基于交叉效率和合作博弈的決策單元排序方法

劉文麗, 王應(yīng)明 , 呂書(shū)龍

(1. 福州大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，福建 福州 350116; 2. 福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350116)

1 引言

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(Data envelopment analysis，簡(jiǎn)稱DEA)是用來(lái)對(duì)一組具有多投入和多產(chǎn)出的決策單元(decision making units，簡(jiǎn)稱DMUs)進(jìn)行效率評(píng)價(jià)的一種非參數(shù)方法。1978年Charnes等[1]提出了CCR模型，并給出CCR效率的概念，實(shí)現(xiàn)了對(duì)決策單元有效性的評(píng)價(jià)。CCR效率雖然很好地將決策單元分為了CCR有效單元和無(wú)效單元，但在一組決策單元中往往會(huì)存在多個(gè)CCR有效單元，因此CCR效率通常不能對(duì)所有決策單元進(jìn)行完全排序。 Sexton等[2]進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)了交叉效率評(píng)價(jià)，即在實(shí)現(xiàn)某個(gè)決策單元CCR效率的同時(shí)，用其投入和產(chǎn)出變量的權(quán)重計(jì)算它對(duì)其它決策單元的交叉效率評(píng)價(jià)，從而利用平均交叉效率得分對(duì)所有決策單元進(jìn)行排序。由于交叉效率評(píng)價(jià)綜合考慮了決策單元的自我評(píng)價(jià)與相互之間的同行評(píng)價(jià)，其公正合理性使得該方法被廣泛應(yīng)用，例如應(yīng)用在R&D項(xiàng)目選擇[3]、柔性制造系統(tǒng)的選擇[4]、奧運(yùn)會(huì)中參賽國(guó)的效率評(píng)價(jià)[5]等方面。

由于CCR模型最優(yōu)解解的不唯一，從而導(dǎo)致了交叉效率可能被隨意產(chǎn)生。因此，許多學(xué)者提出了不同的二次目標(biāo)模型來(lái)確定投入產(chǎn)出變量的權(quán)重。例如1994年Doyle和Green[6]提出的仁慈型和對(duì)抗型模型，即在保持決策單元的效率為CCR效率時(shí)使剩余決策單元聯(lián)合起來(lái)得到的效率達(dá)到最大或最小來(lái)求解權(quán)重。另外，1995年Doyle和Green[7]再次提出四組二次目標(biāo)模型，其中較為特別的是為每一個(gè)其它決策單元實(shí)施針對(duì)性的仁慈型和對(duì)抗型模型。Liang Liang等[8]以減小交叉效率評(píng)價(jià)與其CCR效率的偏差為目標(biāo)實(shí)現(xiàn)了三個(gè)二次目標(biāo)模型。進(jìn)一步地，Liang Liang等[9]又提出了博弈交叉效率模型，并以迭代算法實(shí)現(xiàn)了一個(gè)穩(wěn)定的博弈交叉效率評(píng)價(jià)。Wang Yingming和Chin[10]并不考慮二次目標(biāo)模型對(duì)其他決策單元的影響，給出了一個(gè)中立模型，即在保持每個(gè)決策單元CCR效率的同時(shí)盡可能地提高每一個(gè)產(chǎn)出變量單獨(dú)的效率。李春好等[11]提出了一種基于理想決策單元參照的交叉評(píng)價(jià)求解策略，并也給出了對(duì)應(yīng)的交叉效率評(píng)價(jià)模型。

