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    中考“三角形”考點分析

    2018-05-07 09:03:24康海芯
    初中生世界·九年級 2018年3期
    關鍵詞:外角直角勾股定理

    考點1 三角形的三邊關系

    例1 (2017·淮安)若一個三角形的兩邊長分別為5和8,則第三邊長可能是( ).

    A.14 B.10 C.3 D.2

    【分析】已知三角形的兩邊求第三邊時,依據(jù)“已知兩邊的差(長邊減短邊)<第三邊<已知兩邊的和”構(gòu)造不等式組求解.

    解:設這個第三邊長為a,根據(jù)“三角形三邊之間的關系”得8-5

    【點評】判斷給定的三條線段能否組成三角形,只需判斷兩條較短線段的和是否大于最長線段即可.

    考點2 三角形的內(nèi)角和

    例2 (2017·郴州)小明把一副含45°,30°的直角三角板如圖1擺放,其中∠C=∠F=90°,∠A=45°,∠D=30°,則∠α+∠β等于( ).

    A.180° B.210° C.360° D.270°

    【分析】題中已知一副三角板六個內(nèi)角的度數(shù),∠α、∠β是三角形的兩個外角,要求∠α+∠β度數(shù),可以考慮利用三角形的外角性質(zhì)轉(zhuǎn)化為三角板的內(nèi)角度數(shù)來求解.

    解:如圖2,不妨設AB與DE交于點G,EF與AB交于點H,由三角形的外角性質(zhì)可知:∠α=∠A+∠AGD,∠β=∠B+∠BHF,由于∠AGD=∠EGH,∠BHF=∠EHG,所以∠AGD+∠BHF=∠EGH+∠EHG=180°-∠E=180°-(90°-∠D)=120°,所以∠α+∠β=∠A+∠B+∠AGD+∠BHF=90°+120°=210°,故應選B.

    【點評】在計算與三角形有關的角度時,首先應判斷出待求角與已知角之間的關系,再合理選用三角形的內(nèi)角和定理或外角性質(zhì)求解.

    考點3 全等三角形的性質(zhì)與判定

    例3 (2017·常州)如圖3,已知在四邊形ABCD中,點E在AD上,∠BCE=∠ACD=90°,∠BAC=∠D,BC=CE.

    (1)求證:AC=CD;

    (2)若AC=AE,求∠DEC的度數(shù).

    【分析】(1)根據(jù)同角的余角相等可得到∠ACB=∠DCE,結(jié)合已知條件∠BAC=∠D, BC=CE,利用“AAS”可以證明△ABC≌△DEC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證.

    (2)根據(jù)∠ACD=90°,AC=CD,得到∠CAD=∠D=45°,又AC=AE,利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求∠AEC的度數(shù),然后依據(jù)平角的定義求∠DEC的度數(shù).

    (1)證明:∵∠BCE=∠ACD=90°,

    ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,

    ∴∠BCA=∠ECD.

    在△BCA和△ECD中,

    [∠BCA=∠ECD,∠BAC=∠D,BC=CE,]

    ∴△BCA≌△ECD,

    ∴AC=CD.

    (2)解:∵∠ACD=90°,AC=CD,

    ∴△ACD是等腰直角三角形,

    ∴∠DAC=45°,

    ∵AC=AE,

    ∴∠AEC=∠ACE=[12](180°-∠DAC)

    =[12](180°-45°),

    ∴∠DEC=180°-∠AEC

    =180°-[12](180°-45°)

    =112.5°.

    【點評】證明兩條線段相等或兩個角相等時,通常采用的方法是證明這兩條線段或這兩個角所在的三角形全等.

    考點4 等腰三角形的性質(zhì)與判定

    例4 (2017·連云港)如圖4,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,點D、E分別在邊AB、AC上,且AD=AE,連接BE、CD,交于點F.

    (1)判斷∠ABE與∠ACD的數(shù)量關系,并說明理由;

    (2)求證:過點A、F的直線垂直平分線段BC.

    【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”可以證明△ABE≌△ACD,然后利用全等三角形的對應角相等即可得證;(2)由AB=AC,得∠ABC=∠ACB,又根據(jù)(1)的結(jié)論可得∠ABE=∠ACD,則∠FBC=∠FCB,由等角對等邊可得FB=FC,依據(jù)垂直平分線的判定即可證明結(jié)論.

    (1)解:∠ABE=∠ACD,理由如下:

    在△ABE和△ACD中,

    [AB=AC,∠A=∠A,AE=AD,]

    ∴△ABE≌△ACD,

    ∴∠ABE=∠ACD.

    (2)證明:∵AB=AC,

    ∴∠ABC=∠ACB,

    由(1)可知∠ABE=∠ACD,

    ∴∠FBC=∠FCB,

    ∴FB=FC,

    ∵AB=AC,

    ∴點A、F均在線段BC的垂直平分線上,即直線AF垂直平分線段BC.

    【點評】在三角形中,證明兩條線段或兩個角相等時,如果線段或角在同一個三角形中,則先考慮用“等邊對等角”“等角對等邊”來證明.

    考點5 勾股定理及其逆定理

    例5 (2017·安順)三角形三邊長分別為3,4,5,那么最長邊上的中線長等于

    .

    【分析】先根據(jù)勾股定理逆定理判斷出三角形是直角三角形,然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解

    解:∵32+42=25=52,

    ∴該三角形是直角三角形,

    ∴最長邊上的中線長=[12]×5=2.5.

    【點評】勾股定理的逆定理是判斷一個三角形是直角三角形的重要方法,應先確定最長邊,然后驗證兩條較短的邊的平方和是否等于最長邊的平方.

    考點6 直角三角形的性質(zhì)

    例6 (2017·龍東)如圖6,在△ABC中,AB=BC=8,AO=BO,點M是射線CO上的一個動點,∠AOC=60°.則當△ABM為直角三角形時,AM的長為 .

    圖6

    【分析】注意到點M位置的不確定性,因此考慮分類討論解決此題,分類的標準是看△ABM中哪個頂點可能是直角頂點.分好類以后,畫出草圖,根據(jù)已知給出的數(shù)據(jù)逐個計算即可.

    解:(1)如圖7,當點B為直角三角形ABM的直角頂點時,

    ∵AB=8,點O為AB中點,∴OB=4,

    ∵∠AOC=60°,∴∠BOM=60°,

    ∴∠OMB=30°,∴OM=8,

    在Rt△OBM中,由勾股定理得BM=[43],

    在Rt△ABM中,由勾股定理得AM=[AB2+BM2]=[47].

    (2)如圖8,當點M在△ABC外部且點M為直角三角形ABM的直角頂點時,

    ∵點O為AB中點,∴OM=OB,

    ∵∠BOM=∠AOC=60°,

    ∴△BOM是等邊三角形,

    ∴∠OBM=60°,∴∠BAM=30°,

    ∴BM=[12]AB=4,在Rt△ABM中,由勾股定理得AM=[43].

    (3)如圖9,當點M在△ABC內(nèi)部且點M為直角三角形ABM的直角頂點時,同(2)可得△AOM是等邊三角形,∴AM=AO=4.

    綜上所述,AM的長為[47]或[43]或4.

    【點評】在直角三角形中,“30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”揭示的是直角邊與斜邊的關系,它在求直角三角形中的線段長時能起到關鍵的作用.

    (作者單位:江西省贛縣江口中學)

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