一類 Riesz 空間分?jǐn)?shù)階時(shí)滯擴(kuò)散微分方程的隱-顯差分格式*

楊水平,　劉紅良

(1. 惠州學(xué)院 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院,廣東 惠州 516007;2.湘潭大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411105)

(1)

其中1<α≤2,s>0,f:D=[0,L]×[0,T]×R×R→R是給定連續(xù)函數(shù)且滿足Lipschitz條件

(2)

本節(jié)將構(gòu)造問題(1) 的差分格式. 取時(shí)間步長(zhǎng)τ=T/N，且使得s=mτ， 其中m為某一個(gè)正整數(shù)，則tn=nτ,n=0,1,…,N.對(duì)于有限區(qū)間Ω=[0,L] ，令xi=ih,i=0,1,…,M, 其中h=L/M為空間步長(zhǎng).為了在數(shù)值求解(1)的過程中避免求解非線性方程組，問題(1)時(shí)間離散時(shí)，本文對(duì)于線性部分采用隱式方法，對(duì)于非線性部分采用顯式方法.對(duì)于空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)采用具有二階精度的分?jǐn)?shù)階中心差分格式.首先給出如下的半離散形式：

(3)

(4)

式中μα=τKαcα/2hα.式(4)還可以簡(jiǎn)寫成為如下形式

(I+D)Un=(I-D)Un-1+τF(Un-1).

(5)

(6)

‖(I+D)-1(I-D)‖

可得‖εn‖≤‖(I+D)-1(I-D)‖‖εn-1‖+τ‖(I+D)-1‖(β1‖εn-1‖

en≤‖(I+D)-1(I-D)‖en-1+τ‖(I+D)-1‖(β1+β2)en-1≤(1+τC)en-1,

其中C=β1+β2, 則由上式可知en≤(1+τC)ne0≤exp(TC)e0.

證明假設(shè)Un和un分別為方法(5)的數(shù)值解和真解，un=[u(x1,tn),u(x2,tn),…,u(xM-1,tn)]T, 以及εn=Un-un. 由[11]可知(I+D)εn=(I-D)εn-1+τ(F(Un-1)-F(un-1))+O(τ2+τh2),利用Lipschitz條件 (2), 則有

‖(I+D)-1(I-D)‖

進(jìn)一步可得

‖εn‖≤‖(I+D)-1(I-D)‖‖εn-1‖+τ‖(I+D)-1‖(β1‖εn-1‖+β2‖εn-m-1‖)+O(τ2+τh2).

en≤‖(I+D)-1(I-D)‖en-1+τ‖(I+D)-1‖(β1+β2)en-1+O(τ2+τh2)≤(1+τC)en-1+O(τ2+τh2),

en≤O(τ2+τh2)/τC[(1+τC)n-1]≤O(τ+h2)[exp(TC)-1]/C≤C*(τ+h2)=O(τ+h2),

其中C*=(exp(TC)-1)/C.

(7)

例1考慮如下分?jǐn)?shù)階時(shí)滯擴(kuò)散微分方程初值問題

(8)

式中：T=2,s=0.5,Kα=1, 1<α≤2,

f(x,t,u(x,t),u(x,t-s))=u(x,t)u(x,t-s)-x2(1-x)2e-t-x4(1-x)4e-2t+τ+[e-t/2cos(απ/2)].

該問題的真解u(x,t)=x2(1-x)2e-t.

很容易驗(yàn)證u(x,t)∈C(2,2)([0,L],[-s,T]), 且f滿足條件 (2). 利用方法 (5) 求解問題 (8)，當(dāng)取α=1.5， 在不同網(wǎng)格剖分時(shí)數(shù)值解與真解的最大誤差及相應(yīng)的誤差階如表1所示. 當(dāng)分別取α=1.5 和α=1.8，利用方法 (5) 的外推格式求解， 在不同網(wǎng)格剖分時(shí)數(shù)值解與真解的最大誤差及相應(yīng)的誤差階如表2所示. 從表 1 可知方法 (5) 的空間離散的收斂階達(dá)到二階，時(shí)間離散的收斂階僅有一階.利用外推技巧改進(jìn)后的時(shí)間和空間離散的收斂階基本達(dá)到了 2 階，驗(yàn)證了本文的理論結(jié)果， 說明方法 (5) 和利用外推技巧獲得的數(shù)值格式 (7) 求解問題(8)是比較高效的.

表1　方法 (5) 求解問題 (8) 的誤差及其誤差階

表2　方法 (5) 的外推格式求解問題 (22) 的誤差及其誤差階

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