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    一道課本題的多解、多變與多用

    2018-05-09 06:08:47馬愛平陳德前
    數(shù)理化解題研究 2018年5期
    關(guān)鍵詞:對(duì)角線過(guò)點(diǎn)中點(diǎn)

    馬愛平 陳德前

    (1.江蘇省興化市戴澤初級(jí)中學(xué) 225721; 2.江蘇省興化市教育局教研室 225700)

    義務(wù)教育教科書人教版八年級(jí)下冊(cè)第62頁(yè)第13題是:

    題目如圖1,E,F(xiàn),M,N分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn),且AE=BF=CM=DN.試判斷四邊形EFMN是什么圖形,并證明你的結(jié)論.

    一、在一題多解中復(fù)習(xí)知識(shí)

    經(jīng)過(guò)測(cè)量、觀察可知四邊形EFMN是正方形,通過(guò)對(duì)這個(gè)結(jié)論多種證明方法的研究可鞏固平行四邊形、菱形、矩形、正方形、全等三角形及勾股定理等眾多知識(shí).

    思路1 先證明四邊形EFMN是平行四邊形,再證明它有一個(gè)角是直角和一組鄰邊相等.

    思路2 先證明四邊形EFMN是矩形(證三個(gè)角是直角),再證明有一組鄰邊相等

    思路3 先證明四邊形EFMN是菱形(證四邊相等),再證明有一個(gè)角是直角.而證明四邊相等又有兩種方法:一是通過(guò)證明△NAE≌△EBF≌△FCM≌△MDN得到,二是利用勾股定理證明得到.

    下面只給出思路3的證明,其他思路的解題過(guò)程請(qǐng)同學(xué)們作為練習(xí),自己給出.

    方法1 ∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC=AD,∠A=∠B=90°.∵AE=BF=DN,∴BE=AN,∴△NAE≌△EBF,∴EN=EF,∠AEN=∠BFE.同理可證EN=EF=FM=MN,∴四邊形EFMN是菱形.∵∠B=90°∴∠BEF+∠BFE=90°,∴∠AEN+∠BEF=90°,∴∠NEF=180°-90°=90°,∴四邊形EFMN是正方形.

    方法2 ∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN,∴BE=CF=DM=AN,∴由勾股定理得EN=EF=FN=MN,∴四邊形EFMN是菱形.下同方法1,略.

    通過(guò)上述一題多解,我們不僅復(fù)習(xí)了平行四邊形、菱形、矩形、正方形的判定方法,而且對(duì)四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的知識(shí)結(jié)構(gòu)會(huì)變得十分清晰.

    二、在一題多變中學(xué)會(huì)探索

    在一題多解的基礎(chǔ)上,研究題目的多種變式,不僅可以提高我們的應(yīng)變能力,而且能使我們?cè)谧兪街袑W(xué)會(huì)探索,學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

    變式1 將點(diǎn)E,F(xiàn),M、N特殊化,變成正方形ABCD各邊的中點(diǎn),則有:

    如圖2,E,F(xiàn),G,H分別是正方形ABCD各邊的中點(diǎn).四邊形EFGH是什么四邊形?為什么?(課本八年級(jí)下冊(cè)第67頁(yè)復(fù)習(xí)鞏固第6題)

    解析很明顯四邊形EFGH仍是正方形,證明這個(gè)結(jié)論除上述方法外,還可連AC和BD,利用三角形中位線定理,先證明四邊形EFGH是平行四邊形,再證明它有一個(gè)角是直角和一組鄰邊相等(請(qǐng)同學(xué)們自己寫出證明過(guò)程).

    變式2 由變式1可發(fā)現(xiàn),EG和FH一定經(jīng)過(guò)正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),那么在一般情況下這個(gè)結(jié)論是否成立呢?于是有:

    如圖3,E,F(xiàn),M,N分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn),且AE=BF=CM=DN.試判斷直線EM是否經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn),并說(shuō)明理由.

    分析連接AC、BD和EM發(fā)現(xiàn)它們交于一點(diǎn),將圖4繞正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)也可得到這個(gè)結(jié)論,于是猜想直線EM經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)(即正方形對(duì)角線的交點(diǎn)).然后證明這個(gè)結(jié)論正確即可.下面給出三種證明方法:

    方法1 如圖3,連接AC,設(shè)AC、EM相交于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD為正方形,∴AB∥CD,∴∠AEO=∠CMO,∠EAO=∠MCO.又∵AE=CM,∴△AEO≌△CMO,∴AO=CO.∵AC一定,∴O為定點(diǎn),即EM一定經(jīng)過(guò)正方形對(duì)角線的中點(diǎn).

    方法2 如圖3,AC,設(shè)AC、EM相交于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD為正方形,∴AB∥CD,即AE∥CM.又∵AE=CM,∴四邊形AECM是平行四邊形,∴AO=CO.而AC一定,∴O為定點(diǎn),即EM一定經(jīng)過(guò)正方形對(duì)角線的中點(diǎn).

