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    解導(dǎo)數(shù)試題中常見的問題與對策
    ——來自閱卷場和研討會的報告

    2018-05-02 11:58:50海南華僑中學(xué)李玉玲李紅慶
    新教育 2018年4期
    關(guān)鍵詞:充分性定義域參量

    □ 海南華僑中學(xué) 李玉玲 李紅慶

    下面借2017年高考數(shù)學(xué)第(II)理科第21題第(1)問,談?wù)劷鈱?dǎo)數(shù)試題常見的問題與對策.先看試題:

    已知函數(shù) f(x)=ax2-ax-xlnx,且 f(x)≥0。(1)求 a;

    (2)證明:f(x)存在唯一的最大值 x0,且 e﹣2﹤f(x0)﹤2﹣2。

    函數(shù)和應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的教學(xué)缺少建立數(shù)與形、式與式的聯(lián)系過程,缺失利用圖像理解和解決問題的直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng),含參數(shù)a的函數(shù)xg(x)=ax2-ax-xlnx 與 g(x)=ax-a-lnx 的圖像隨參數(shù)a的變化規(guī)律,應(yīng)該借用幾何畫板等軟件拖動參數(shù),觀察與體驗兩函數(shù)圖像隨參量的變化規(guī)律,教學(xué)中學(xué)生需要這個感受與體驗過程,學(xué)生需要建立數(shù)與形、式與式的相互聯(lián)系的思維品質(zhì)的養(yǎng)成。

    也許是前幾年試題中,使用“若f(x)≥0,則f'(x)≥0”歪打正著能撞運(yùn)氣撞到參量a臨界點值,如2010 年高考試題中的 f(x)=ex-1-x-ax2,f'(x)=ex-1-2ax≥(1-2a)x 都是恰好在定義域[0,+∞)的端點x=0時取值,今年閱卷中發(fā)現(xiàn)大量使用 “若f(x)≥0,則 f'(x)≥0”,這充分暴露了教學(xué)中,沒有搞清 f'(x)的符號僅與 f(x)的單調(diào)性的關(guān)系,而 f'(x)≥0 與 f(x)≥0 并充要關(guān)系。

    1.探尋充分條件證明其必要性的方法。

    第一步,求定義域,等價轉(zhuǎn)化,盤活題目:

    f(x)的定義域為(0,+∞),由 x﹥0,f(x)≥0,得ax-a-lnx≥0 恒成立,令 h(x)=ax-a-lnx。

    第二步,探尋充分性:

    當(dāng) a=1 時,由 lnx≤x-1(當(dāng)且僅當(dāng) x=1 時,等號成立),所以當(dāng) a=1 時,h(x)≥0,即 f(x)≥0 恒成立,所以“a=1”是“當(dāng)任意 x﹥0 時,f(x)≥0 恒成立”的充分條件。

    第三步,證明必要性:

    (i)當(dāng) a≤0 時,彐 x﹥1,h(x)=a(x-1)-lnx﹤0,所以 h(x)≥0 不恒成立,即 f(x)≥0 不恒成立(此情形下不須用導(dǎo)數(shù)就能得到結(jié)果)。

    (ii)當(dāng) 0﹤a﹤1 時,h'(x)=a- l x (xl

    x =a·l

    a ),當(dāng) x∈(1,l a),使得 h(x0)﹤h(1)=0,即 f(x)≥0 不恒成立。

    (iii)當(dāng) a﹥1 時,h'(x)=a-l a)時,h'(x)﹤0,所以 h(x)在(1,l

    a)上遞減,存在x0∈(1,l a),當(dāng)x∈(l

    x =a·l

    x (x-l a,1)上遞增,彐 x0∈(l

    a,1)時,h'(x)﹥0,所以 h(x)在(l

    a,1),使得 h(x0)﹤h(1)=0,即f(x)≥0不恒成立。

    由(i)(ii)(iii)知“a=1”也是“當(dāng)任意 x﹥0時,f(x)≥0恒成立”的必要條件。

    綜上所述,a=1。

    解法邏輯分析:命題p:a=1,命題 q:任意 x﹥0時,f (x)≥0恒成立,充分性是p q;必要性是q p,必要性證明非常困難,改為等價的逆否命題證明,-p:a≠1,根據(jù)要得到-q:彐 a﹥0,f(x)≥0 不恒成立的具體情況,-p:a≤0或0﹤a﹤1或a﹥1。

    2.抓“綱”不抓“目”的分類討論方法。

    含參量的分類討論,長期以來解答都是抓“目”不抓“綱”的方法,解答非常紊亂,包括過去命題者提供的解答,這道題如果當(dāng)時沒有注意到等價盤活,那么就是需要分類討論解答,分類討論要以參量a為綱,提綱挈領(lǐng)的討論,作出參量a軸,找出參量a的臨界值,然后從左至右有序進(jìn)行。

    f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=2ax-a-lnx-1,令 φ(x)=2ax-a-lnx-1,則 φ'(x)=2a- l 2

    x 。尋找a的臨界值,考慮因式2ax-1是否為一次因式,得a=0,在a≠0的條件下,得到x= l

    2 a=2ax-1 2 ,注意到 φ(1)=a-1,令 φ(1)=0,得到 a=1,作出 a 軸,然后考慮臨界值是單獨(dú)討論,還是與區(qū)間一起討論,如把a(bǔ)=0與(﹣∞,0)放在一起,主要考慮因式 2ax-1 在(0,+∞)上恒為負(fù)值。a,注意到 f(1)=0,令 l 2

    a =1,得到 a=l

    (i)當(dāng) a≤0 時,當(dāng) x﹥0 時,φ'(x)﹤0,φ(x)在(0,+∞)上遞減,注意到 φ(l 2 )=ln2-1﹤0,φ(e﹣2)=1+a·2-e﹣2

    e2

    ﹥0,則存在 x1∈(e﹣2,2﹣1),使得 φ(x1)=0,即 f'(x1)=0,則

    當(dāng) x∈(0,x1)時,f'(x)﹥0,f(x)遞增;當(dāng)x∈(x1,+∞)時,f'(x)﹤0,f(x)遞減,存在 x0﹥1,則 f(x0)﹤f(1),所以f(x)≥0不恒成立;

    (ii)當(dāng) 0﹤a﹤ l

    2 時,φ'(x)=2a- l2a·1

    x (x-

    綜上所述,a=1。

    3.用兩邊夾和洛比達(dá)法則等高數(shù)知識的方法。這個題也能用分離參變量求解,但必須諳熟高等數(shù)學(xué)相關(guān)法則、定理及支撐條件,要主動加強(qiáng)命題和做一些預(yù)備鋪墊,下面介紹高數(shù)的解法:

    先證明預(yù)備不等式lnx≤x-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1取等號。

    綜上所述,a=1。

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