平行線(xiàn)“遇見(jiàn)”角平分線(xiàn)及三角形內(nèi)外角平分線(xiàn)在解題中的初步研究

楊欽娜

摘 要：在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中采用七巧板教學(xué)法有利于學(xué)生綜合素質(zhì)提高。由于事物可看做是各部分之和，故可各個(gè)擊破，逐一求解這種常規(guī)解題，但同時(shí)也有許多問(wèn)題，把各部分看做是一個(gè)整體，遷移觀點(diǎn)，用整體的思想，方法來(lái)求解，能達(dá)到化難為易，化繁為簡(jiǎn)，出奇制勝的效果。在七巧板教學(xué)法實(shí)施過(guò)程中，教師需提前做好課前準(zhǔn)備、精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容、改良教學(xué)評(píng)價(jià)體系，提升自身對(duì)于數(shù)學(xué)板塊教學(xué)的認(rèn)識(shí)，從而提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：七巧板教學(xué)法；初中數(shù)學(xué)教學(xué)；有效應(yīng)用；角平分線(xiàn)與平行線(xiàn)；三角形內(nèi)外角平分線(xiàn)

前言

“七巧板”中的一塊就是數(shù)學(xué)中的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，把各個(gè)板塊綜合，即把各個(gè)階段所學(xué)的知識(shí)、知識(shí)的各個(gè)方面緊密聯(lián)系起來(lái)，加深對(duì)知識(shí)的理解，認(rèn)識(shí)和體會(huì)數(shù)學(xué)是一個(gè)整體，但更重要的是可以起到以一當(dāng)十，解一道題懂一類(lèi)題，提高效率的目的，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、創(chuàng)新意識(shí)和探索精神，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。七巧板教學(xué)作為體現(xiàn)新型課程的重要方式，應(yīng)得到教師的重視與關(guān)注，教師應(yīng)針對(duì)這種教學(xué)的實(shí)施與創(chuàng)新進(jìn)行深刻的思考。

數(shù)學(xué)是一門(mén)連貫性的學(xué)科，在學(xué)習(xí)每一個(gè)章節(jié)和知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候都需要重視學(xué)習(xí)的緊密性，如果某一個(gè)章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)沒(méi)有鞏固到位，學(xué)生積累的問(wèn)題就會(huì)越來(lái)越多，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度也會(huì)越來(lái)越大。有些學(xué)生并非是不想學(xué)好數(shù)學(xué)，而是在學(xué)習(xí)的過(guò)程中找不到適合的學(xué)習(xí)方法，不能夠真正的將數(shù)學(xué)重難點(diǎn)知識(shí)理解到位，積累的問(wèn)題也在學(xué)習(xí)中越來(lái)越多，這樣導(dǎo)致學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)難度更大。

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的兩種現(xiàn)象：

一、學(xué)生課上聽(tīng)得明白，課后練習(xí)作業(yè)會(huì)有一些的錯(cuò)誤，老師指出錯(cuò)誤后，大部分也能自已改正.但數(shù)周后，發(fā)現(xiàn)這部分知識(shí)的掌握又退步了.

二、通過(guò)努力，基礎(chǔ)知識(shí)部分掌握的還可以，但一遇到有綜合性的、略有難度的問(wèn)題，便不知如何下手，看答案也基本上能懂. 但自己很難獨(dú)立完整的解決一道綜合題，在考試中，靠后面的綜合題的得分總是不理想.

導(dǎo)致這兩種情形的出現(xiàn)，既不是教師沒(méi)講明白，也不是學(xué)生用功不夠，而是因?yàn)檫@些學(xué)生在過(guò)去的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中未形成自己的、較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，僅停留在簡(jiǎn)單機(jī)械模仿，要靠幾次甚至十幾次的重復(fù)才能掌握某個(gè)（些）知識(shí)，也就是說(shuō)思考能力只是在能夠解決熟悉的一種特定的問(wèn)題的水平上，缺少結(jié)合已經(jīng)掌握一個(gè)問(wèn)題、多個(gè)問(wèn)題，去對(duì)相關(guān)性的綜合性問(wèn)題的聯(lián)想、嘗試、思考、引深的探索能力.但要怎樣做，怎么訓(xùn)練來(lái)提高這種能力呢？也就是一些會(huì)學(xué)習(xí)的學(xué)生經(jīng)常問(wèn)的問(wèn)題：“我怎么才能夠想到這種辦法，就把題做出來(lái)了”.我的回答是，“不是這種辦法有多神奇？有多么高深莫測(cè)？而是這個(gè)問(wèn)題可能與哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)有關(guān)？你想了沒(méi)有？探索這個(gè)問(wèn)題可能解決的途徑，你去想了沒(méi)有？哪你想到了幾種可能？哪一種可能性更大？你是否結(jié)合已掌握的基礎(chǔ)知識(shí)動(dòng)手去嘗試了.如果這幾點(diǎn)你都做了，那么90%的題你都可以迎刃而解.”

