“加減消元法”教學(xué)設(shè)計(jì)

（廣東省肇慶市第一中學(xué)）

一、學(xué)習(xí)內(nèi)容地位分析

本節(jié)課內(nèi)容選自人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）第八章第二節(jié)，是在學(xué)習(xí)了代入消元法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步來學(xué)習(xí)解二元一次方程組的另一種方法.加減消元法是靈活解答二元一次方程組、三元一次方程組和應(yīng)用二元一次方程組解答實(shí)際問題的基礎(chǔ)，有助于學(xué)生理解和掌握消元方法，以及化歸思想等數(shù)學(xué)思想方法.

二、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課的主要內(nèi)容是用加減消元法解二元一次方程組.使學(xué)生通過對(duì)思考1和思考2進(jìn)行探究，得到直接加減消元的解法，形成加減消元法的概念；進(jìn)而通過對(duì)思考2的變式，以及例題的探究，得到間接加減消元的解法，形成運(yùn)用加減消元法解二元一次方程組的一般步驟.

三、學(xué)情分析

本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象是七年級(jí)的學(xué)生，其具備以下知識(shí)基礎(chǔ)和能力.

（1）能夠熟練解一元一次方程.

（2）會(huì)用代入消元法解二元一次方程組.

（3）通過代入消元，已初步體會(huì)化歸思想.

四、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

基于上述分析，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）理解加減消元法的概念.

（2）經(jīng)歷加減消元法的形成過程，應(yīng)用加減消元的方法，實(shí)現(xiàn)將二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程，體會(huì)化歸思想.

（3）掌握加減消元法解二元一次方程組的基本步驟，會(huì)用加減消元法解二元一次方程組.

五、教學(xué)重、難點(diǎn)

基于上述的教學(xué)目標(biāo)，確定本節(jié)課的教學(xué)重、難點(diǎn)如下.

教學(xué)重點(diǎn)：加減消元法的概念；會(huì)用加減消元法解二元一次方程組.

教學(xué)難點(diǎn)：如何將同一個(gè)未知數(shù)的絕對(duì)值不同的系數(shù)轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值相同的系數(shù).

六、教學(xué)策略

本節(jié)課采用啟發(fā)式的教學(xué)策略，通過對(duì)思考1和思考2的探究，得到直接加減消元的解法，形成加減消元法的概念；通過對(duì)思考2的變式，以及例題的探究，得到間接加減消元的解法，形成加減消元法解二元一次方程組的一般步驟.

七、教學(xué)準(zhǔn)備

實(shí)物投影儀.

八、教學(xué)過程

1.復(fù)習(xí)引入

解：由①，得

y=10-x.③

將③代入②，得

2x+(10-x)=16.

解得x=6.

將x=6代入③，得

y=4.

問題1：利用代入消元法解二元一次方程組的一般步驟是什么（答案見圖1）？代入消元法的核心數(shù)學(xué)思想是什么？

圖1

問題2：這個(gè)方程組只能用代入消元法來解嗎？

問題3：方程組中未知數(shù)y的系數(shù)有什么關(guān)系？利用這種關(guān)系你能發(fā)現(xiàn)新的消元方法嗎？

師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生思考回答.

【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)回顧代入消元法及其核心數(shù)學(xué)思想——消元，為本節(jié)課做好知識(shí)儲(chǔ)備.提出問題，引入本節(jié)課的內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

2.概念形成

解：②-①，得

(2x+y)-(x+y)=16-10，

2x+y-x-y=16-10，

x=6.

把x=6代入①，得

y=4.

師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生觀察、討論之后回答.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，努力嘗試新的方法.

問題1：兩個(gè)方程可以這樣相減嗎？依據(jù)是什么？

答：可以，依據(jù)是等式的性質(zhì)1.

問題2：①-②也能消去未知數(shù)y，求得x嗎？

問題3：一起來小結(jié).

方程組中，未知數(shù)y的系數(shù)是________，把兩個(gè)方程兩邊分別________，就可以消去未知數(shù)y，得到一元一次方程.

師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生思考回答.

【設(shè)計(jì)意圖】觀察方程組中兩個(gè)方程中y的系數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們相等，由此得出兩方程中同一未知數(shù)系數(shù)相等，將兩方程相減這一解法.

解：①+②，得

(3x+10y)+(15x－10y)=2.8+8.

18x=10.8.

x=0.6.

把x=0.6代入①，得

y=0.1.

問題：方程組中，未知數(shù)y的系數(shù)是________，把兩個(gè)方程兩邊分別________，就可以消去未知數(shù)y，得到一元一次方程.

師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生觀察、討論之后回答.

【設(shè)計(jì)意圖】觀察方程組兩個(gè)方程中y的系數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們互為相反數(shù)，由此得出兩方程中同一未知數(shù)系數(shù)互為相反數(shù)，將兩方程相加這一解法.

歸納加減消元法：當(dāng)二元一次方程組兩個(gè)方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，把兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程.這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法.

問題1：加減消元法的基本思想是什么？

問題2：兩個(gè)方程相加或相減后能夠?qū)崿F(xiàn)消元的前提條件是什么？

問題3：加減消元法的關(guān)鍵步驟是什么？依據(jù)是什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考，歸納加減消元法，教師提示補(bǔ)充.

