提高數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力的有效途徑

安徽省碭山中學(xué)(235300) 蓋傳敏

數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)當(dāng)中最基礎(chǔ)的一種能力,數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力包括分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序等一系列過(guò)程的思維能力,也包括在實(shí)施運(yùn)算過(guò)程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力.筆者在平時(shí)教學(xué)中發(fā)現(xiàn),由于運(yùn)算出錯(cuò)而失分的情形屢見(jiàn)不鮮,這與在平時(shí)教學(xué)中不注重運(yùn)算能力的培養(yǎng),或培養(yǎng)方法不當(dāng)有很大關(guān)系,下面筆者結(jié)合實(shí)例談?wù)勌岣邤?shù)學(xué)運(yùn)算能力的幾個(gè)有效途徑,僅供參考.

途徑1 認(rèn)真分析運(yùn)算條件,確保運(yùn)算的準(zhǔn)確性

例1在銳角△ABC中a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,若C=2B,求的取值范圍.

錯(cuò)解因?yàn)镃=2B,由正弦定理知,又△ABC為銳角三角形,則,所以

評(píng)注充分挖掘已知條件、結(jié)論所隱含的信息是尋求合理、簡(jiǎn)捷、正確運(yùn)算途徑的必要條件.對(duì)本題而言,△ABC為銳角三角形,則,又因?yàn)镃=2B,即,所以

途徑2 靈活運(yùn)用運(yùn)算公式,確保運(yùn)算的合理性

例2設(shè)α為銳角,若,則的值為_(kāi)__.

解析

思路1展開(kāi),結(jié)合cos2α+sin2α =1,求出sinα,cosα,運(yùn)用和角公式及倍角公

思路2通過(guò)角的代換,運(yùn)用式求解.和角公式及倍角公式求解.

評(píng)注對(duì)于思路1直接利用和角公式展開(kāi),通過(guò)一元二次方程求解,思路雖然清晰,但運(yùn)算很難實(shí)施.思路2通過(guò)角的代換、轉(zhuǎn)化,然后結(jié)合和角公式及倍角公式則輕松求解.運(yùn)算能力的形成始于對(duì)算理、算法的認(rèn)識(shí),在定理、公式學(xué)習(xí)時(shí),不能局限于定理、公式的記憶與模仿,而應(yīng)重視它們的形成過(guò)程,理解認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì).

途徑3 選擇適當(dāng)數(shù)學(xué)思想方法,確保運(yùn)算的簡(jiǎn)捷性

例3求函數(shù)的值域.

思路1利用導(dǎo)數(shù)法求解

思路2利用數(shù)形結(jié)合求解

評(píng)注思路1求出導(dǎo)函數(shù)后,對(duì)于后續(xù)運(yùn)算,學(xué)生往往難以進(jìn)行,思路受阻;思路2通過(guò)數(shù)形結(jié)合把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線的斜率來(lái)求解,運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)捷清晰.除此之外中學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法還有函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等.

圖1

途徑4 總結(jié)運(yùn)算技巧,確保運(yùn)算熟練性

例4已知橢圓C;的離心率為在該橢圓上.

(1)求橢圓C的方程;

(2)過(guò)P(?1,0)的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),F為橢圓的右焦點(diǎn),求△ABF面積的最大值及此時(shí)的直線方程.

解析(1)

思路1 直線的設(shè)法采用y=k(x?x0)+y0形式.

(i)若直線l的斜率不存在,則直線l的方程為x=?1,易得

(ii)若直線l的斜率存在且斜率為k,則直線l的方程為y =k(x+1),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立直線和橢圓方程,得(1+4k2)x2+8k2x+4k2?4=0所

綜上可知當(dāng)直線l的方程為x=?1時(shí),△ABF面積取最大值,最大值為

思路2直線的設(shè)法采用x=my+n形式

由題意可知直線l的斜率不為0,故設(shè)直線l的方程為x=my?1,A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立直線和橢圓方程,得(4+m2)y2?2my?3=0,所以

評(píng)注思路1在設(shè)直線方程y=k(x?x0)+y0時(shí),要注意對(duì)斜率k進(jìn)行分類討論;除此之外在求解最值時(shí),運(yùn)算比較繁雜,對(duì)部分同學(xué)來(lái)說(shuō)半途而廢.思路2通過(guò)設(shè)直線方程x=my?1巧妙地避免了對(duì)直線斜率的討論,同時(shí)在解題過(guò)程中簡(jiǎn)化了運(yùn)算,提高了運(yùn)算效益.

總結(jié)

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力與其他的數(shù)學(xué)能力密切相關(guān),培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù),在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的過(guò)程中,不僅要考慮到運(yùn)算準(zhǔn)確性的一般要求,還要深入研究數(shù)學(xué)運(yùn)算的合理性,以及數(shù)學(xué)運(yùn)算的技巧性和靈活性.通過(guò)課內(nèi)、課外適量訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生良好的運(yùn)算習(xí)慣和優(yōu)秀的思維品質(zhì),面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題能較熟練地進(jìn)行分析與求解,全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

[1]教育部考試中心.普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱的說(shuō)明(理科)[M].北京:高等教育出版社,2017:160.

[2]張嵐.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的解析幾何教學(xué)–談數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的提升[J].中學(xué)教研,2017(5):27-29.

[3]施曉霞.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力[J].數(shù)學(xué)通訊,2010(1):46-48.