函數(shù)多元問題的解法探究

張笑晗

(河北省辛集中學(xué) 052360)

題目已知函數(shù)f(x)=axlnx(a≠0)，

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和最值；

(2)若m>0,n>0,a>0,證明：f(m)+f(n)≥f(m+n)-a(m+n)ln2.

分析本題是一道導(dǎo)數(shù)的練習(xí)題，數(shù)量關(guān)系看似簡單，實(shí)質(zhì)上不盡然.第(1)問考查利用導(dǎo)數(shù)確定含參函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬常規(guī)題型；第(2)問考查含有多個(gè)參變量的不等式的證明，初讀題目往往會感到無從下手或陷入繁瑣的運(yùn)算之中.解題的關(guān)鍵有兩個(gè)轉(zhuǎn)化難點(diǎn)：一是參數(shù)a如何分類討論，二是三個(gè)參數(shù)m、n、a向哪個(gè)方向轉(zhuǎn)化.筆者從不同的角度去思考問題，探究多種解法.

解法探究(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和最值

(2)若m>0,n>0,a>0.證明：f(m)+f(n)≥f(m+n)-a(m+n)ln2.

解法一：直接賦值構(gòu)造函數(shù)

對于證明與函數(shù)有關(guān)的含多個(gè)參變量的不等式時(shí)，常常需要構(gòu)造輔助函數(shù)，通過求導(dǎo)研究其單調(diào)性或?qū)で笃鋷缀我饬x來解題.題目本身特點(diǎn)不同，所構(gòu)造的函數(shù)可有多種形式，解題的繁簡程度也因此而不同.正確分析函數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)，恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)成為解題的突破口.

通過分析題目條件，發(fā)現(xiàn)涉及的三個(gè)函數(shù)f(m)、f(n)、f(m+n)中都含有參變量a，提取公因式結(jié)合a的取值范圍進(jìn)而定號，只剩兩個(gè)參變量m和n，可以考慮將其中一個(gè)參變量賦值x，另一個(gè)看成常數(shù)，構(gòu)造出新函數(shù)，問題就迎刃而解了.

∴g′(x)≤0，g(x)單調(diào)遞減.

∵m≥x>0，∴g(x)≥g(m)=0，

即f(m)+f(n)≥f(m+n)-a(m+n)ln2.

解法二：統(tǒng)一變量構(gòu)造函數(shù)

在數(shù)學(xué)解題過程中，如果我們總是能嘗試以不同的視角分析并解決同一個(gè)問題，會幫助我們理解知識之間的關(guān)聯(lián)，對學(xué)習(xí)產(chǎn)生積極的作用.消元構(gòu)造函數(shù)是解決含多變量函數(shù)的一種有效方法，通過消元這一方法的實(shí)施，求解問題的思路也就逐漸明朗起來，從而使問題得以順暢解決.實(shí)際上，我們可以通過確定兩個(gè)參變量m和n之間的比例關(guān)系，統(tǒng)一成一個(gè)變量代入求解，構(gòu)造出新函數(shù)，討論也就有了方向.

不妨設(shè)m≥n>0,則m=kn(k≥1).

左邊-右邊=a[mlnm+nlnn+(m+n)ln2-(m+n)ln(m+n)]

∴g(k)在k∈[1,+)上單調(diào)遞增，∴g(x)≥g(1)=0.

又∵n>0,a>0,∴左邊-右邊≥0，

即f(m)+f(n)≥f(m+n)-a(m+n)ln2.

解法三：借琴生不等式構(gòu)造函數(shù)

琴生不等式(也稱為詹森不等式)：

(1)設(shè)f(x)為凸函數(shù)，對于其定義域上的n個(gè)數(shù)x1,x2,…,xn，都有

(2)設(shè)f(x)為凹函數(shù)，對于其定義域上的n個(gè)數(shù)x1,x2,…,xn，都有

通常情況下用初等方法判斷函數(shù)的凹凸性比較麻煩，不過如果利用數(shù)學(xué)分析我們可以有個(gè)非常方便的結(jié)論：

如果f(x)二階可導(dǎo),且f″(x)≥0,那么是下凸函數(shù)(凸函數(shù));

如果f(x)二階可導(dǎo),且f″(x)≤0,那么是上凸函數(shù)(凹函數(shù)).

有了這個(gè)結(jié)論以后,使用琴生不等式就非常方便了.解題關(guān)鍵是對不等式形式的結(jié)構(gòu)特征有嚴(yán)格要求，識別是前提，轉(zhuǎn)化靠聯(lián)想.

參考文獻(xiàn)：

[1]趙優(yōu)良.例析多元參數(shù)的函數(shù)綜合問題解法[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2017(03).