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    動(dòng)靜結(jié)合的四邊形中考題

    2018-05-07 09:03:24萬廣磊
    初中生世界·九年級(jí) 2018年3期
    關(guān)鍵詞:弧長(zhǎng)菱形內(nèi)角

    一、多邊形的計(jì)算

    例1 (2017·蘇州)如圖1,在正五邊形ABCDE中,連接BE,則∠ABE的度數(shù)為( ).

    A.30° B.36° C.54° D.72°

    【思路分析】本題考查了正五邊形的內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是求出正五邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù).可以先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出內(nèi)角和,求出每個(gè)內(nèi)角的度數(shù),再結(jié)合△ABE是等腰三角形,求出底角的度數(shù).

    【解答過程】∵已知正五邊形ABCDE,∴五邊形ABCDE內(nèi)角和等于(5-2)×180°=540°,∴每一個(gè)內(nèi)角為540°÷5=108°,又∵AB=AE,∴∠ABE

    =(180°-108°)÷2=36°,故選B.

    【另法點(diǎn)撥】此題也可根據(jù)正五邊形的外角和是360°,求出每個(gè)外角為72°,相鄰內(nèi)角就是108°,從而得到底角的度數(shù)是36°.

    二、平行四邊形的判定與性質(zhì)

    例2 (2017·鎮(zhèn)江)如圖2,點(diǎn)B、E分別在AC、DF上,AF分別交BD、CE于點(diǎn)M、N,∠A=∠F,∠1=∠2.

    (1)求證:四邊形BCED是平行四邊形;

    (2)已知DE=2,連接BN,若BN平分∠DBC,求CN的長(zhǎng).

    【思路分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定,解題的關(guān)鍵是利用兩組對(duì)邊分別平行判定平行四邊形,再應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)求得線段長(zhǎng).第(1)問,根據(jù)條件中已有角的相等關(guān)系,判斷四邊形的兩組邊分別平行,進(jìn)而確定四邊形是平行四邊形;第(2)問用平行四邊形的性質(zhì)和角平分線可得等腰△BCN,進(jìn)而將求線段CN的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為求BC的長(zhǎng).

    【解答過程】(1)證明:∵∠A=∠F,∴DF∥AC.又∵∠1=∠2,∠1=∠DMF,∴∠2=∠DMF,∴DB∥EC,∴四邊形BCED是平行四邊形.

    (2)解:∵BN平分∠DBC,∴∠DBN=∠NBC,∵DB∥EC,∴∠DBN=∠BNC,∴∠NBC=∠BNC,∴BC=CN.∵四邊形BCED是平行四邊形,∴BC=DE=2,∴CN=2.

    【規(guī)律總結(jié)】在問題(2)中,平行線與角平分線的條件組合,可得等腰三角形,這是一個(gè)幾何基本圖形.

    三、三角形的中位線性質(zhì)

    例3 (2017·懷化)如圖3,在?ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),OE=5cm,則AD的長(zhǎng)為 cm.

    【思路分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是確定OE是三角形的中位線.利用平行四邊形的對(duì)角線性質(zhì)和點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),可得OE是△BAD的中位線,從而求出AD的長(zhǎng).

    【解答過程】∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴點(diǎn)O為BD的中點(diǎn).又∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),∴OE是△BAD的中位線,則AD=2OE=2×5=10.故答案為10.

    【易錯(cuò)點(diǎn)睛】本題易錯(cuò)點(diǎn)是不能由平行四邊形的性質(zhì)得到O為BD的中點(diǎn),從而不能確定OE是△BAD的中位線.

    四、矩形的判定與性質(zhì)

    例4 (2017·宿遷)如圖4,在矩形紙片ABCD中,已知AB=1,BC=[3],點(diǎn)E在邊CD上移動(dòng).連接AE,將多邊形ABCE沿直線AE折疊,得到多邊形AB′C′E,點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B′、C′.

    (1)若當(dāng)B′C′恰好經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)(如圖4),求線段CE的長(zhǎng);

    (2)若B′C′分別交邊AD、CD于點(diǎn)F、G,且∠DAE=22.5°(如圖5),求△DFG的面積;

    (3)在點(diǎn)E從點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D的過程中,求點(diǎn)C′運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).