說(shuō)起來(lái)容易，言語(yǔ)上的說(shuō)教并不會(huì)將這種能力由師傅到徒弟腦子中的轉(zhuǎn)移，數(shù)學(xué)思維能力的提升更是需要必不可少的思維訓(xùn)練，內(nèi)化為附體于心的“漁”術(shù)才是真正的財(cái)富.在我們此刻這個(gè)信息高度透明，快速傳播時(shí)代，從不缺少好的學(xué)習(xí)方法，而是缺少如何具體實(shí)際可行的操作.就像我們從小學(xué)時(shí)就天天面對(duì)黑板上方的八個(gè)大字“好好學(xué)習(xí)，天天向上”，而具體怎樣才算是“好好”，如何才能“向上”呢？很多人沒(méi)有想過(guò). 缺乏實(shí)際可行的具體操作，而這種操作對(duì)于已經(jīng)成績(jī)不理想的學(xué)生來(lái)說(shuō)，一定是個(gè)性化，而非一概而論的.

將數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)“分板塊”輔導(dǎo)，各個(gè)擊破，“循序漸進(jìn)”式練習(xí)，正是解決上述的好方式，不管是何種程度的學(xué)生都會(huì)使成績(jī)有較大幅度的提升.將知識(shí)合理的、零而不亂的、細(xì)分，有序的練習(xí)訓(xùn)練，易使學(xué)生得到成就感，溶數(shù)學(xué)思想于這個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程中，提高成績(jī)將不再是難事.將數(shù)學(xué)思想板塊集中化，以漸進(jìn)式的習(xí)題，使學(xué)生來(lái)體會(huì)每一種數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)，內(nèi)化為一種思維能力.?！爸匾R(shí)點(diǎn)細(xì)化+循序漸進(jìn)引深+針對(duì)性習(xí)題=基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān)”；“綜合性知識(shí)問(wèn)題式細(xì)化+循序漸進(jìn)引深+針對(duì)性習(xí)題=提升綜合解題能力”；“數(shù)學(xué)思想系列問(wèn)題式細(xì)化+循序漸進(jìn)引深+針對(duì)性習(xí)題=數(shù)學(xué)思想內(nèi)化”。

下面我來(lái)詳細(xì)介紹“七巧板教學(xué)”的具體操作：

一，重點(diǎn)知識(shí)細(xì)化.

1、將初中數(shù)學(xué)涉及知識(shí)點(diǎn)細(xì)分，尤其是要對(duì)重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行科學(xué)的細(xì)分.做到既獨(dú)立成點(diǎn)，且又不過(guò)于離散，同時(shí)對(duì)學(xué)生理解這個(gè)“點(diǎn)”應(yīng)具備哪些基礎(chǔ)知識(shí)有準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí).避免要學(xué)一個(gè)知識(shí)，學(xué)了一半才發(fā)現(xiàn)，需要補(bǔ)充另外幾個(gè)知識(shí)，使教學(xué)效率降低.教師在進(jìn)行板塊教學(xué)內(nèi)容的選擇時(shí)要設(shè)計(jì)好單元模塊與單元下模塊的主題，做好課程整體安排，避免硬性將教學(xué)內(nèi)容分割，保證板塊教學(xué)內(nèi)容的完整性。單元下板塊是七巧板教學(xué)中的一部分，應(yīng)突出單元板塊的主題，再對(duì)其主題進(jìn)行分解教學(xué)。而單元下主題的教學(xué)，主旨在于引導(dǎo)學(xué)生剖析、解決問(wèn)題，以學(xué)生自主學(xué)習(xí)為主。教師需根據(jù)不同的模塊，精心選擇適合的教學(xué)內(nèi)容。

2、不同層次的學(xué)生，由教師根據(jù)能根據(jù)其實(shí)際的學(xué)習(xí)情況、接受能力，來(lái)制定相應(yīng)的需學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn).那些基礎(chǔ)的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)較高層次的學(xué)生來(lái)說(shuō)，則沒(méi)必要逐一重復(fù)過(guò)關(guān)，而由教師根據(jù)學(xué)生在學(xué)校的作業(yè)完成情況即可加以判斷.

