解導(dǎo)數(shù)試題中常見的問題與對策
——來自閱卷場和研討會的報告

□ 海南華僑中學(xué) 李玉玲 李紅慶

下面借2017年高考數(shù)學(xué)第（II）理科第21題第（1）問，談?wù)劷鈱?dǎo)數(shù)試題常見的問題與對策．先看試題：

已知函數(shù) f（x）＝ax2－ax－xlnx，且 f（x）≥0。（1）求 a；

（2）證明：f（x）存在唯一的最大值 x0，且 e﹣2﹤f（x0）﹤2﹣2。

函數(shù)和應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的教學(xué)缺少建立數(shù)與形、式與式的聯(lián)系過程，缺失利用圖像理解和解決問題的直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)，含參數(shù)a的函數(shù)xg（x）＝ax2－ax－xlnx 與 g（x）＝ax－a－lnx 的圖像隨參數(shù)a的變化規(guī)律，應(yīng)該借用幾何畫板等軟件拖動參數(shù)，觀察與體驗兩函數(shù)圖像隨參量的變化規(guī)律，教學(xué)中學(xué)生需要這個感受與體驗過程，學(xué)生需要建立數(shù)與形、式與式的相互聯(lián)系的思維品質(zhì)的養(yǎng)成。

也許是前幾年試題中，使用“若f（x）≥0，則f＇（x）≥0”歪打正著能撞運(yùn)氣撞到參量a臨界點值，如2010 年高考試題中的 f（x）＝ex－1－x－ax2，f＇（x）＝ex－1－2ax≥（1－2a）x 都是恰好在定義域[0,＋∞)的端點x＝0時取值，今年閱卷中發(fā)現(xiàn)大量使用 “若f（x）≥0，則 f＇（x）≥0”，這充分暴露了教學(xué)中，沒有搞清 f＇（x）的符號僅與 f（x）的單調(diào)性的關(guān)系，而 f＇（x）≥0 與 f（x）≥0 并充要關(guān)系。

1.探尋充分條件證明其必要性的方法。

第一步，求定義域，等價轉(zhuǎn)化，盤活題目：

f（x）的定義域為(0,＋∞)，由 x﹥0，f（x）≥0，得ax－a－lnx≥0 恒成立，令 h（x）＝ax－a－lnx。

第二步，探尋充分性：

當(dāng) a＝1 時，由 lnx≤x－1（當(dāng)且僅當(dāng) x＝1 時，等號成立），所以當(dāng) a＝1 時，h（x）≥0，即 f（x）≥0 恒成立，所以“a＝1”是“當(dāng)任意 x﹥0 時，f（x）≥0 恒成立”的充分條件。

第三步，證明必要性：

（i）當(dāng) a≤0 時，彐 x﹥1，h（x）＝a(x－1)－lnx﹤0，所以 h（x）≥0 不恒成立，即 f（x）≥0 不恒成立（此情形下不須用導(dǎo)數(shù)就能得到結(jié)果）。

（ii）當(dāng) 0﹤a﹤1 時，h＇（x）＝a－ l x （xl

x ＝a·l

a ），當(dāng) x∈(1,l a)，使得 h（x0）﹤h（1）＝0，即 f（x）≥0 不恒成立。

（iii）當(dāng) a﹥1 時，h＇（x）＝a－l a)時，h＇（x）﹤0，所以 h（x）在(1,l

a)上遞減，存在x0∈(1,l a），當(dāng)x∈(l

x ＝a·l

x （x－l a,1)上遞增，彐 x0∈(l

a,1)時，h＇（x）﹥0，所以 h（x）在(l

a,1)，使得 h（x0）﹤h（1）＝0，即f（x）≥0不恒成立。

由（i）（ii）（iii）知“a＝1”也是“當(dāng)任意 x﹥0時，f（x）≥0恒成立”的必要條件。

綜上所述，a＝1。

解法邏輯分析：命題p：a＝1，命題 q：任意 x﹥0時，f （x）≥0恒成立，充分性是p q；必要性是q p，必要性證明非常困難，改為等價的逆否命題證明，－p：a≠1，根據(jù)要得到－q：彐 a﹥0，f（x）≥0 不恒成立的具體情況，－p：a≤0或0﹤a﹤1或a﹥1。

2.抓“綱”不抓“目”的分類討論方法。

含參量的分類討論，長期以來解答都是抓“目”不抓“綱”的方法，解答非常紊亂，包括過去命題者提供的解答，這道題如果當(dāng)時沒有注意到等價盤活，那么就是需要分類討論解答，分類討論要以參量a為綱，提綱挈領(lǐng)的討論，作出參量a軸，找出參量a的臨界值，然后從左至右有序進(jìn)行。

f（x）的定義域為(0，＋∞)，f＇（x）＝2ax－a－lnx－1，令 φ（x）＝2ax－a－lnx－1，則 φ＇（x）＝2a－ l 2

x 。尋找a的臨界值，考慮因式2ax－1是否為一次因式，得a＝0，在a≠0的條件下，得到x＝ l

2 a＝2ax－1 2 ，注意到 φ（1）＝a－1，令 φ（1）＝0，得到 a＝1，作出 a 軸，然后考慮臨界值是單獨(dú)討論，還是與區(qū)間一起討論，如把a(bǔ)＝0與(﹣∞,0)放在一起，主要考慮因式 2ax－1 在(0，＋∞)上恒為負(fù)值。a，注意到 f（1）＝0，令 l 2

a ＝1，得到 a＝l

（i）當(dāng) a≤0 時，當(dāng) x﹥0 時，φ＇（x）﹤0，φ（x）在(0，＋∞)上遞減，注意到 φ（l 2 ）＝ln2－1﹤0，φ（e﹣2）＝1＋a·2－e﹣2

e2

﹥0，則存在 x1∈(e﹣2,2﹣1)，使得 φ（x1）＝0，即 f＇（x1）＝0，則

當(dāng) x∈(0,x1)時，f＇（x）﹥0，f（x）遞增；當(dāng)x∈(x1,＋∞)時，f＇（x）﹤0，f（x）遞減，存在 x0﹥1，則 f（x0）﹤f（1），所以f（x）≥0不恒成立；

（ii）當(dāng) 0﹤a﹤ l

2 時，φ＇（x）＝2a－ l2a·1

x （x－

綜上所述，a＝1。

3.用兩邊夾和洛比達(dá)法則等高數(shù)知識的方法。這個題也能用分離參變量求解，但必須諳熟高等數(shù)學(xué)相關(guān)法則、定理及支撐條件，要主動加強(qiáng)命題和做一些預(yù)備鋪墊，下面介紹高數(shù)的解法：

先證明預(yù)備不等式lnx≤x－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1取等號。

綜上所述，a＝1。