三維線彈性問題有限元方程的一種并行DDM預(yù)條件子*

馮春生,　舒　適,　梁文濤

(湘潭大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，科學(xué)工程計(jì)算與數(shù)值仿真湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 湘潭 411105)

彈性力學(xué)問題是固體力學(xué)中的一種基本模型，它廣泛應(yīng)用于建筑、機(jī)械、化工、航天等領(lǐng)域. 有限元方法是求解彈性力學(xué)問題的最常用的離散化方法之一.由于有限元方程系數(shù)矩陣的條件數(shù)會(huì)隨著網(wǎng)格尺寸的減小而迅速增大，用經(jīng)典迭代法求解時(shí)收斂較慢.因此，研究求解大規(guī)模彈性問題有限元離散系統(tǒng)的快速算法非常必要.

非重疊DDM 是為大規(guī)模偏微分方程離散系統(tǒng)構(gòu)造有效并行預(yù)條件子的一類非常重要的方法[1-3].標(biāo)量橢圓方程方面研究工作已比較成熟，[1]針對H(grad)型橢圓問題設(shè)計(jì)了非重疊DDM 預(yù)條件子.非重疊DDM預(yù)條件子經(jīng)過近幾十年的發(fā)展，先后形成了如BPS型[1]、Neumann型[2]和FETI型[3]等構(gòu)造預(yù)條件子的模式.最近，[4]為標(biāo)量橢圓問題線性元方程設(shè)計(jì)了一種基于簡單粗空間的非重疊DDM 高效預(yù)條件子.多層網(wǎng)格法[5-7]是高效求解規(guī)模偏微分方程離散系統(tǒng)的另一類重要方法.代數(shù)多層網(wǎng)格(AMG)法誕生于20世紀(jì)80年代初[8]，它是求解大規(guī)模偏微分方程離散化系統(tǒng)的最為有效的迭代方法之一.20世紀(jì)90年代以來，受實(shí)際應(yīng)用問題的驅(qū)動(dòng)，AMG 法得以迅速發(fā)展[9-10].目前常用的AMG 法包括經(jīng)典AMG法(簡稱C-AMG法)[11]，基于能量極小基的AMG法[12]，自適應(yīng)AMG法[13]和GAMG 法等，其中GAMG法是指針對不同特性的問題，通過利用其中部分容易獲得的幾何或分析信息而設(shè)計(jì)的依賴于問題的AMG 法，如AMGe法[14]和基于光滑聚集的AMG法[15]等.GAMG法由于具有更高的運(yùn)算效率，已成為當(dāng)前國際AMG 法研究領(lǐng)域中的熱點(diǎn).

1　線彈性模型問題與線性有限元方程

考慮如下三維線彈性問題：

(1)

(2)

其中

(3)

(4)

變分問題式(2)的線性有限元近似變分問題為：求uh∈Vh(Ω)，使得

a(uh,vh)=(f,vh),?vh∈Vh(Ω),

(5)

則式(5)的代數(shù)形式為

Au=f.

(6)

下面我們利用代數(shù)多層網(wǎng)格法與非重疊DDM預(yù)條件子[4]， 為求解式(6)的PCG法構(gòu)造一種并行預(yù)條件子.

2　一種并行預(yù)條件子

為了給出方程式(6)中系數(shù)矩陣A的一種基于非重疊DDM的預(yù)條件行為B的構(gòu)造算法，只需給出求向量w=Bg的算法， 其中g(shù)為任給的已知向量，其計(jì)算公式為

(7)

其中，關(guān)于求解式(7)右端中的各個(gè)向量的算法可描述如算法1 (這里設(shè)wd,wW,wl,g分別為以wd,wW,wl和g的分量為自由度的線性有限元函數(shù))：

算法1非重疊DDM的預(yù)條件子

(1) 求wd∈Vd(Ω)，滿足如下變分子問題：

a(wd,vd)=(g,vd),?vd∈Vd(Ω).

(8)

(2) 求wW∈VW(Ω)，滿足如下變分子問題：

a(wW,vW)=(g,vW),?vW∈VW(Ω).

(9)

(3) 對內(nèi)交界面循環(huán)，設(shè)當(dāng)前交界面號為l(它對應(yīng)內(nèi)交界面Γij)，求wl∈Vl(Ωij)，滿足如下變分子問題：

a(wl,vl)=(g,vl),?vl∈Vl(Ωij).

