教學有法 道法自然
——對“加減消元法”一課的鑒賞

（廣西師范學院數(shù)學與統(tǒng)計科學學院）

一、感受

大家都說，數(shù)學是一個“解題大國”，我們的解題研究，堪稱數(shù)學解題研究的世界之最.而我們通常所說的“解題方法”，也會被分成不同的層次.

（1）具有創(chuàng)立學科功能的方法.例如，公理化方法、集合論方法、坐標方法、向量方法等.在具體解題中，具有統(tǒng)帥全局的作用.

（2）體現(xiàn)一般思維規(guī)律的方法.例如，觀察、試驗、比較、分類、猜想、類比、聯(lián)想、歸納、演繹、分析、綜合等.在具體解題中，有通理通法、適應面廣的特征，常用于解題思路的探求.

（3）具體進行論證演算的方法.這又可以依其適應面分為兩個層次，第一層次是適應面較廣的求解方法.例如，消元法、換元法、降次法、待定系數(shù)法、反證法、同一法、數(shù)學歸納法（及遞推法）、坐標法、三角法、數(shù)形結合法、構造法、配方法等；第二層次是適應面較窄的求解技巧.例如，因式分解法，以及因式分解中的裂項法，函數(shù)作圖中的描點法，三角函數(shù)作圖中的五點法，幾何證明中的截長補短法、補形法，數(shù)列求和中的拆項相消法等，不一而足.

可見，加減消元法是一種數(shù)學問題解決過程中具有較廣適應面的具體論證演算方法.作為一種解法教學，它是一種操作技能的教學，也是一種步驟教學.因此，步驟順序正確性和操作熟練性，是衡量其成效的兩個指標.其教學需要過程與結果并重.而學生學習本課以后要能根據(jù)方程的具體形式選擇適當?shù)慕夥?，正確解二元一次方程組.從教學目標與重點的確定上看，執(zhí)教教師對此課的定位是非常準確的.

執(zhí)教教師的教學內(nèi)容選自人教版《義務教育教科書·數(shù)學》七年級下冊第八章第二節(jié)，學生此前學習了代入消元法.本課的加減消元法是消元思想下的第二種具體方法.因此，兼顧學生已有知識經(jīng)驗進行對比教學是必不可少的.當然，執(zhí)教教師通過系統(tǒng)地把加減消元法與代入消元法進行對比教學，通過用不同方法解同一個方程組對不同的解法進行比較，以及在最后的小結部分給出了綜合概括的加減消元法和代入法的框圖等，將處于統(tǒng)攝地位的消元思想滲透得更為深刻，從而提升了本課的思想性.

但是，我們還需要注意，為何教材中非要規(guī)定在滿足兩個二元一次方程中同一個未知數(shù)的系數(shù)相反或相等的條件下應用加減消元法呢？

二、思考

順著這樣的思路，我們需要對執(zhí)教教師的這節(jié)課進行進一步的思考.我們可以從本課加減消元法與上一節(jié)代入消元法學習的差異處進行思考.

作為一種數(shù)學操作方法，其學習必然少不了這樣的教學環(huán)節(jié)：原理解釋、步驟概括—形成操作程序—應用與操練所學方法.代入法消元的本質(zhì)是等量代換，而加減消元的本質(zhì)是等式的性質(zhì)與恒等式運算，然后才能代入消元或直接消元.因而，加減消元法需要在滿足“兩個二元一次方程中同一個未知數(shù)的系數(shù)相反或相等”的條件下才能直接套用.因此，事先必須進行系數(shù)化同，即把方程轉化為有一個未知數(shù)系數(shù)的絕對值相等的建構性的操作（需要從無到有的進行創(chuàng)造），思維鏈更長，導致難度增加.此外，式的運算本就是初中生學習的難點.

加減消元法學習相比于代入消元法的學習可能存在大一些的思維難關.對此，我們其實可以換個角度來思考：如果不限定非要在滿足“兩個二元一次方程中同一個未知數(shù)的系數(shù)相反或相等”的條件下應用加減消元法，那么，我們可以用兩個方程直接加減一次或多次的方法解方程組嗎？也就是說，用加減消元法解方程組，一定要先進行系數(shù)化同嗎？這樣限定加減消元法的應用條件，目的是什么？

由此，我們可以看到，本課的教學中潛藏著某些“道法”，是我們需要去品味的.

三、品味

其實，執(zhí)教教師的這一節(jié)課，體現(xiàn)了其在本課處理上的如下一些“道法自然”之處，品來有如行云流水.

1.課程主線清晰，各環(huán)節(jié)銜接自然

從兩個方程中同一個未知數(shù)系數(shù)相等或相反到?jīng)]有同一個未知數(shù)系數(shù)相等或相反；從直接加減消元到先系數(shù)同化再加減消元.整節(jié)課主線清晰，各環(huán)節(jié)銜接自然.

2.認知進程層次豐富有致

注重對學生活動的設計，采取了用問題引導學習的方式，讓學生帶著問題展開探究活動.教師適時點撥，引導學生進行深入思考、及時概括.