如在八年級(jí)上《一次函數(shù)》一章中，較難理解的一次函數(shù)與一元一次方程關(guān)系，輔導(dǎo)習(xí)如下：

通過(guò)將較抽象的問(wèn)題，以簡(jiǎn)單問(wèn)題的形式出現(xiàn)，最后再加以總結(jié)，中差等學(xué)生即可理解一次函數(shù)與一元一次方程之間的聯(lián)系，按此順序做下來(lái)，可以說(shuō)是學(xué)生自己做簡(jiǎn)單習(xí)題并引申為思考，再由教師加以適時(shí)總結(jié)，完成學(xué)習(xí)任務(wù).從而繞開(kāi)了教師一味的說(shuō)教，甚至是直接將總結(jié)好的灌輸給學(xué)生，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，兩種體驗(yàn)是完全不同的.

二、綜合題提問(wèn)式

對(duì)綜合性練習(xí)，將系列知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容集中能過(guò)，設(shè)置間接式問(wèn)題，以問(wèn)題形式引申.也就是說(shuō)將綜合性問(wèn)題細(xì)化為一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)問(wèn)題.達(dá)到培養(yǎng)綜合能力的目的.設(shè)置的問(wèn)題與問(wèn)題之間層層遞進(jìn)、相互支撐.

通過(guò)由淺入深的遞進(jìn)訓(xùn)練，建立對(duì)解決綜合題的自信，找準(zhǔn)關(guān)鍵點(diǎn)，提升對(duì)綜合題解題能力.如對(duì)《網(wǎng)格中的數(shù)學(xué)問(wèn)題》專(zhuān)題復(fù)習(xí)中，將有一定綜合性的問(wèn)題，可以鋪墊設(shè)置為涉及相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)性問(wèn)題.如下：

學(xué)生由勾股定理的練習(xí)中，體會(huì)了表示線(xiàn)段長(zhǎng)度（無(wú)理數(shù)）的方法，以及對(duì)網(wǎng)格中三角形面積的計(jì)算，再繼續(xù)做相關(guān)的中考試題就會(huì)變得非常簡(jiǎn)單.再由教師適當(dāng)引導(dǎo)，即可總結(jié)網(wǎng)格中問(wèn)題的思考方法.

三、對(duì)數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng).

通過(guò)講練詳實(shí)具體而又獨(dú)成一系的試題，內(nèi)化對(duì)“數(shù)形結(jié)合、方程思想、函數(shù)思想、分類(lèi)討論、歸納化一”等數(shù)學(xué)思想方法的理解，掌握解決壓軸題必備的內(nèi)功.如對(duì)“方程思想”的內(nèi)化訓(xùn)練.

四、制定最切學(xué)生實(shí)際的、詳實(shí)可行的輔導(dǎo)計(jì)劃

通過(guò)兩至三次課時(shí)，對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、綜合解題能力做基本判斷，制定10課時(shí)的學(xué)習(xí)計(jì)劃.計(jì)劃以期間內(nèi)應(yīng)掌握知識(shí)點(diǎn)、掌握程度為主，可根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況適當(dāng)增減知識(shí)點(diǎn)多少及掌握要求.

每個(gè)板塊的學(xué)習(xí)都要以掌握必要的知識(shí)點(diǎn)為目的，而課后的習(xí)題練習(xí)也是針對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)而設(shè)的，且由易到難，再到綜合，既達(dá)到了對(duì)具體知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，也潛移默化中訓(xùn)練了綜合思維能力。下面我將具體舉一些例子來(lái)說(shuō)明“七巧板”教學(xué)法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

（一）角平分線(xiàn)與平行線(xiàn)：

1、角平分線(xiàn)的常用使用環(huán)境：

（1）當(dāng)角平分線(xiàn)構(gòu)成的等量關(guān)系和“平行”結(jié)合的時(shí)候，可以形成等腰三角形，從而得到等邊的關(guān)系。

（2）當(dāng)角平分線(xiàn)構(gòu)成的等量關(guān)系和與180°有關(guān)的角相結(jié)合的時(shí)候，可以轉(zhuǎn)化得垂直關(guān)系。

例1、如圖1， 已知△ABC中，∠BAC的外角∠EAC的平分線(xiàn)交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于D.

