探究一道競(jìng)賽題 破解一類函數(shù)題

浙江省寧波市第四中學(xué)(315016) 蔣亞軍 魏定波

1 試題呈現(xiàn)

若關(guān)于x的方程x2+ax+b?3=0(a,b∈R)在[1,2]上有實(shí)根,則a2+(b?4)2的最小值為___.

本題為2017年福建省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷第8題,從題面上看,考查的是以“函數(shù)和方程”為載體,不等式為主線的典型問(wèn)題,著重考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,能夠檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)二次方程與二次函數(shù)之間關(guān)系的認(rèn)知程度,對(duì)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的掌握情況.

2 解法探究

解法1依題意可得

或

作出滿足條件的點(diǎn)(a,b)區(qū)域(如圖1所示),于是,得a2+(b?4)2的最小值等于點(diǎn)(0,4)到直線a+b?2=0的距離平方,即為2.

圖1

解法2設(shè)f(x)=(x?α)(x?β)且α∈[1,2],于是有a= ?(α+β),b?3= αβ.所以

因?yàn)棣痢蔥1,2],β2≥0,所以a2+(b?4)2≥α2+1≥2,當(dāng)且僅當(dāng)α=1,β=0,即a=?1,b=0時(shí),a2+(b?4)2取得最小值2.

解法3 由x2+ax+b?3=0,得b=?x2?ax+3,所以

因?yàn)閤∈[1,2],(x+a)2≥0,所以a2+(b?4)2≥x2+1≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1,a=?1,b=0時(shí),a2+(b?4)2取得最小值2.

解法4若以a,b為主元,“若關(guān)于x的方程x2+ax+b?3=0(a,b∈R)在[1,2]上有實(shí)根,求a2+(b?4)2的最小值.”轉(zhuǎn)化為:求點(diǎn)(0,4)到直線l:xa+b?3+x2=0上的點(diǎn)(a,b)的最小值問(wèn)題,顯然,點(diǎn)到直線的距離最小.

當(dāng)x∈[1,2],

所以a2+(b?4)2取得最小值2.

評(píng)注由于學(xué)生在處理二次函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)普遍有思維定勢(shì),能得到相應(yīng)的不等式組,據(jù)此借助線性規(guī)劃的原理,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法是不錯(cuò)的選擇,它能避免一些復(fù)雜的不等式轉(zhuǎn)換,需要將不等式(組)等價(jià)轉(zhuǎn)化為相對(duì)準(zhǔn)確的圖形.解法3雖然過(guò)程簡(jiǎn)捷,但變換技巧較強(qiáng).解法4需要轉(zhuǎn)換一下思路,以待定的x為參數(shù),以a,b為主變量,構(gòu)造出新的函數(shù)(或方程),用“零點(diǎn)式”求解,它不僅可以回避一些復(fù)雜的圖形,而且能避免多變量不等式組的繁瑣討論,從提升學(xué)生的思維品質(zhì)出發(fā),相比之下有必要對(duì)解法2的方法進(jìn)行挖掘與普及.

3 方法運(yùn)用

例1(2017年浙江省高考數(shù)學(xué)模擬試卷第17題)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),則3a+b的取值范圍是____.

解析設(shè)f(x)=(x?α)(x?β)且α,β∈(0,1),于是有a= ?(α+β),b= αβ.所以3a+b= ?3(α+β)+αβ =(3?α)(3?β)?9,由于 α,β ∈(0,1),則2＜ 3?α ＜ 3,2＜3?β＜3,所以3a+b∈(?5,0).

例2(2015年浙江省高考數(shù)學(xué)(文)科第20題)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)在[?1,1]上存在零點(diǎn),0≤b?2a≤1,求b的取值范圍.

解析設(shè)s,t為方程f(x)=0的解,且?1≤t≤1,則s+t=?a,st=b.由于0≤b?2a≤1,因此

當(dāng)0≤t≤1時(shí),

由于

和

當(dāng)?1≤t＜0時(shí),

例3(2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽遼寧賽區(qū)初賽試題)若關(guān)于x的方程有實(shí)根,則a2+b2的最小值為___.

解析方法(1)設(shè),由于,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:若a,b是可使方程f(u)=0在(?∞,?2]∪[2,+∞)上至少有一個(gè)實(shí)根,求a2+b2的最小值.

設(shè) f(u)=(u?α)(u?β)且|α|≥ 2,所以 a2+b2=(α+β)2+(αβ)2=(β2+1)α2+2αβ+β2,當(dāng)β＞0時(shí),由于,所以

方法(2)因?yàn)閡2≥4,所以

故a2+b2的最小值為

例4(2014年杭州市第一次統(tǒng)測(cè)數(shù)學(xué)試題(理科))設(shè)

若函數(shù)f(x)=x2+px+q的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(α,0),(β,0),且存在整數(shù)n,使得n＜α＜β＜n+1成立,則是( )

解析設(shè)

依題意,得f(n)＞0,f(n+1)＞0,所以

4 幾點(diǎn)感悟

4.1 總結(jié)?？碱}型,提升數(shù)學(xué)思想方法

綜觀高考與?？己瘮?shù)零點(diǎn)的試題,題型新穎別致、自然流暢,內(nèi)容綜合,解法靈活.函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題將函數(shù)、方程、不等式很好地“揉”在一起,具有一定的綜合性和靈活性,計(jì)算或畫圖也比較復(fù)雜,需要有較強(qiáng)的綜合能力,并蘊(yùn)含著函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想,在復(fù)習(xí)中教師可以以專題的形式給學(xué)生在這些數(shù)學(xué)思想方法上進(jìn)行滲透.

4.2 重視一題多解,提升學(xué)生思維品質(zhì)

對(duì)于一些典型問(wèn)題,通過(guò)一題多解,幫助學(xué)生從多個(gè)切入口,較廣泛地聯(lián)系不同的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生解題后反思的習(xí)慣.讓學(xué)生學(xué)會(huì)一題多解,有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力和解題技巧;有利于學(xué)生提高解決綜合問(wèn)題的能力;有利于創(chuàng)新意識(shí)的形成和發(fā)展,是提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個(gè)有效途徑.

4.3 立足通性通法,著眼學(xué)生思維發(fā)展

在我們平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐中,已經(jīng)看到通性通法在數(shù)學(xué)解題中的重要作用.這種具有普遍意義的解題方法,在解決問(wèn)題中是最適用的,是數(shù)學(xué)方法的主流,也是高考中的重要考查點(diǎn).由于教學(xué)的核心是以學(xué)生發(fā)展為主旨,我們重新挖掘了這道競(jìng)賽題的教學(xué)價(jià)值,同樣是解題通法,選擇哪種方法好,要看問(wèn)題的結(jié)構(gòu)和學(xué)生的認(rèn)知水平,也要避免太過(guò)于執(zhí)著通法通解,而引起的思維僵化.