例如，對于思考1的變式解法（加減消元法），執(zhí)教教師先分析思路，用豎式把兩個等式（方程）的運算直觀展示出來，然后再板書方程組的求解過程.這個過程中的設問，都是針對關鍵點進行的，非常到位.執(zhí)教教師從這里就開始鋪墊“根據(jù)方程的具體形式選擇不同的解法”的意識了，在思考2中仍在繼續(xù)鋪墊，使得結論呼之欲出.這樣的教學層次鮮明、鋪墊到位.

對思考1與思考2的解方程組后的概括總結，針對加減消元法的前提條件，以及某一個未知數(shù)系數(shù)化同的過程，有效突破難點，并且逐級概括方法步驟.這樣的過程，使得教學輕快、簡明、高效.

在整節(jié)課的教學過程中，執(zhí)教教師把學生置于答疑、概括的思維當中，通過做比較、選擇（尋找最簡便的做法），來發(fā)揮學生學習的主體性，實現(xiàn)學生對加減消元法的進一步認識.然后執(zhí)教教師帶領學生對運用加減消元法解二元一次方程組的一般步驟進行歸納和概括.最終得到運用加減消元法解二元一次方程組的完整步驟流程圖（如圖1）.

圖1

小結部分，執(zhí)教教師把所有的消元法（含代入法和加減法）都匯列到了一個流程圖中（如圖2），再次強調(diào)新學知識與已有知識（不同的消元法）的聯(lián)系，有助于學生建構良好的認知結構.總結的過程，是進一步的提升.至此，此節(jié)課的教學又提升到了一個新的高度.

圖2

數(shù)學有兩個側面，由歐幾里得方法提出來的數(shù)學看起來像是一門系統(tǒng)的演繹科學，但是創(chuàng)造過程中的數(shù)學看起來卻像是一門實驗性的歸納科學.執(zhí)教教師的逐步歸納，以及用不同方法解二元一次方程組的綜合歸納，讓學生充分體驗了歸納創(chuàng)立模式的過程，突顯了其教學的過程性取向.

從這些過程的落實來看，執(zhí)教教師的教學能夠做到細細鋪墊、逐步強化和精細化，教學活動層次豐富有致，自然而有水到渠成的效果.可以說，課上到這里，有如行云流水，活動進程自然而又順暢.

事實上，加減消元法作為一種方法、工具性的內(nèi)容的教學，它是解決問題的模式與實施程序，是學習的核心內(nèi)容，學生能夠建構起這個解法程序模式，是教學任務完成的標志.顯然，在本節(jié)課中，執(zhí)教教師層層遞進、逐步歸納概括的教學流程，就能夠很好地帶領學生構建如圖2所示的流程圖中的方法模式，這樣的教學更富有高度.

而課堂上所使用的流程圖，尤其最后一個“集大成”的流程圖，直觀、簡明，成就了本節(jié)課的高潮.在帶領學生逐步建構這個一元二次方程組解法程序模型的過程中，流程圖突出了各步驟的正確順序，利于學生熟悉和掌握，對于確保學生解方程組步驟、順序正確，操作熟練，高效達成教學目標，有著很好的促進作用.而在對流程圖逐步完善和拓展的過程中，則融合了對本課方程組解法的創(chuàng)立過程與解法流程的表達，充分落實了本課的過程教學和結果教學目標.

3.課件與認知進程密切配合

思考1利用課件逐步演示，直觀對照講解步驟，明了簡約.在思考1的變式解法（加減消元法）部分，執(zhí)教教師先帶領學生分析解題思路，用豎式把兩個等式（方程）的運算直觀展示出來，然后再板書方程組的解答過程.在思考2中，執(zhí)教教師則結合課件、板書同思考1一樣進行處理.

從這些過程看來，執(zhí)教教師所用的課件，都能與學生實時的認知進程密切配合，這樣的課件是有靈魂的課件.

四、醒悟

事實上，執(zhí)教教師的這節(jié)課通過逐步概括出用加減消元法解方程組，以及消元思想在解方程組中的體現(xiàn)（如圖2），給我們揭示了這樣的結論：當我們限定了系數(shù)化同這個條件（它已經(jīng)被封裝進了流程圖中成為一個節(jié)點）后，其實就是把對兩個方程進行預處理的過程“封裝”成了一個應用加減消元法的條件（環(huán)節(jié)），從而使得用加減消元法解方程組的過程模式（預處理方程—兩個方程整體相加減一次—代入消元……）得到更為簡約的刻畫和描述，也便于突出運用加減消元解二元一次方程組的思維主線.概括講，就是為了簡化解法程序模型的建構，提高學習效率.至此我們也就明白了為何要限定系數(shù)化同這個條件了.而執(zhí)教教師這樣的教學組織，也確實體現(xiàn)了在課堂教學中如何兼顧知識結果（加減消元法的程序步驟的掌握）的教學與過程（概括形成加減消元法程序步驟的過程）的教學，以及如何突出消元法思想主線且同時保證學習效率，實乃一節(jié)有深意的課.

參考文獻：

［1］張奠宙，宋乃慶.數(shù)學教育概論［M］.北京：高等教育出版社，2004.

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