(10)

第一類子系統(tǒng)式(8)：由于其自由度較少，使用經(jīng)典迭代法CG 或C-AMG都可求解；第二類子系統(tǒng)式(9)：由于其系數(shù)矩陣性態(tài)較好，使用CG求解即可；第三類子系統(tǒng)式(10)：每個(gè)內(nèi)界面對應(yīng)一個(gè)，此類子問題求解性態(tài)的好壞，將直接影響整個(gè)預(yù)條件子系統(tǒng)求解的效率.針對第三類子系統(tǒng)式(10)的求解，研究發(fā)現(xiàn)隨著子系統(tǒng)規(guī)模的增大，使用經(jīng)典迭代法如CG求解時(shí)，迭代次數(shù)隨子問題規(guī)模的擴(kuò)大增長很快，而使用C-AMG求解該類子系統(tǒng)時(shí)，迭代次數(shù)不穩(wěn)定，且求解效率較低.因此，需要設(shè)計(jì)新的高效AMG 法.特別地，通過改變C-AMG 中的粗化策略和提升算子的構(gòu)造方法，我們?yōu)榈谌愖酉到y(tǒng)設(shè)計(jì)了一種新的AMG (簡記為AMG-T)法.

3　并行實(shí)現(xiàn)

記Ad:Vd(Ω)→Vd(Ω)，AW:VW(Ω)→VW(Ω) 和Al：Vl(Ωij)→Vl(Ωij)為三個(gè)對稱正定算子；記Qd，QW和Ql分別表示Vh(Ω) 到相應(yīng)子空間Vd(Ω)，VW(Ω)和Vl(Ωij)的L2投影算子.記變分子問題式(8)、(9)、(10)對應(yīng)的離散系統(tǒng)分別為:

Adud=Qdg，

(11)

AWuW=QWg，

(12)

Alul=Qlg.

(13)

這里，在不與算子Ad,AW,Al產(chǎn)生混淆的情況下，記其對應(yīng)的矩陣為Ad,AW,Al(l=1,…,M).

接下來，針對AW規(guī)模較大，且子系統(tǒng)式(13) 的求解占主要工作量的情形簡要給出MPI + OpenMP二級并行實(shí)現(xiàn)策略.關(guān)于第一類子系統(tǒng)式(11)：由于其自由度較少, 通?？梢栽诘?#進(jìn)程上采用BoomerAMG[16]進(jìn)行OpenMP 并行求解.如果直接調(diào)用BoomerAMG,求解效率不夠理想，可以采用我們新設(shè)計(jì)的一種解法器AMG-T(與前者不同之處在于粗化策略考慮方向性).由表1可知, 當(dāng)md較大時(shí)，AMG-T的迭代次數(shù)比較穩(wěn)定.

關(guān)于第二類子系統(tǒng)式(12)：由于其系數(shù)矩陣性態(tài)較好，調(diào)用OpenMP 并行CG在第1#進(jìn)程上求解即可.由表2可知，并行CG的迭代次數(shù)與網(wǎng)格規(guī)模和進(jìn)程數(shù)均無關(guān).

關(guān)于第三類子系統(tǒng)式(13)，注意以下兩個(gè)事實(shí)：

表1　求解第一類子系統(tǒng)(11)的平均迭代次數(shù)

表2　并行 CG 求解第二類子系統(tǒng)(12)的迭代次數(shù)

事實(shí)2該類子系統(tǒng)的求解可同步進(jìn)行，且可自由組合聚集到不同進(jìn)程并行計(jì)算.

因此，我們將第三類子系統(tǒng)平衡分配到余下進(jìn)程并行計(jì)算.進(jìn)一步，在各進(jìn)程上將分配到該進(jìn)程上的第三類子系統(tǒng)再平均分配到各線程上，采用OpenMP并行求解.

(14)

(15)

|Ni-Nj|≤1, |Ni, l-Ni, m|≤1, ?i≠j,?l≠m.

(16)

m=1(1)Nmyid, l,分別表示第myid號進(jìn)程上的第l個(gè)線程上的第m個(gè)轉(zhuǎn)換算子對應(yīng)的矩陣和相應(yīng)子系統(tǒng)的系數(shù)矩陣.

算法2MPI+OpenMP并行非重疊DDM的預(yù)條件子

Step 1初始化并行向量z.

Step 2將并行向量r轉(zhuǎn)為串行向量， 不妨仍記為r.

