection[J]. Journal of Finance, 1952,7(1):77-91.

[2] Becker G S.ATheoryofMarriage:PartI[J]. The Journal of Political Economy, 1973,81(4):813-846.