面向Fredholm微分方程的廣義拉蓋爾多項式求解方法*

石業(yè)嬌

(大連海洋大學(xué) 應(yīng)用技術(shù)學(xué)院，遼寧 大連 116300)

許多學(xué)者采用數(shù)值分析方法研究了Fredholm方程.[1]提出了指數(shù)近似法以獲得Fredholm延時微分方程的近似解.[2]為分?jǐn)?shù)Fredholm延遲積分微分方程提出了一種譜配置方法.[3]為利用線性泛函變元求解廣義Fredholm方程提出了一種有效的算法.[4]基于廣義Fredholm方程數(shù)值解的Bernoulli運算矩陣提出了一種新的配置方案.[5]為解決半無限域上的廣義Fredholm方程提出了一種新的Jacobi rational-Gauss配置法.

本文提出一種使用Laguerre多項式在半無限區(qū)間近似廣義分?jǐn)?shù)階Fredholm方程的解的新方法.對于具有m個初始參數(shù)的廣義n階分?jǐn)?shù)階Fredholm方程，采用更可靠的廣義Laguerre譜配置(generalized Laguerre polynomials, GLC)近似.同樣，將區(qū)間(0,)內(nèi)廣義Laguerre-Gauss正交的(N-m+1)個節(jié)點用作合適的配置點，由此產(chǎn)生的方程和從初始參數(shù)中獲得的方程由(N+1)個代數(shù)方程組成，這些方程可以采用任何標(biāo)準(zhǔn)數(shù)值方案求解.數(shù)值結(jié)果顯示譜方法具有指數(shù)收斂行為.

1　提出的方法

1.1　基本定義

Riemann-Liouville算子[9]和Caputo算子[10]為兩個最常使用的定義.分?jǐn)?shù)階微分的一些定義和性質(zhì)描述如下.

定義1n階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)積分算子(n>0)的定義為：

K0f(x)=f(x).

定義2n階Caputo分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的定義為：

m-10

式中Fm為m階經(jīng)典微分算子.對于Caputo導(dǎo)數(shù)：

FnC=0(C為一常數(shù)),

(1)

其中「n」和?n?分別為ceiling和最低值函數(shù)，而N={1,2,…}和N0={1,2,…}.Caputo的分?jǐn)?shù)微分為類似于階分化的線性運算.

Fn(λf(x)+μg(x))=λFnf(x)+μFng(x),

(2)

式中λ和μ為常數(shù).

1.2　廣義拉蓋爾多項式

令Λ=(0,)和ω(a)(x)=xαe-x為Λ上的加權(quán)函數(shù).定義內(nèi)積和規(guī)范：

令Γ(x)為Gamma函數(shù)，則需要注意的是：

(3)

(4)

1.3　廣義拉蓋爾多項式插值近似

介紹了拉蓋爾-高斯型求積分公式，該公式包含Laguerre Gauss和Laguerre-Gauss-Radau.

1.4　廣義Laguerre-Gauss配置方法

譜配置方案的主要思想是將問題的近似解擴(kuò)展為有限個正交多項式的和，并接著求系數(shù)以盡可能最小化誤差.本節(jié)將使用廣義拉蓋爾-高斯配置方法來求解以下模型問題.

(5)

(6)

式中ain、λi和λsn為實數(shù)或復(fù)數(shù)系數(shù)，m-1

首先介紹基本符號.設(shè)置SN(0,)定義離散內(nèi)積與范數(shù)：

所以，對于任意u∈SN(0,)和相同.與正交規(guī)則相聯(lián)系，使用R表示廣義的拉蓋爾-高斯插值，

求解(5)和(6)的廣義拉蓋爾-高斯配置方法需尋找uN(x)∈SN(0,)，

推導(dǎo)求解(5)和(6)的拉蓋爾-高斯配置方法.令

(7)

首先近似Fnu(x)和Fγnu(x)，如式(7).通過代入方程(5)中的這些近似，得到：

推出，

(8)

代入方程(7)，得到：

(9)

在廣義拉蓋爾-高斯插值點處組合方程(8)，得到：

(10)

使用(9)后，可將方程(10)寫作：

使用任意標(biāo)準(zhǔn)求解器技術(shù)，對于未知系數(shù)as,s=0,1,2,…,N，結(jié)合方程(7)和(8)可以生成代數(shù)方程.

2　案例分析

利用現(xiàn)有方法數(shù)值求解了在半無限區(qū)間上系數(shù)可變的兩個廣義的分?jǐn)?shù)階Fredholm方程以證明其精度和性能.給定表中的絕對誤差為所選點處|u(x)-uN(x)|值.

例1考慮系數(shù)可變的以下廣義分?jǐn)?shù)階Fredholm方程

(11)

表1列出了不同α和N=22時利用廣義拉蓋爾配置法獲得的絕對誤差.表中的數(shù)值結(jié)果表明其結(jié)果是精確的.方程(11)的結(jié)果如圖1所示.

表1例1中N=22時使用GLC的絕對誤差

Tab.1　Absolute errors using GLC method at N=22 for Example 1

xα=1α=2α=30.10.00015700.0053740.014000.20.00014960.0067670.019730.30.00083250.0061920.020770.40.00015460.0049080.019550.50.00027400.0036410.017480.60.00038510.0027530.015640.70.00022010.0023720.014480.80.00012840.0024810.014190.90.00055590.0029890.014801.00.00097680.0037730.01620

3　結(jié)束語

提出了一種新的方法來求解半無限域內(nèi)系數(shù)可變的包含有線性泛函參數(shù)廣義分?jǐn)?shù)階Fredholm方程.為了求解這個問題，提出了基于廣義Laguerre-Gauss插值節(jié)點的廣義拉蓋爾配置近似，從該方法中可以獲得許多配置技術(shù)作為特殊情況.此外，數(shù)值結(jié)果證明了提出方法的正確性和適用性.未來會將提出的方法應(yīng)用于其他的數(shù)值實例，進(jìn)一步探討提出方法的優(yōu)缺點，從而提出更加簡單有效的求解方法.

[1]ATONUJE. Issues in the influence of ito-type noise on the oscillation of solutions of delay differential fredholm equations[J].數(shù)學(xué)和系統(tǒng)科學(xué):英文版, 2015, 26(11): 480-487.

[2]SHI W J,ZHANG C J. Generalized polynomial chaos for nonlinear random fredholm equations[J]. Acta Mathematicae Applicatae Sinica, English Series, 2016, 32(3): 685-700.

[3]FEIYAN, XIAO, PENGWANG. Strong predictor-corrector methods for stochasticfredholm equations[J]. 計算數(shù)學(xué):英文版, 2016, 12(1): 1-11.

[4]HUANG Q, XIE H, BRUNNER H. Super convergence of discontinuous Galerkin solutions for delay differential equations of fredholm type.[J]. 計算數(shù)學(xué):英文版, 2016, 33(2):186-199.

[5]邵殿國, 宋代清, 谷晶. Stochastic maximum principle of forward backward stochastic fredholm systems with random jumps[J]. 吉林大學(xué)學(xué)報理學(xué)版, 2015, 53(4): 655-657.

[6]SHAH S M. Riemann-liouville operator-based fractional normalised least mean square algorithm with application to decision feedback equalisation of multipath channels[J]. Iet Signal Processing, 2016, 10(6): 575-582.

[7]楊帥, 蔡寧寧. 一類Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題解的存在性[J]. 山東理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2016, 32(3): 29-32.