近些年來(lái)，許多學(xué)者研究對(duì)交叉效率矩陣進(jìn)行深入分析與整合，并進(jìn)一步改進(jìn)原有的平均交叉效率得分。例如Wang Yingming等[12]考慮決策人的樂(lè)觀狀態(tài)并利用順序加權(quán)平均算子[13]對(duì)交叉效率矩陣進(jìn)行整合計(jì)算。Yang Feng等[14]基于對(duì)抗型和仁慈型交叉效率評(píng)價(jià)模型得到區(qū)間交叉效率矩陣，并利用隨機(jī)多準(zhǔn)則可接受分析[15]求解每個(gè)決策單元的可接受性指標(biāo)并排序決策單元。Wu Jie等[16-17]利用合作博弈中的核仁理論及信息熵對(duì)交叉效率矩陣進(jìn)行加權(quán)平均。另外，Wang Yingming等[18]也提出了三種方法來(lái)確定各決策單元在交叉效率矩陣中的重要性從而實(shí)施加權(quán)交叉效率評(píng)價(jià)。進(jìn)一步地，張啟平等[19]應(yīng)用自適應(yīng)群評(píng)價(jià)方法，同步迭代調(diào)整各決策單元在整合交叉效率矩陣時(shí)的權(quán)重以及決策單元用來(lái)評(píng)價(jià)其他決策單元的投入產(chǎn)出指標(biāo)的權(quán)重，從而得到一種穩(wěn)定的評(píng)價(jià)結(jié)果。

在交叉效率評(píng)價(jià)中，大量的二次目標(biāo)模型已被提出，然而如何選擇二次目標(biāo)模型卻少有文獻(xiàn)研究。本文將考慮用合作博弈的方法來(lái)研究交叉效率評(píng)價(jià)中的二次目標(biāo)模型的選取，并利用Shapley值[20]分配各決策單元的收益并對(duì)決策單元進(jìn)行評(píng)價(jià)排序，最后通過(guò)數(shù)值實(shí)例中驗(yàn)證了合作博弈與交叉效率相結(jié)合的評(píng)價(jià)方法的合理性。

2 DEA 交叉效率評(píng)價(jià)

假設(shè)有n個(gè)待評(píng)價(jià)的決策單元DMUk(k=1,2,…,n)，每個(gè)決策單元分別有m個(gè)投入變量和s個(gè)產(chǎn)出變量，即x1k,x2k,…,xmk，y1k,y2k,…,ysk,k=1,2,…,n。對(duì)于DMUk，其CCR效率可通過(guò)下面CCR模型[1]求解:

(1)

其中v1k,v2k,…,vmk與u1k,u2k,…,usk分別代表投入與產(chǎn)出變量對(duì)應(yīng)的權(quán)重。若Ekk=1，則DMUk被稱為CCR有效，否則DMUk為CCR無(wú)效決策單元。

(2)

對(duì)于k=1,2,…,n,分別求解模型(1)，每個(gè)決策單元將得到一個(gè)CCR效率與n-1個(gè)交叉效率，從而得到交叉效率矩陣:

(3)

其中第k行效率值為DMUk對(duì)所有決策單元的效率評(píng)價(jià)，而第j列元素為所有決策單元對(duì)DMUj的交叉效率評(píng)價(jià)。對(duì)交叉效率矩陣每列元素求平均，于是得到各決策單元的平均交叉效率得分:

(4)

由于交叉效率評(píng)價(jià)在考慮各決策單元的自我評(píng)價(jià)即CCR效率的同時(shí)，又綜合分析了所有決策單元之間的相互評(píng)價(jià)，具有一定的公平與綜合性，因此交叉效率評(píng)價(jià)方法被廣泛地應(yīng)用于評(píng)價(jià)決策問(wèn)題。然而，當(dāng)DMUk是CCR有效決策單元時(shí)，模型(1)的通常存在多組最優(yōu)解，則計(jì)算得到的交叉效率以及平均交叉效率得分具有不唯一性。為了防止交叉效率被任意產(chǎn)生，許多學(xué)者提出二次目標(biāo)模型來(lái)唯一確定投入產(chǎn)出的權(quán)重變量。例如Doyle和Green[7]從仁慈型和對(duì)抗型兩種不同策略各提出了四種二次目標(biāo)模型，其中一種針對(duì)單個(gè)決策單元的仁慈型二次目標(biāo)模型如下：

(5)

(6)

(7)

(8)

