一道高考題的多角度思考及推廣

毋曉迪　韓道蘭

摘要：高考數(shù)學(xué)注重考查學(xué)生的解題能力以及邏輯思維推理能力，由于數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)答案的固定性，學(xué)生往往會(huì)被束縛在特定的解題模式中，這樣會(huì)制約學(xué)生的解題思路，對(duì)于教師來(lái)說(shuō)主要的任務(wù)是教會(huì)學(xué)生掌握解題的思想，能學(xué)以致用，觸類(lèi)旁通，而不是僅僅教會(huì)學(xué)生能夠解出一道題，下面筆者就針對(duì)2016年四川卷第8題的解法進(jìn)行多角度分析，來(lái)談一談高考題一題多解之妙，挖掘其一題多解的內(nèi)在聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：一題多解；多角度；推廣；教學(xué)啟示

一、 解法分析

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px（p>0）上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|=2|MF|，則直線OM斜率的最大值為。

A. 33

B. 23

C. 22

D. 1

1. 基本不等式的視角

解法1：由焦點(diǎn)F（p2，0），設(shè)點(diǎn)P、M的坐標(biāo)分別為P（y202p，y0），M（x，y），現(xiàn)就y0>0來(lái)討論，由于|PM|=2|MF|，即PM=2MF，解出M（p3+y206p，y03），即kOM=y-0x-0=yx=22py0+y0p≤222=22，當(dāng)且僅當(dāng)y20=2p2時(shí)，取等號(hào)，即kOMmax=22。

2. 方程的視角

解法2：設(shè)點(diǎn)P、M的坐標(biāo)分別為P（x0，y0），M（x，y），由|PM|=2|MF|，得x=13x0+p3，y=13y0，即∴P（3x-p，3y），得到M的軌跡為：9y2=6px-2p2，將OM所在的直線方程為y=kx與M的軌跡方程聯(lián)立得：9k2x2-6px+2p2=0，由Δ=（-6p）2-4·9k2·2p2≥0，解得k的取值范圍為：-22≤k≤22，即直線OM斜率的最大值為22。

3. 函數(shù)的視角

解法3：由解法4知，當(dāng)AP與拋物線相切時(shí)斜率最大，當(dāng)然我們可以通過(guò)求導(dǎo)去解決，設(shè)P（x0，2px0），由y2=2px知y=2px，所以y′=kAP=k=p2px，即k=p2px=2px0-0x0-（-p），解得p=x0，所以直線的斜率為k=p2p2=22，即kOMmax=22。

4. 幾何的視角

解法4：根據(jù)|PM|=2|MF|，考慮到中心的性質(zhì)，可以巧妙構(gòu)造一個(gè)三角形，不妨設(shè)B（p，0），使得焦點(diǎn)F為OB的中點(diǎn)，此時(shí)M為ΔBOP的重心，此時(shí)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x0，y0），所以x0=y202p，由三角形重心坐標(biāo)得M（x0+p3，y03），kOM=y0x0+p=1y02p+py0≤1212=22，

當(dāng)且僅當(dāng)y20=2p2時(shí)，等號(hào)成立，即kOMmax=22。

二、 替代推廣，巧得性質(zhì)

該高考題難度適中，題目雖小，有容乃大，不難發(fā)現(xiàn)我們得到的答案是一個(gè)與解析式中參數(shù)p無(wú)關(guān)的常數(shù)，一道好題的價(jià)值在于它能產(chǎn)生其他一些好題，因此我們可以大膽做出嘗試，做出假設(shè)，利用好題進(jìn)行適當(dāng)變形和替換，用λ（λ>0）來(lái)替換原題中的數(shù)字2可得到如下一般形式：設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px（p>0）上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|=λ|MF|，則直線OM斜率的最大值是一個(gè)與p無(wú)關(guān)的常數(shù)。

證明：焦點(diǎn)F（p2，0），點(diǎn)P、M的坐標(biāo)分別為P（y202p，y0），M（x，y），就y0>0來(lái)討論，由于|PM|=λ|MF|，所以PM=λMF，即：（x-y022p，y-y0）=λ（p2-x，-y），解出M（λp2-y202（1+λ）p，y01+λ），∴kOM=y-0x-0=yx=2py0λp2+y20=2y0p+λpy0≤22λ=λλ，當(dāng)且僅當(dāng)y20=λp2時(shí)，等號(hào)，直線OM斜率的最大值為λλ。

得出結(jié)論：不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)該題變形后，得到的答案是一個(gè)與參數(shù)p無(wú)關(guān)的常數(shù)，這個(gè)答案很特殊，只與分焦半徑的系數(shù)λ有關(guān)，為此本試題就得到了一般的推廣的同時(shí)，我們可以得到一個(gè)與拋物線焦半徑有關(guān)的一個(gè)性質(zhì)：O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px（p>0）上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，滿足PM=λMF，則直線OM斜率的最大值為1λ。

參考文獻(xiàn)：

[1]司政君，鞏繼忠.一道數(shù)學(xué)高考題的多種解法[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012（5）.

[2]教育部考試中心.2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱的說(shuō)明[M].北京：高等教育出版社，2016.

作者簡(jiǎn)介：

毋曉迪，韓道蘭，廣西壯族自治區(qū)南寧市，廣西民族大學(xué)理學(xué)院。