求證：.

設(shè)計(jì)思想：融合平行、相似、角平分線(xiàn).

分析：從問(wèn)題來(lái)看，本題需要證明的是一個(gè)比例式，顯然要與三角形“相似”掛鉤，構(gòu)造相似的方法可以過(guò)點(diǎn)C作AD的平行線(xiàn)，這樣既可以有相似，又可以使“平行”、“角平分線(xiàn)”結(jié)合起來(lái)，構(gòu)成等量關(guān)系.

證明思路：

過(guò)點(diǎn)C作CF∥AD交AB于F，

可證明AF=AC.

由△BFC∽△BAD

得.

經(jīng)等量代換得.

即.

點(diǎn)撥：這道題輔助線(xiàn)的添加是個(gè)關(guān)鍵，需要聯(lián)系著相似和平分線(xiàn)兩個(gè)角度來(lái)構(gòu)造等腰三角形.

例2 （09煙臺(tái)中考）如圖1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，，且CD=2AD ， tan∠ABC=2，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，交∠BCD的平分線(xiàn)于點(diǎn)E，連接BE.

（1）求證：；

（2）將△BCE繞點(diǎn)C，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DCG，連接EG..

求證：CD垂直平分EG.

（3）延長(zhǎng)BE交CD于點(diǎn)P，求證：P是CD的中點(diǎn).

設(shè)計(jì)思想：融合平行線(xiàn)、角平分線(xiàn)、全等.

分析：題目中，是很好的證明CD與BC相等的間接條件.延長(zhǎng)交于，那么正切關(guān)系就可以給CD用，再用正切得到的2倍關(guān)系，和條件CD與AD的2倍關(guān)系結(jié)合用，就可得第（1）問(wèn)結(jié)論.第（2）問(wèn)顯然要證明兩組線(xiàn)段的等量關(guān)系，根據(jù)全等和旋轉(zhuǎn)即可得到.第（3）問(wèn)中的中點(diǎn)，即關(guān)系，顯然與第（1）問(wèn)有關(guān)，CD=2AD，因此只要證明DP=AD就可以了，因此可以連結(jié)BD構(gòu)造全等三角形.

證明：（1）延長(zhǎng)交于.

，，

.

在中，

，

，即.

，

.

，

即.

（2）平分，

.

由（1）知，BC=CD，CE=CE，

.

.

由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：CE=CG ， BE=DG.

∴DE=DG .

都在的垂直平分線(xiàn)上，

垂直平分.

（3）連接.由（2）知，

.

.

.

.

，

.

由（1）知.

，

.

又，

，

.

，

.

是的中點(diǎn).

點(diǎn)撥：這道題還是大量運(yùn)用了平行和角平分線(xiàn)的關(guān)系，這種等量變換在做題中會(huì)經(jīng)常遇到.

例3（09赤峰中考）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分線(xiàn)，AF∥DC，連接AC、CF，求證：CA是∠DCF的平分線(xiàn).

證明：∵BF是∠ABC的平分線(xiàn)，

∴∠1=∠2.

又∵AB=BC，BF=BF，

∴△ABF ≌△CBF.

∵FA=FC.

∴∠3=∠4.

又∵AF∥DC，

∴∠5=∠3.

∴∠4=∠5.

∴CA是∠DCF的平分線(xiàn).

在學(xué)習(xí)過(guò)程中，還會(huì)遇到許多這樣的題型，例如：

1.（09重慶中考）如圖，直線(xiàn)分別與直線(xiàn)、相交于點(diǎn)、，已知，平分交直線(xiàn)于點(diǎn).則=（ ）B

A.60° B.65° C.70° D.130°

2.如圖，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分線(xiàn)相交于梯形中位線(xiàn)EF上的一點(diǎn)P，若EF=3，則梯形ABCD的周長(zhǎng)為（ ）C

（A）9 （B）10.5 （C）12 （D）15

3.（09廣州中考）如圖，在ABCD中，AB = 6，AD = 9，∠BAD的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，BG⊥AE，垂足為G，BG=，則ΔCEF的周長(zhǎng)為（ ）A

（A）8 （B）9.5 （C）10 （D）11.5

4.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分線(xiàn)AD交BC于點(diǎn)D，DE∥AC，DE交AB于點(diǎn)E ，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，連結(jié)DF.若DF=3，DE=2，則AC長(zhǎng)為 .