3 基于Shapley值的交叉效率排序方法

下面用合作博弈方法來(lái)考慮交叉效率評(píng)價(jià)中的二次目標(biāo)模型選取問(wèn)題。若所有決策單元都不結(jié)盟，從自私自利的角度，每個(gè)決策單元在保證自我評(píng)價(jià)是CCR效率的情況下，通常會(huì)選擇對(duì)抗型二次目標(biāo)模型給每個(gè)其它決策單元實(shí)施盡可能低的評(píng)價(jià)。為了得到更高的交叉效率評(píng)價(jià)，決策單元相互結(jié)盟，并選擇仁慈型二次目標(biāo)模型對(duì)同在聯(lián)盟內(nèi)的決策單元進(jìn)行交叉效率評(píng)價(jià)。具體地，假設(shè)n個(gè)決策單元在進(jìn)行交叉效率評(píng)價(jià)時(shí)達(dá)成協(xié)議參與如下博弈：

定義1n個(gè)決策單元組成參與者集合N={1,2,…,n}，對(duì)于集合N的任一子集S，定義聯(lián)盟S對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為：

(9)

其中

(10)

在交叉效率評(píng)價(jià)中，DMUj對(duì)應(yīng)的平均交叉效率得分反映了所有決策單元對(duì)它的綜合評(píng)價(jià)，也影響著它在所有決策單元中的排序位置。因此，我們定義合作博弈(N,v)中聯(lián)盟S得到的收益是該聯(lián)盟內(nèi)的所有參與者的平均交叉效率得分總和。為了追求該聯(lián)盟更大的收益和突出的地位，聯(lián)盟S內(nèi)的任一個(gè)決策單元將會(huì)對(duì)同在該聯(lián)盟內(nèi)的每個(gè)其它決策單元進(jìn)行盡可能高的交叉效率評(píng)價(jià)，于是選擇仁慈型模型。相反，對(duì)于未結(jié)盟的決策單元選擇對(duì)抗型模型進(jìn)行盡可能低的交叉效率評(píng)價(jià)。反過(guò)來(lái)，對(duì)于聯(lián)盟S內(nèi)的DMUj, 將得到同屬于該聯(lián)盟的每一個(gè)決策單元所作的最大交叉效率評(píng)價(jià)以及不在該聯(lián)盟內(nèi)的決策單元實(shí)施的最小交叉效率評(píng)價(jià)，于是聯(lián)盟S內(nèi)的DMUj得到的平均交叉效率得分如式(10)。

性質(zhì)1 對(duì)于任意S1,S2?N,S1∩S2=Φ,有

v(S1∪S2)≥v(S1)+v(S2)

證明：由定義1， 我們有：

(11)

由于S1∩S2=Φ，則式(11)可表示為：

因此，v(S1∪S2)≥v(S1)+v(S2)。

性質(zhì)1意味著定義1中的特征函數(shù)v具有超可加性，因此每個(gè)決策單元都愿意結(jié)盟以期獲得更高的收益。另外由性質(zhì)1易得到：

對(duì)于所有參與者在合作后收益如何分配，通常有多種不同的解，如核心、核子、穩(wěn)定集和Shapley值等，其中Shapley值是滿足有效性公理、對(duì)稱性公理、合理性公理和可加性公理的唯一解，它表現(xiàn)為參與者在合作博弈中的平均貢獻(xiàn)。自1953年Shapley值[20]被提出來(lái)后，它已成為了合作博弈中最常使用的一種收益分配方式?，F(xiàn)在我們也將計(jì)算每一個(gè)參與者的Shapley值，由此來(lái)分配各決策單元在合作博弈(N,v)中的收益，其中DMUk(k∈{1,2,…,n})的 Shapely值為：

(12)

正如前所述，每個(gè)決策單元以最小平均交叉效率得分作為相互不合作時(shí)各自的收益，大聯(lián)盟形成后的共同收益是所有決策單元最大平均交叉效率得分總和，而部分決策單元形成聯(lián)盟時(shí)的共同收益同時(shí)考慮了最小交叉效率評(píng)價(jià)和最大交叉效率評(píng)價(jià)。因此該合作博弈(N,v)兼顧了最小交叉效率和最大交叉效率兩種評(píng)價(jià)方式。另外，Shapley值是決策單元在合作博弈(N,v)的平均貢獻(xiàn)，也即是合作后各決策單元應(yīng)得到的收益。綜合而言，基于Shapley值排序決策單元是綜合考慮了最小、最大交叉效率評(píng)價(jià)以及合作博弈的一種合理分配收益的排序方法。