    【思路分析】本題是幾何壓軸題,綜合考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理、弧長(zhǎng)的計(jì)算等知識(shí),解題的關(guān)鍵是利用勾股定理或相似三角形知識(shí)計(jì)算出相關(guān)線段的長(zhǎng),找到C′點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑并用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.(1)在Rt△AB′D中,先由勾股定理求出B′D的長(zhǎng),進(jìn)而得到C′D的長(zhǎng),然后利用勾股定理得到關(guān)于CE(令CE=x)的一元一次方程x2+([3]-[2])2=(1-x)2,解方程即可得到CE的長(zhǎng);或者利用相似三角形的知識(shí),通過證明△ADB′∽△DEC′,得到[DEAD]=[C′DB′A],即[1-CE3]=[3-21],也可求出CE的長(zhǎng).(2)先判斷△AFB′是等腰直角三角形,并求出AF的長(zhǎng),進(jìn)而求出DF的長(zhǎng);然后再判斷△FDG是等腰直角三角形,進(jìn)而求出該三角形的面積.(3)連接AC′,則AC′=AC=2,在點(diǎn)E從點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D的過程中,點(diǎn)C′運(yùn)動(dòng)的路徑是以點(diǎn)A為圓心,AC長(zhǎng)為半徑且圓心角為60°的扇形弧長(zhǎng),最后進(jìn)行弧長(zhǎng)計(jì)算即可.

    【解答過程】(1)設(shè)CE=C′E=x,則DE=1-x.在Rt△AB′D中,B′D=[32-12]=[2],所以C′D=[3]-[2].在Rt△EC′D中,由勾股定理,得x2+([3]-[2])2=(1-x)2,解得x=[6]-2,所以CE的長(zhǎng)為[6]-2.

    (2)∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ADC

    =90°.∵∠DAE=22.5°,∴∠BAE=∠B′AE=67.5°,∴∠B′AD=67.5°-22.5°=45°.又∵∠B′=90°,AB′=AB=1,∴AF=[2],F(xiàn)D=[3]-[2].∵∠AFB′

    =45°,∠D=90°,∴∠DFG=45°,△DFG是等腰直角三角形,∴S△DFG=[12]([3]-[2])2=[52]-[6].

    (3)如圖6,連接AC,在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC=2.∵tan∠BAC=[BCAB]=[3],∴∠BAC

    =60°,∠CAD=30°.當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí),∠C′AD=30°.∴在點(diǎn)E從點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D的過程中,點(diǎn)C′運(yùn)動(dòng)的路徑是以點(diǎn)A為圓心,AC長(zhǎng)為半徑且圓心角為60°的扇形弧長(zhǎng),而l弧=[60π·2180]=[2π3],故點(diǎn)C′運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為[2π3].

    【易錯(cuò)點(diǎn)睛】本題容易出錯(cuò)的地方有三處:一是在解答第(1)問時(shí),因二次根式計(jì)算出錯(cuò);二是在解第(2)問時(shí),不能充分利用∠DAE=22.5°判斷圖2中的兩個(gè)等腰直角三角形,導(dǎo)致解題束手無策;三是找不到點(diǎn)C′運(yùn)動(dòng)的路徑,不能求出點(diǎn)C′運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).

    【規(guī)律歸納】翻折變換是幾何中常用的幾何變換,解題時(shí)要充分利用翻折前后的兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)線段相等、對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì).本題的前兩問,都是基于這個(gè)性質(zhì)來求解線段的長(zhǎng)和三角形的面積的.對(duì)于最后一個(gè)問題,可以在備用圖上先找?guī)讉€(gè)特殊的點(diǎn)E的位置,看看點(diǎn)C′的相應(yīng)位置,再利用C′點(diǎn)到A點(diǎn)的距離不變皆為2,這就尋找到C′的運(yùn)動(dòng)軌跡即是以點(diǎn)A為圓心,AC長(zhǎng)為半徑且圓心角為60°的扇形弧長(zhǎng),弧長(zhǎng)的計(jì)算公式為l=[nπR180].

    五、菱形的判定與性質(zhì)

    例5 (2017·濱州)如圖7,在?ABCD中,以點(diǎn)A為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫弧交AD于點(diǎn)F;再分別以點(diǎn)B、F為圓心,大于[12BF]的相同長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P;連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E,連接EF,則所得四邊形ABEF是菱形.

    (1)根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程,求證四邊形ABEF是菱形;

    (2)若菱形ABEF的周長(zhǎng)為16,AE=[43],求∠C的大小.

    【考點(diǎn)解剖】本題綜合考查了尺規(guī)作角平分線、菱形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形.解題的關(guān)鍵是根據(jù)尺規(guī)作圖的作法得題目的條件.(1)由“平行線+角平分線”構(gòu)造等腰三角形,然后利用AB=AF(作法)得BE=AF,再根據(jù)BE∥AF完成證明;(2)根據(jù)菱形的性質(zhì),將所給線段的條件轉(zhuǎn)移到同一直角三角形中,利用邊的關(guān)系得角的度數(shù),然后利用菱形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)得∠C的度數(shù).