在有關(guān)角平分線(xiàn)的題目中， 平行線(xiàn)會(huì)經(jīng)常涉獵到，因此可以將這類(lèi)題型作為七巧板中的一塊，從而解決更所類(lèi)似的題。與融合平行線(xiàn)和角平分線(xiàn)的題目圖形關(guān)系比較基礎(chǔ)，因此也會(huì)比較好找，因此可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)在圖形上標(biāo)注條件，找到角之間的等量關(guān)系。

（二） 三角形內(nèi)外角平分線(xiàn)有關(guān)命題的證明及應(yīng)用

在中考或平時(shí)的練習(xí)中目中，常有與 三角形內(nèi)外角平分線(xiàn)有關(guān)的題目，如何舉一反三事半功倍與 平時(shí) 的 積累訓(xùn)練有很大的關(guān)系， 一分耕耘一分收獲。

命題1 如圖1，點(diǎn)D是△ABC兩個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，則∠D=90°+∠A.

證明：如圖1：

∵∠1=∠，∠2=∠，

∴2∠1+2∠2+∠A=180°①

∠1+∠2+∠D=180°②

①-②得：

∠1+∠2+∠A=∠D③

由②得：

∠1+∠2=180°-∠D④

把③代入④得：

∴180°-∠D+∠A=∠D

∠D=90°+∠A.

點(diǎn)評(píng) 利用角平分線(xiàn)的定義和三角形的內(nèi)角和等于180°，不難證明.

命題2 如圖2，點(diǎn)D是△ABC兩個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，則∠D=90°-∠A.

證明：如圖2：

∵DB和DC是△ABC的兩條外角平分線(xiàn)，

∴∠D=180°-∠1-∠2

=180°-（∠DBE+∠DCF）

=180°-（∠A+∠4+∠A+∠3）

=180°- （∠A+180°）

=180°- ∠A-90°

=90°-∠A；

點(diǎn)評(píng) 利用角平分線(xiàn)的定義和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰兩外角的和以及三角形的內(nèi)角和等于180°，可以證明.

命題3 如圖3，點(diǎn)E是△ABC一個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)與一個(gè)外角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，則∠E=∠A.

證明：如圖3：

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∠A+2∠1=2∠4①

∠1+∠E=∠4②

①×代入②得：

∠E=∠A.

點(diǎn)評(píng) 利用角平分線(xiàn)的定義和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰兩外角的和，很容易證明.

命題4 如圖4，點(diǎn)E是△ABC一個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)BE與一個(gè)外角平分線(xiàn)CE的交點(diǎn)，證明：AE是△ABC的外角平分線(xiàn).

證明：如圖3：

∵BE是∠ABC的平分線(xiàn)，可得：EH=EF

CE是∠ACD的平分線(xiàn)， 可得：EG=EF

∴過(guò)點(diǎn)E分別向AB、AC、BC所在的直線(xiàn)引垂線(xiàn)，所得的垂線(xiàn)段相等.

即EF=EG=EH

∵EG=EH

∴AE是△ABC的外角平分線(xiàn).

點(diǎn)評(píng) 利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)和判定能夠證明.

應(yīng)用上面的結(jié)論能輕松地解答一些相關(guān)的比較復(fù)雜的問(wèn)題，下面來(lái)一起看.

例1如圖5，PB和PC是△ABC的兩條外角平分線(xiàn).

①已知∠A=60°，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠P的度數(shù).

②三角形的三條外角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)形成的三角形按角分類(lèi)屬于什么三角形？

解析：①由命題2的結(jié)論直接得：∠P=90°- ∠A=90°- ×60°=60°

②根據(jù)命題2的結(jié)論∠P=90°- ∠A，知三角形的三條外角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)形成的三角形的三個(gè)角都是銳角，則該三角形是銳角三角形.

點(diǎn)評(píng) 此題直接運(yùn)用命題2的結(jié)論很簡(jiǎn)單.同時(shí)要知道三角形按角分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.

例2 如圖6，在△ABC中，延長(zhǎng)BC到D，∠ABC與∠ACD的角平分線(xiàn)相較于點(diǎn)，∠BC與∠CD的平分線(xiàn)交與點(diǎn)，以此類(lèi)推，…，若∠A=96°，則∠= 度.

解析：由命題③的結(jié)論不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律∠∠A.