考慮n個(gè)決策單元進(jìn)行定義1中的合作博弈，下面定理給出了該合作博弈中各決策單元Shapley值的簡(jiǎn)化結(jié)果。

定理1對(duì)于定義1中的合作博弈(N,v)， DMUk(k∈{1,2,…,n})的Shapley值為:

(13)

證明：對(duì)于DMUk，考慮包含它的聯(lián)盟S，即滿足k∈S，由定義1有:

因此DMUk在聯(lián)盟S中的貢獻(xiàn)為:

(14)

由式(10)，有:

且對(duì)于j∈S-{k}有:

則式(14)可化簡(jiǎn)為:

v(S)-v(S-{k})=

將上式代入式(12)，則有:

將上式整理成如下形式：

φk(v)=a·Ekk+

(15)

其中

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

將式(19)、(20)和(21)代入式(15)中可得:

4 實(shí)例分析

下面我們對(duì)含有兩個(gè)投入變量四個(gè)產(chǎn)出變量的12個(gè)柔性制造系統(tǒng)[4]進(jìn)行評(píng)價(jià)與排序，其中投入變量分別是年度經(jīng)營(yíng)折舊成本和各系統(tǒng)所需的占地空間大小；四個(gè)產(chǎn)出變量測(cè)量的是各系統(tǒng)分別在質(zhì)量效益、WIP、平均誤工和平均產(chǎn)量上的改進(jìn)。具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表2展示了這12個(gè)決策單元的CCR效率、兩種平均交叉效率得分、本文合作博弈的Shapley值，另外也給出了Shang和Sueyoshi[4]基于權(quán)重約束DEA方法[21]評(píng)價(jià)的結(jié)果。在表2中，CCR效率不能很好地完全排序所有決策單元，因?yàn)橛?個(gè)決策單元的CCR效率為最大值1。在文獻(xiàn)4中，Shang和Sueyoshi[4]基于AHP方法得到各投入產(chǎn)出變量相對(duì)重要性的區(qū)間范圍，并應(yīng)用權(quán)重約束DEA方法[21]評(píng)價(jià)了這12個(gè)決策單元的效率，然而DMU5和DMU7的效率都依然是最大值1，依然無(wú)法完全排序，另外比較異常的是DMU9的效率評(píng)價(jià)結(jié)果是0.1148，這個(gè)效率值與其CCR效率值1相比，變化幅度太大。并且DMU9的最小評(píng)價(jià)交叉效率都達(dá)到了0.4852，可見(jiàn)Shang和Sueyoshi[4]采用的權(quán)重約束方法對(duì)DMU9過(guò)于苛刻，有失公允。

表1 12個(gè)柔性制造系統(tǒng)的數(shù)據(jù)

由于交叉效率評(píng)價(jià)方法在排序決策單元方面的突出能力，故我們基于交叉效率評(píng)價(jià)方法來(lái)排序這12個(gè)柔性制造系統(tǒng)。表2中的最右三列是最小平均交叉效率得分、最大平均交叉效率得分和基于交叉效率與合作博弈計(jì)算得到的Shapley值。明顯地，每個(gè)決策單元的Shapley值均大于其最小平均交叉效率。特別地，DMU3、DMU8、DMU10、DMU11和DMU12這五個(gè)決策單元的Shapley值恰是最小平均交叉效率和最大平均交叉效率的平均值。以DMU3為例，其Shapley值是0.8537，正是它的最小平均交叉效率0.7703和最大平均交叉效率0.9371的平均值。事實(shí)上，這五個(gè)決策單元的CCR效率均小于1，即它們都是CCR 無(wú)效決策單元。由于CCR無(wú)效決策單元對(duì)應(yīng)的CCR模型通常存在唯一解，因此每個(gè)CCR無(wú)效決策單元對(duì)任意決策單元的最大交叉效率評(píng)價(jià)和最小交叉效率評(píng)價(jià)是相同的。根據(jù)定理1，這5個(gè)CCR無(wú)效決策單元的Shapley值將退化為最小平均交叉效率和最大平均交叉效率的平均值。相反，另外7個(gè)CCR有效決策單元的Shapley值均大于其最小平均交叉效率和最大平均交叉效率的平均值，甚至很多決策單元的Shapley值還超過(guò)了最大平均交叉效率。特別地，在12個(gè)決策單元中DMU5的Shapley值最大，同時(shí)我們也看到最小交叉效率評(píng)價(jià)和Shang和Sueyoshi[4]也都將DMU5排在了效率最高的位置。相反，DMU12的Shapley值是所有決策單元中最小的，這與在CCR效率和最大平均交叉效率中的排序位置也是一致的。另外注意到這12個(gè)決策單元的Shapley值之和與最大平均交叉效率之和是完全相同的，即Shapley值完全地分配了所有決策單元聯(lián)盟的總收益。但Shapley值不同于最大平均交叉效率得分，而是基于合作博弈中各決策單元的平均貢獻(xiàn)來(lái)進(jìn)行評(píng)價(jià)。

