探析解決數(shù)列不等式問題的函數(shù)策略

浙江省紹興魯迅中學(xué) (312000)

陳少春

數(shù)列是一個定義在正整數(shù)集(或其子集)上的特殊函數(shù)，它豐富了學(xué)生所接觸的函數(shù)概念的范圍，引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)去研究數(shù)列問題，能使解數(shù)列的問題更有新意和綜合性，更能有效地培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和創(chuàng)新意識.因此我們在解決數(shù)列問題時，可以從它的源頭、本質(zhì)——函數(shù)的角度去解決它，充分利用函數(shù)的有關(guān)知識，以函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列之間的橋梁，揭示它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，比如數(shù)列的放縮、單調(diào)性可以借助函數(shù)的單調(diào)性方法放縮、判斷，數(shù)列的最大(小)項可以利用函數(shù)圖像的直觀性來比較，從而有效地解決數(shù)列不等式問題.下面筆者通過具體的例子嘗試從函數(shù)的角度處理數(shù)列不等式問題，希望對考生處理數(shù)列問題有些許幫助.

一、函數(shù)單調(diào)性處理數(shù)列遞推問題

數(shù)列和的不等式問題的矛盾在于數(shù)列相鄰兩項的遞推關(guān)系的發(fā)現(xiàn)，有時候從函數(shù)單調(diào)性角度去入手則事半功倍.

③綜上所述，該命題對所有的正整數(shù)n都成立.

(1)(2)證明略.

二、函數(shù)恒成立處理數(shù)列有界性、求和問題

找到數(shù)列任意兩項之間的關(guān)系，再分離變量轉(zhuǎn)化成函數(shù)恒成立問題是解決數(shù)列有界性的關(guān)鍵．

例3 (2016年浙江理20)設(shè)數(shù)列{an}滿足

(1)證明：|an|≥2n-1(|a1|-2),n∈N*；

|an|-2≥(|a1|-2)·2n-1，所以|an|≥

2n-1(|a1|-2),n∈N*.

例4 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，滿足an+Sn=1.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

例5 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，滿足an+Sn=1.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

三、函數(shù)圖像處理數(shù)列最值問題

函數(shù)圖像的直觀性可以為我們解決數(shù)列的最值問題帶來很多方便.

例6 (2012年浙江理7)設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列{an}的前n項和，則下列命題錯誤的是( ).

A.若d<0，則數(shù)列{Sn}有最大項

B.若數(shù)列{Sn}有最大項，則d<0

C.若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，則對任意的n∈N*，均有Sn>0

D.若對任意的n∈N*，均有Sn>0，則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列

A.a1，a30B.a1，a9C.a10，a9D.a10，a30