    【解答過程】(1)由作圖過程可知,AB=AF,AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠EAF.∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴BC∥AD,∴∠AEB=∠EAF,∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE,∴BE=AF,∴四邊形ABEF為平行四邊形,又∵AB=AF,∴?ABEF為菱形.

    (2)連接BF,交AE于點(diǎn)O.

    ∵四邊形ABEF為菱形,∴BF⊥AE,OA=[12AE]=[12]×[43]=[23],∠BAD=2∠BAE.∵菱形ABEF的周長(zhǎng)為16,∴AB=4.在Rt△ABO中,cos∠BAE=[OAAB]=[234]=[32],∴∠BAE=30°,∴∠BAD=60°.∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴∠C=∠BAD=60°.

    【易錯(cuò)點(diǎn)睛】本題的易錯(cuò)點(diǎn)是無法從尺規(guī)作圖的作法中獲取條件,導(dǎo)致無法完成證明.

    六、正方形的判定與性質(zhì)

    例6 (2017·菏澤)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm,點(diǎn)E、M分別是線段BD、AD上的動(dòng)點(diǎn),連接AE并延長(zhǎng),交邊BC于F,過M作MN⊥AF,垂足為H,交邊AB于點(diǎn)N.

    (1)如圖9,若點(diǎn)M與點(diǎn)D重合,求證:AF=MN.

    (2)如圖10,若點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā),以1cm/s的速度沿DA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā),以[2]cm/s的速度沿BD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.

    ①設(shè)BF=ycm,求y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式;

    ②當(dāng)BN=2AN時(shí),連接FN,求FN的長(zhǎng).

    【考點(diǎn)解剖】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì),解題的關(guān)鍵是利用全等三角形和相似三角形證明線段的關(guān)系.(1)直接利用兩角一邊證明△AMN≌△BAF即可.(2)①過點(diǎn)E作EG⊥AB,垂足為G,利用△AEG∽△AFB即可得到結(jié)論;②結(jié)合前兩個(gè)題目的條件可證明△AEG≌△MNA,從而求得t的值,代入①可求得BF,再利用勾股定理進(jìn)行解答.

    【解答過程】(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴∠DAB=∠ABC=90°,AB=AD,∴∠BAF

    +∠FAM=90°;∵M(jìn)N⊥AF,∴∠FAM+∠AMN=90°,∴∠AMN=∠BAF,∴△AMN≌△BAF,∴AF=MN.

    (2)①過點(diǎn)E作EG⊥AB,垂足為G.

    由題意得,DM=t,BE=[2t],∵四邊形ABCD

    是正方形,∴∠ABD=45°,∴GE=GB=t,∴AG=6-t.∵AB⊥BC,∴GE∥BF,∴[GEBF]=[AGAB],即[ty]=[6-t6],∴y=[6t6-t].

    圖11

    ②∵BN=2AN,AB=6,∴AN=2,BN=4,∵AM=6-t,AG=6-t,∴AM=AG.

    由(1)證得∠BAF=∠AMN,∵∠AGE=∠MAN

    =90°,∴△AEG≌△MNA,∴EG=AN,∴t=2,∴y=[6t6-t]=[6×26-2]=3.∴在Rt△BFN中,F(xiàn)N=[BN2+BF2]=[42+32]=5.

    【規(guī)律歸納】四邊形的幾何證明題一般都需要用全等或相似作為工具來進(jìn)行證明,在應(yīng)用全等或相似三角形的判定時(shí),要注意三角形間的隱含條件,如公共邊、公共角、對(duì)頂角、直角、余角等,必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形.

    【一題多解】本題還可以這樣解答:

    (2)①∵AB=AD=6,∴BD=[62],由題意得,DM=t,BE=[2t],∴AM=6-t,DE=[62]-[2t],∵AD∥BC,∴△ADE∽△FBE,∴[ADBF]=[DEBE],即[6y]=[62-2t2t],∴y=[6t6-t].

    ②∵BN=2AN,AB=6,∴AN=2,BN=4,由(1)證得∠BAF=∠AMN,又∵∠ABF=∠MAN=90°,∴△ABF∽△MAN,∴[ABAM]=[BFAN],即[66-t]

    =[y2],∴y=[126-t],由①求得y=[6t6-t],∴[126-t]=[6t6-t],∴t=2,∴y=[126-t]=3,∴FN=[BN2+BF2]

    =[42+32]=5.

    (作者單位:揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)東部分校)

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