為了綜合比較表2中各種評(píng)價(jià)方法對(duì)12個(gè)決策單元排序的相似度，我們計(jì)算了各種效率評(píng)價(jià)結(jié)果的秩相關(guān)系數(shù)，見(jiàn)表3。從表3第一行可以看到，與兩種交叉效率和Shang和Sueyoshi[4]評(píng)價(jià)相比，Shapley值與CCR效率的評(píng)價(jià)結(jié)果最相似，即秩相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.8500。表3第五行顯示的是12個(gè)決策單元合作博弈的Shapley值與其他四種效率評(píng)價(jià)的秩相關(guān)系數(shù)。顯然合作博弈的Shapley值與其他四種效率評(píng)價(jià)都很相似，其中合作博弈的Shapley值與Shang和Sueyoshi[4]評(píng)價(jià)的最相似。另外可以看到對(duì)抗型和仁慈型兩種不同策略得到的平均交叉效率排序的秩相關(guān)系數(shù)只有0.7413。而合作博弈的Shapley值與這兩者平均交叉效率評(píng)價(jià)的秩相關(guān)系數(shù)都較高，分別是0.8531和0.8461?？梢?jiàn)Shapley值綜合考慮了最小交叉效率和最大交叉效率兩種評(píng)價(jià)，用它排序決策單元具有一定的綜合性與合理性。

表2 12個(gè)柔性制造系統(tǒng)的評(píng)價(jià)結(jié)果

表3 五種評(píng)價(jià)的秩相關(guān)系數(shù)

5 結(jié)語(yǔ)

傳統(tǒng)的交叉效率評(píng)價(jià)是基于CCR模型與二次目標(biāo)模型實(shí)現(xiàn)決策單元之間的自我評(píng)價(jià)與相互評(píng)價(jià)，并利用平均交叉效率得分對(duì)決策單元進(jìn)行排序。本文基于Doyle和Green[7]提出的對(duì)抗型和仁慈型兩個(gè)交叉效率模型，用合作博弈的方法來(lái)研究這兩個(gè)模型的選取，即對(duì)于聯(lián)盟內(nèi)的決策單元，相互之間用仁慈型模型進(jìn)行最大交叉效率評(píng)價(jià)，而對(duì)于聯(lián)盟外的決策單元采用對(duì)抗型模型實(shí)現(xiàn)最小交叉效率評(píng)價(jià)。最后利用該合作博弈的 Shapley值即每個(gè)決策單元在該合作博弈中的平均貢獻(xiàn)對(duì)決策單元進(jìn)行排序。經(jīng)證明，該合作博弈中的Shapley值可化簡(jiǎn)為最大交叉效率評(píng)價(jià)和最小交叉效率評(píng)價(jià)的一個(gè)綜合結(jié)果。在實(shí)例分析中，我們看到Shapley值在最小平均交叉效率評(píng)價(jià)的基礎(chǔ)上對(duì)最大平均交叉效率總和進(jìn)行了重新合理分配，且Shapley值完全排序了所有決策單元，評(píng)價(jià)排序結(jié)果與其它四種方法也均有較高的秩相關(guān)系數(shù)，具有公平合理性與一定的綜合能力。

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