離散更新風(fēng)險(xiǎn)模型中的紅利與注資的最優(yōu)控制*

陳　格，　陳源坪，　王一婧

(1.湘潭大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院, 湖南 湘潭 411105;2.中國(guó)銀行 廣州花都分行，廣東 廣州 510800 )

自1957年De Finetti[1]提出最優(yōu)紅利問(wèn)題以來(lái), 眾多學(xué)者對(duì)該問(wèn)題作了大量研究.為了降低公司的風(fēng)險(xiǎn), 有學(xué)者認(rèn)為最優(yōu)的紅利策略應(yīng)該結(jié)合考慮赤字懲罰和注資. 關(guān)于考慮注資及罰金的紅利優(yōu)化問(wèn)題, 參考文獻(xiàn)[2]～[4].

本文基于更新風(fēng)險(xiǎn)模型引入紅利支付、注資和發(fā)生赤字時(shí)的懲罰，研究分紅和注資的最優(yōu)控制策略. 當(dāng)公司出現(xiàn)負(fù)盈余時(shí), 股東可以選擇破產(chǎn), 也可以選擇注資. 因此最優(yōu)控制策略涉及最優(yōu)停時(shí), 即宣布破產(chǎn)的最優(yōu)時(shí)刻. 我們使用壓縮映射原理得到最優(yōu)值函數(shù)是離散HJB 方程組的唯一解. 此外, 我們得到了最優(yōu)控制策略的一些性質(zhì)和破產(chǎn)的最優(yōu)條件, 并提供一個(gè)高效的算法來(lái)獲得最優(yōu)策略和最優(yōu)值函數(shù)，其方法可參看文獻(xiàn)[5]. 關(guān)于更新風(fēng)險(xiǎn)模型的討論可見(jiàn)文獻(xiàn)[6].

在離散更新風(fēng)險(xiǎn)模型中, 盈余過(guò)程 {U(t),t∈N}定義為:

(1)

式中：初始盈余u是一個(gè)非負(fù)整數(shù)；正整數(shù)c表示每個(gè)時(shí)間段所收的保費(fèi)；隨機(jī)變量Xi表示第i次索賠額. 它們是獨(dú)立同分布的, 其共同的概率分布為f(k)=Pr(Xi=k)(k∈N+). 計(jì)數(shù)過(guò)程 {N(t);t∈N}表示到時(shí)間t為止的索賠次數(shù)N(t)=max{n:T1+T2+…+Tn≤t}, 其中索賠時(shí)間間隔Ti是獨(dú)立同分布的, 且為正整數(shù)值, 其共同概率分布為p(k)=Pr{Ti=k}(k∈N+). 因此,N={N(t)} 是一個(gè)一般的更新過(guò)程. 進(jìn)一步假設(shè) {Ti;i∈N+} 和 {Xi;i∈N+}是獨(dú)立的.

本文基于模型(1)以及相應(yīng)的延遲更新模型考慮分紅和注資問(wèn)題.定義μt(t∈N) 為t時(shí)刻的分紅,νt(t∈N)為t時(shí)刻的注資. 假設(shè) {μt} 和{νt} 是非負(fù)整數(shù)序列. 控制策略 {(μt,νt),t∈N}是可容許的, 如果它滿足： (i) 對(duì)于任意時(shí)刻t的分紅不會(huì)導(dǎo)致負(fù)盈余 ; (ii) 分紅和注資不能同時(shí)進(jìn)行(如果νt>0 那么μt=0; 如果μt>0 那么νt=0); (iii) 任意時(shí)刻t的分紅或注資為Ft可料的, 這里Ft是一個(gè)σ-代數(shù), 且它包含了時(shí)刻t及以前所有的信息量.

假設(shè) {(μt,νt),t∈N}是可容許的控制策略, 令σt=μt-νt. 那么, 當(dāng)σt>0時(shí),σt表示為分紅; 當(dāng)σt<0時(shí), -σt表示為注資; 當(dāng)σt=0時(shí), 意味著在t時(shí)刻既沒(méi)分紅又沒(méi)注資. 因此,可容許策略表示為Φ={σt,t∈N}, 則受控制盈余過(guò)程(T1的概率分布為gi(k) (i∈N}))定義為:

(2)

假定Φ*={σ0,σ1,…} 是盈余過(guò)程 (2)中的最優(yōu)控制策略. 顯然，σt會(huì)受到距離s(t)和t時(shí)刻前一瞬間的盈余的影響, 即最優(yōu)策略是關(guān)于這兩個(gè)變量的函數(shù). 我們用φs(u)來(lái)表示這個(gè)函數(shù), 其中u表示t時(shí)刻前一瞬間的盈余, 即σt=φs(u)，所以我們也可以表示最優(yōu)控制策略為：

Φ*={φs(u),s∈N,u∈Z}.