    方法3 如圖3連接AC、BD,設(shè)AC、BD相交于點(diǎn)O.連接EO、MO.∵四邊形ABCD為正方形,∴AB∥CD,AO=CO,∴∠EAO=∠MCO.又∵AE=CM,∴△AEO≌△CMO,∴∠AOE=∠COM.∵∠AOM+∠COM=180°,∴∠AOM+∠AOE=180°,即E、O、M三點(diǎn)共線,∴EM一定經(jīng)過(guò)正方形對(duì)角線的中點(diǎn).

    變式3 在變式2的探索中,我們發(fā)現(xiàn)隨著點(diǎn)E,F(xiàn),M,N的變化,正方形EFMN的面積也在變化,很明顯它有最大值,即正方形ABCD的面積,那么有沒有最小值呢?于是又有:

    如圖4,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8cm,點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的動(dòng)點(diǎn),且AE=BF=CG=DH.試問四邊形EFGH面積是否存在最小值?若存在,請(qǐng)求出這個(gè)最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

    分析在圖形的旋轉(zhuǎn)中,我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)時(shí),S正方形EFGH最小,因此只要通過(guò)推理得到這個(gè)結(jié)論即可.

    通過(guò)一題多變,我們得到了三個(gè)有價(jià)值的問題,其實(shí)我們還可以通過(guò)變式得到許多問題,同學(xué)們可以自己試一試.

    三、在一圖多用中提升能力

    由圖1,我們可以得到這樣一個(gè)基本模型:

    如圖5,點(diǎn)E在線段BC上,∠ABE=∠AEF=∠ECF=90°,BE=CF,則△ABE≌△ECF.由于這個(gè)圖形象“凹槽”,所以我們把它稱為“凹槽全等型”,Rt△AEF稱之為“凹槽直角三角形”.應(yīng)用這個(gè)基本模型及其性質(zhì)可以簡(jiǎn)捷地解決許多問題.

    1.模型具備直接用

    例1 如圖6,直線a經(jīng)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A,分別過(guò)正方形的頂點(diǎn)B、D作BF⊥a于點(diǎn)F,DE⊥a于點(diǎn)E,若DE=8,BF=5,則EF的長(zhǎng)為 .

    解析在正方形ABCD中,∠BAD=90°,AB=AD.∵BF⊥a于點(diǎn)F,DE⊥a于點(diǎn)E,∴∠BFA=∠DEA=∠BAD=90°.由上述基本模型和性質(zhì)可得△ABF≌△DAE,∴AF=DE,BF=AE,∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13.

    2.模型殘缺補(bǔ)全用

    例2 如圖7,平面內(nèi)4條直線l1、l2、l3、l4是一組平行線,相鄰2條平行線的距離都是1個(gè)單位長(zhǎng)度,正方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D分別在這些平行線上,該正方形的面積是____平方單位.

    解析如圖7,分別過(guò)點(diǎn)B、D作直線l4的垂線,垂足分別為E、F.由上述基本模型和性質(zhì)可得△DFC≌△CEB,∴FC=EB=1.又∵DF=2,∴S正方形ABCD=DC2=DF2+FC2=5.

    3.多個(gè)模型反復(fù)用

    例3 如圖8①所示,已知A、B為直線l上兩點(diǎn),點(diǎn)C為直線l上方一動(dòng)點(diǎn),連接AC、BC分別以AC、BC為邊向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG,過(guò)點(diǎn)D作DD1⊥l于點(diǎn)D1,過(guò)點(diǎn)E作EE1⊥l于點(diǎn)E1.

    (1)如圖8②,當(dāng)點(diǎn)E恰好在直線l上時(shí)(此時(shí)E1與E重合),試說(shuō)明DD1=AB;

    (2)在圖8①中,當(dāng)D、E兩點(diǎn)都在直線l的上方時(shí),試探求三條線段DD1、EE1、AB之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;

    (3)如圖8③,當(dāng)點(diǎn)E在直線l的下方時(shí),請(qǐng)寫出三條線段DD1、EE1、AB之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明你的理由.

    解析(1)由上述基本模型及其性質(zhì)可得△ADD1≌△CAB,∴DD1=AB.

    (2)DD1+EE1=AB,理由如下:如圖9,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥l,垂足為H,由上述基本模型及其性質(zhì)可知△ADD1≌△CAH,△BEE1≌△CBH,∴DD1=AH,EE1=BH,∴DD1+EE1=AH+BH=AB.

    (3)DD1-EE1=AB,理由如下:如圖10,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥l,垂足為H,由上述基本模型及其性質(zhì)可知△ADD1≌△CAH,∴DD1=AH.再通過(guò)證明△BEE1≌△CBH,可知EE1=BH,∴DD1-EE1=AH-BH=AB.

    以上我們通過(guò)模型的發(fā)現(xiàn)與構(gòu)造,順利找到了解決問題的途徑,由此足見模型的巨大作用,我們?cè)趶?fù)習(xí)中要善于提煉基本模型,并靈活運(yùn)用它來(lái)分析問題和解決問題.

    參考文獻(xiàn):

    [1]陳德前,王朝珍.利用典型考題 提高復(fù)習(xí)效率[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育(初中),2017(4):12-16.

    [2]霍彩霞.如何進(jìn)行審題[J].初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)(七年級(jí)),2016(7-8):98-101.

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