可以直接得：∠=×96°=3°.

點(diǎn)評(píng) 此題是要找出規(guī)律的但對(duì)要有命題③的結(jié)論作為基礎(chǔ)知識(shí).

例3（2011湖北鄂州市中考第一大題填空題第八小題，此題3分）如圖7，△ABC的外角∠ACD的平分線(xiàn)CP的內(nèi)角∠ABC平分線(xiàn)BP交于點(diǎn)P，若∠BPC=40°，則∠CAP=_______________.

解析：此題直接運(yùn)用命題4的結(jié)論可以知道AP是△ABC的一個(gè)外角平分線(xiàn)，結(jié)合命題3的結(jié)論知道∠BAC=2∠BPC， CAP= （180°-∠BAC ）= （180°-2∠BPC ）=50°.

點(diǎn)評(píng) 對(duì)命題3、4研究過(guò)的學(xué)生此題不難，否則將是一道在考試的時(shí)候花時(shí)間也不一定做的出來(lái)的題目.

例4 （2003年山東省“KLT快樂(lè)靈通杯”初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分線(xiàn)與∠ABC的外角平分線(xiàn)交與E點(diǎn)，連接AE，則∠AEB= 度.

解析：由題目和命題4的結(jié)論可以知道AE是△ABC的一個(gè)外角平分線(xiàn)， 結(jié)合命題2的結(jié)論知道∠AEB=∠ACB-∠ACB=90°-×90°=45°

點(diǎn)評(píng) 從上面的做題過(guò)程來(lái)看題目中給出的“∠A=30°”這個(gè)條件是可以不用的.

拓展練習(xí)：

1 如圖所示，D、E、F分別是∠△ABC，△ABD，△BDF的內(nèi)心，如果∠BFE的度數(shù)為整數(shù)，請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算一下，∠BFE的度數(shù)最小是多少？

2如圖，在△ABC中，∠A=96 。，延長(zhǎng)BC到D，∠ABC與∠ACD的平分線(xiàn)相交于A1點(diǎn)，∠A1BC與∠A1CD 的平分線(xiàn)相交于A2點(diǎn)，依次類(lèi)推，∠A4BC與∠A4CD的平分線(xiàn)相交于A5，求∠A5的度數(shù)。

同樣的，三角形內(nèi)外角平分線(xiàn)有關(guān)命題問(wèn)題也可以作為七巧板中的一塊對(duì)學(xué)生進(jìn)行專(zhuān)項(xiàng)教學(xué)，這樣以來(lái)，學(xué)生再遇見(jiàn)一些反復(fù)出現(xiàn)卻又反復(fù)不會(huì)的題型時(shí)就會(huì)迎刃而解，教師的教學(xué)也會(huì)輕松許多。

總而言之，諸如此類(lèi)板塊的數(shù)學(xué)題型還有很多，讓學(xué)生把數(shù)學(xué)“多巧板”的每一塊學(xué)扎實(shí)，把數(shù)學(xué)中的每一塊小知識(shí)點(diǎn)學(xué)好，多練習(xí)，那么實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)也積累多了，發(fā)散思維就打開(kāi)了，碰到一些沒(méi)有見(jiàn)過(guò)的題目，組合、拆分涉及的知識(shí)點(diǎn)，就會(huì)自然而然的找到解題思路。每個(gè)模塊的學(xué)習(xí)都是以掌握必要的技能為目的，以勝任本崗位工作為目標(biāo)。按需施教，學(xué)用一致，干什么學(xué)什么，多余的內(nèi)容可以不學(xué)，培訓(xùn)時(shí)間短，效果好。理論課和實(shí)踐課融為一體。以技能淵練為核心，必要的理論知識(shí)也是為技能服務(wù)。教材圖文并茂，配以音像教學(xué)，學(xué)員易學(xué)易懂易接受。另一方面，如果研究成功，做出成績(jī)，對(duì)于教師個(gè)人的專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)是很有幫助的，，不僅體現(xiàn)在評(píng)優(yōu)表模、晉級(jí)晉升中，還可以反映教師的業(yè)務(wù)水平和專(zhuān)業(yè)能力，可以向?qū)＜?、學(xué)者更深層次地發(fā)展。

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《有效教學(xué)的深化研究— 由“七巧板”引發(fā)的初中教學(xué)策略研究》，平頂山市市級(jí)科研課題

（作者單位：平頂山市第四十二中學(xué)）