(3)

當(dāng)索賠導(dǎo)致負(fù)盈余時(shí), 股東要么宣布破產(chǎn)要么注資. 我們將給出最優(yōu)破產(chǎn)條件. 因?yàn)樵诔跏紩r(shí)刻可以注資, 所以允許負(fù)的初始盈余.

本文還考慮任意注資前發(fā)生赤字時(shí)有一個(gè)常數(shù)罰金(用Λ表示). 因此, 值函數(shù)定義為:

式中I(A) 為事件A的示性函數(shù),i∈N,u∈Z.

(4)

其中k∈N,u∈Z,Su={u,u-1,…}∪{0}.

證明假設(shè)Φ={φi(u)}∈Θ*是最優(yōu)的.應(yīng)用全概率公式， 對(duì)所有的n=0,1,2,…, 有

(5)

根據(jù)(5)可得(4)成立. 另外, 由于Φ的最優(yōu)性, 當(dāng)u≥0時(shí),φi(u)∈{u,u-1,…}; 當(dāng)u<0 時(shí),φi(u)∈{0,u,u-1,u-2,…}.

對(duì)于任意的策略Φ={φi(u)}∈Θ*, 我們對(duì)值函數(shù)Vi(u) 進(jìn)行變換，其像函數(shù)定義為

(6)

那么, 對(duì)于任意i∈N和u∈Z, 由(5)可得到

Vi(u)=Wi(u-φi(u))+φi(u).

(7)

根據(jù)(6)和(7), 像函數(shù)Wi(u)滿足下列方程組:

Wi(u)=Q(i)r[Wi+1(u+c-φi+1(u+c))+φi+1(u+c)]+

(8)

對(duì)于任意i∈N和u∈Z, 在與Θ*中的策略對(duì)應(yīng)的所有像函數(shù)中， 最大者稱為最優(yōu)像函數(shù).

定理2假設(shè)Φ={φi(u)}∈Θ*,Vi(u) 是其值函數(shù), 且Wi(u) 是相應(yīng)的像函數(shù). 那么,Wi(u) 是最優(yōu)的, 當(dāng)且僅當(dāng)Φ是最優(yōu)的控制策略.

證明首先, 假定Wi(u) 最優(yōu). 由(6)和(7)知當(dāng)u<0 時(shí)Wi(u)=0；當(dāng)u∈N有

不難發(fā)現(xiàn)上式等價(jià)于

(9)

(10)

由(10)和(7)知Vi(u) 是最優(yōu)值函數(shù). 因此, 策略Φ最優(yōu).

相反地, 如果Vi(u) 是最優(yōu)的, 那么(6)中的Wi(u) 顯然是最優(yōu)的像函數(shù).

定理3Θ*中的最優(yōu)策略滿足

(11)

其中,R表示不小于R的最小整數(shù) , 且

(12)

證明當(dāng)u≥0時(shí), 由(10) 可得

(13)

上式等價(jià)于

(14)

由于Wi(u)=0, 所以(11)可由(13)和(14)得出.

當(dāng)盈余處于兩邊界之間時(shí), 注入資金Ai-u使盈余達(dá)到Ai. 當(dāng)盈余 處在Ai上時(shí), 分紅u-Ai給股東.

定理4假設(shè) 0

[1]De FINETTI B. Su un’impostazione alternativa della teoria collettiva del rischio[C]. Transactions of the XVth international congress of Actuaries, 1957, 2(1): 433-443.

[2]LOEFFEN R L, RENAUD J F. De Finetti’s optimal dividends problem with an affine penalty function at ruin[J].Insurance: Mathematics and Economics,2010, 46(1): 98-108.

[3]LIANG Z, YOUNG V R. Dividends and Reinsurance under a penalty for Ruin[J].Insurance: Mathematics and Economics,2012, 50: 437-445.

[4]ZHOU M, YUEN K C. Optimal reinsurance and dividend for a diffusion model with capital injection: Variance premium principle[J].Economics Modelling, 2012, 29: 198-207.

[5]TAN J, YUAN P, CHENG Y,et al. An optimal dividend strategy in discrete Sparre Andersen model with bounded dividend rates[J].Journal of computational and Applied Mathematics, 2014, 258: 1-16.

[6]譚激揚(yáng),鄧麗,楊向群. Sparre Andersen風(fēng)險(xiǎn)模型中的重置保證再保險(xiǎn)(英文)[J]. 湘潭大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào), 2013, 35(2):1-9.