【設(shè)計(jì)意圖】在對(duì)兩個(gè)思考進(jìn)行解答之后，歸納加減消元法，并利用問題，對(duì)加減消元法的重點(diǎn)部分進(jìn)行強(qiáng)調(diào).

3.練習(xí)鞏固

用加減消元法解下列方程組.

師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生獨(dú)立完成，然后進(jìn)行交流，對(duì)錯(cuò)例進(jìn)行展示，找出錯(cuò)誤根源，歸納正確方法.

【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)加減消元法解二元一次方程組的實(shí)踐應(yīng)用，加深學(xué)生對(duì)加減消元法的理解和掌握.

師生活動(dòng)：根據(jù)練習(xí)題的解答步驟，教師用如圖2所示的框圖展示運(yùn)用加減消元法解二元一次方程組的一般步驟.

圖2

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生再次認(rèn)識(shí)加減消元法解二元一次方程組，歸納加減消元法解二元一次方程組的一般步驟，進(jìn)一步體會(huì)化歸的數(shù)學(xué)思想.

4.典例展示

問題1：在對(duì)思考2的方程②中未知數(shù)系數(shù)進(jìn)行改變后，直接加減兩方程還能夠消去未知數(shù)y嗎？

答：不能.

問題2：那應(yīng)該怎么辦？

答：由方程②×2，得15x-10y=8.

問題3：兩個(gè)方程都可以這樣變形嗎？依據(jù)是什么？

答：可以，依據(jù)是等式的性質(zhì)2.

師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生思考回答.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生得出構(gòu)造同一未知數(shù)系數(shù)相等或互為相反數(shù)的方法，為下述例題的求解做好鋪墊.

例用加減消元法解二元一次方程組

解：由①×3，得9x+12y=48.③

由②×2，得10x-12y=66.④

由③+④，得19x=114.

解得x=6.

將x=6代入①，得

問題1：其中12與y的系數(shù)的絕對(duì)值4，6有什么關(guān)系？

答：12是4，6的最小公倍數(shù).

問題2：如果用加減消元法消去x，應(yīng)該如何解？

師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生思考完成，并展示同一方程組先消元不同未知數(shù)的解法.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生理解和鞏固構(gòu)造同一未知數(shù)系數(shù)相等或互為相反數(shù)的解法.

師生活動(dòng)：進(jìn)一步完善用加減消元法解二元一次方程組一般步驟的框圖如圖3所示.

圖3

【設(shè)計(jì)意圖】歸納用加減消元法解二元一次方程組的一般步驟，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)化歸的數(shù)學(xué)思想.

5.技能訓(xùn)練

用加減消元法解下列二元一次方程組.

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視，教師注意搜集錯(cuò)例進(jìn)行展示，由學(xué)生分析錯(cuò)誤原因.同時(shí)，教師還要關(guān)注不同的做法，引導(dǎo)學(xué)生找出簡(jiǎn)單的方法.

【設(shè)計(jì)意圖】及時(shí)鞏固所學(xué)知識(shí).

6.課堂小結(jié)

教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并讓學(xué)生回答以下問題.

問題1：加減消元法的概念是什么？

問題2：加減消元法解二元一次方程組的步驟有哪些？

用框圖展示代入消元法和加減消元法的解答步驟如圖4所示.

圖4

【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)鞏固、提升總結(jié)本節(jié)課的知識(shí)，使學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)和反思.

布置作業(yè)：教材第97頁習(xí)題8.2第3題.

九、教學(xué)反思

本節(jié)課很好地處理了教師講授引導(dǎo)和學(xué)生實(shí)踐探究之間的關(guān)系，精心設(shè)計(jì)了探究活動(dòng)，很好地完成了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，使學(xué)生理解了加減消元法，掌握了運(yùn)用加減消元法解二元一次方程組的一般步驟，鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

1.課程主線清晰，各環(huán)節(jié)銜接自然

從有同一個(gè)未知數(shù)系數(shù)相等或互為相反數(shù)到?jīng)]有同一個(gè)未知數(shù)系數(shù)相等或互為相反數(shù)；從直接加減消元到間接加減消元.

2.關(guān)注學(xué)生主體意識(shí)，發(fā)揮教師引導(dǎo)作用

注重學(xué)生活動(dòng)的設(shè)計(jì)，采取了問題引導(dǎo)的方式，讓學(xué)生帶著問題開展探究活動(dòng).教師適時(shí)點(diǎn)撥，利用問題串，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入思考.

3.關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，注重及時(shí)的歸納概括

注重根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律安排教學(xué)活動(dòng)，從思考1到思考2，利用減式、加式直觀的展示兩方程相加與相減的情況.利用短語小結(jié)“同一個(gè)未知數(shù)系數(shù)相等，兩方程相減”“同一個(gè)未知數(shù)系數(shù)互為相反數(shù)，兩方程相加”進(jìn)行歸納概括；利用框圖，對(duì)運(yùn)用加減消元法解二元一次方程組的一般步驟進(jìn)行概括.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［3］章建躍.章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄［M］.杭州：浙江教育出版社，2017.