Step 3若myid=0，則zmyid:= (PdTBdPd)r；

若myid=1， 則zmyid:= (PWTBWPW)r；

若myid≠0 且myid≠1并行做以下循環(huán)

form=1,…,nts

Step 3.1求Ft(l,m):=Pmyid(l,m)r.

Step 3.2求yt(l,m)=Bmyid(l,m)Ft(l,m)

Step 3.3求zmyid:=zmyid+(Pmyid(l,m))Tyt(l,m).

end for

注1若子問題規(guī)模 (存儲(chǔ)規(guī)模) 能由一個(gè)計(jì)算結(jié)點(diǎn)容納時(shí)，子問題求解調(diào)用HYPRE[16]中串行AMG 或AMG-T；否則，當(dāng)子問題規(guī)模超過一個(gè)計(jì)算結(jié)點(diǎn)的容納能力時(shí)，子問題求解調(diào)用HYPRE中并行AMG或并行AMG-T求解.本文數(shù)值實(shí)驗(yàn)部分的子問題求解調(diào)用HYPRE中的串行AMG 或AMG-T.

4　數(shù)值實(shí)驗(yàn)

在線彈性模型問題式(1)中， 取單位立方體Ω:=(0,1)×(0,1)×(0,1)；E=3 000,v=

0.3；f=(f1,f2,f3)T， 其中

f1(x,y,z)=(λ+4μ)π2sin(πx)sin(πy)sin(πz)-(λ+μ)(3x2-4x3)πcos(πy)sin(πz)-

(λ+μ)π2y3(1-y)cos(πx)cos(πz),

f2(x,y,z)=-(λ+μ)π2cos(πx)cos(πy)sin(πz)-(λ+μ)(3y2-4y3)πsin(πx)cos(πz)+

[(12x2-6x)μ+π2x3(1-x)(λ+3μ)]sin(πy)sin(πz),

f3(x,y,z)=(λ+μ)π2cos(πx)sin(πy)cos(πz)-(λ+μ)π2x3(1-x)cos(πx)cos(πz)+

[(12y2-6y)μ+π2y3(1-y)(λ+3μ)]sin(πx)sin(πz).

數(shù)值實(shí)驗(yàn)硬件環(huán)境為某2路4核工作站(CPU： Intel Xeon W5590*2， Mem：24 GB)； 軟件環(huán)境為Linux Redhat 5.3，gcc v4.1.2，gfortran v4.1.2，mpich2-1.3.2p1，hypre-2.7.0b.由于該工作站總共只有8 個(gè)核,因此我們只針對進(jìn)程數(shù)和線程數(shù)不大于8 的情形進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，這樣可以保證進(jìn)程或線程與核一一對應(yīng).實(shí)驗(yàn)中取PCG迭代控制精度為10-6.

算法可擴(kuò)展性表4給出了不同網(wǎng)格剖分Τmd,k和不同進(jìn)程數(shù)np下PCG算法的外迭代次數(shù).

由表4可知，當(dāng)d/h不變時(shí)，條件數(shù)κ(BA) 為常量，表明該預(yù)條件子的算法可擴(kuò)展性達(dá)到最優(yōu)；當(dāng)d不變，h變小時(shí)，條件數(shù)κ(BA) 僅弱依賴于d/h=k.

第三類子系統(tǒng)的并行可擴(kuò)展性表5給出了相應(yīng)的CPU時(shí)間與并行效率.

由表5可知，當(dāng)進(jìn)程數(shù)np=8 時(shí)加速比達(dá)到95%以上而未達(dá)到100%.可能的原因?yàn)椋贺?fù)載不夠平衡.可以預(yù)測，在更多進(jìn)程參與計(jì)算的情況下，該類子問題的求解加速性能不差.若進(jìn)程數(shù)足夠多，該類子問題的求解時(shí)間將大幅下降.

表4　不同Τmd,k與np下PCG的外迭代次數(shù)

表5　不同Τmd,k與np下求解第三類子系統(tǒng)的CPU時(shí)間與并行效率

表6　在不同并行模式下求解的時(shí)間比值

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明在曙光5000上求解該DDM預(yù)條件系統(tǒng)時(shí)，采用MPI+OpenMP 模式比MPI模式計(jì)算效率更高.

感謝湘潭大學(xué)王俊仙博士在并行DDM 算法設(shè)計(jì)方面提供的良好建議.

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