學(xué)為中心·方法探究·思維引領(lǐng)
——觀“三角形的中位線”展示課的幾點(diǎn)思考

（云南省教育科學(xué)研究院）

一、教學(xué)目標(biāo)明確，定位準(zhǔn)確

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，要探索并證明三角形的中位線定理.此次活動(dòng)中的“三角形的中位線定理”展示課共4節(jié)，采取同課異構(gòu)的方法進(jìn)行，組委會(huì)對(duì)三角形的中位線這一展示課題的要求為要注重設(shè)置適當(dāng)?shù)膯栴}情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)值得研究的問題，借助適當(dāng)?shù)膱D形變化獲得猜想，再通過演繹推理給出證明.要讓學(xué)生經(jīng)歷完整的“發(fā)現(xiàn)問題—提出猜想—演繹推理”的過程，體現(xiàn)研究幾何問題的基本套路，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng).

本節(jié)課的三個(gè)目標(biāo)分解體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，并融合了組委會(huì)對(duì)本課題的展示要求，課時(shí)目標(biāo)分析如下.

（1）經(jīng)歷探索三角形中位線定理的過程，發(fā)展合情推理能力（這一目標(biāo)分解體現(xiàn)了能力素養(yǎng)）.

（2）證明三角形中位線定理，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展演繹推理能力（這一目標(biāo)分解體現(xiàn)了能力素養(yǎng)）.

（3）運(yùn)用三角形中位線定理解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題（這一目標(biāo)分解體現(xiàn)了能力培養(yǎng)）.

綜上可以看出，整節(jié)課的課時(shí)目標(biāo)定位于以能力素養(yǎng)為導(dǎo)向，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.

二、教學(xué)內(nèi)容解析科學(xué)合理

對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解與把握是有效教學(xué)的前提，理解教學(xué)內(nèi)容要求教師對(duì)本節(jié)課的知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法、能力培養(yǎng)加以綜合、全面的考量，確定教學(xué)的重、難點(diǎn)和關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從而以系統(tǒng)整合的思想理解并把握教學(xué)內(nèi)容及要求.本節(jié)課內(nèi)容解析突出了以下幾點(diǎn).

（1）前知基礎(chǔ)：平行線、全等三角形、平行四邊形、中心對(duì)稱.

（2）欲知：三角形中位線定理.

（3）思想：轉(zhuǎn)化思想.

（4）教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)：體現(xiàn)幾何學(xué)習(xí)特點(diǎn)，落實(shí)要讓學(xué)生經(jīng)歷完整的“發(fā)現(xiàn)問題—提出猜想—演繹推理”的過程，體現(xiàn)研究幾何問題的基本套路，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng).

（5）未來聯(lián)系與發(fā)展：相似三角形.

從內(nèi)容解析方面看，體現(xiàn)了知識(shí)間的聯(lián)系、方法思想的體現(xiàn)、內(nèi)容體系的構(gòu)建，特別是本節(jié)課的內(nèi)容是今后學(xué)生學(xué)習(xí)相似三角形后的特例，即相似比為1∶2的特例.而從圖形的性質(zhì)方面看，全等形是相似形的特例.因此，本節(jié)課的著眼點(diǎn)應(yīng)放在學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化方法的掌握上.從知識(shí)學(xué)習(xí)的發(fā)展方面看，不能過多的強(qiáng)化本節(jié)內(nèi)容知識(shí)本身，以防止功能固化.《標(biāo)準(zhǔn)》增加了“兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例”作為基本事實(shí)讓學(xué)生掌握，這就將為三角形、四邊形、多邊形等有關(guān)問題納入相似形體系奠定了基礎(chǔ).

三、教學(xué)過程體現(xiàn)了學(xué)為中心，探為方法，思維引領(lǐng)的思想

1.情境引入，問題呈現(xiàn)自然

由學(xué)生熟悉的生日蛋糕四分問題的引入，由直觀面積問題，再深入到三角形中位線問題.情境貼近學(xué)生生活，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題來源于現(xiàn)實(shí)世界的思想.

2.重視概念的提出與辨析

通過圖1、圖2，對(duì)中位線概念與已學(xué)中線概念進(jìn)行對(duì)比，突出了中位線的位置關(guān)系.這里利用圖形直觀類比三角形中線，讓學(xué)生直觀掌握一個(gè)三角形中有三條中位線，強(qiáng)調(diào)了三角形中位線位置的相對(duì)性.達(dá)到了通過辨析概念內(nèi)化定義的目的.

圖1

圖2

3.有效借助技術(shù)手段，以探究的方式積極引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想

學(xué)生能夠熟練使用電子板，教師善于使用電子智慧教室設(shè)施，為本節(jié)課的探究活動(dòng)提供了技術(shù)支撐.在課堂上開展的探究活動(dòng)應(yīng)該是有目的、有引導(dǎo)的，引導(dǎo)要有方向性，從而提高探究的針對(duì)性.本節(jié)課的執(zhí)教教師在借用技術(shù)引導(dǎo)學(xué)生開展探究活動(dòng)方面重視了以下幾方面.

（1）技術(shù)手段：平板電腦（學(xué)生人手一臺(tái)），網(wǎng)絡(luò)智慧教室及設(shè)施.

（2）探究聚焦點(diǎn)：平行與數(shù)量關(guān)系.教師注重對(duì)探究方向的引導(dǎo)，避免了學(xué)生探究的盲目性（課堂時(shí)間有限，不能盲探）.

（3）開放討論式：學(xué)生各自畫三角形及中位線進(jìn)行觀察、度量、猜想、討論.

（4）能力素養(yǎng)培養(yǎng)：學(xué)生能夠提出與三角形中位線有關(guān)的問題.

以信息技術(shù)為探究手段是本節(jié)課的一大特色，體現(xiàn)了網(wǎng)絡(luò)教學(xué)的巨大威力，這啟示我們，網(wǎng)絡(luò)教學(xué)在當(dāng)今我國(guó)數(shù)學(xué)教育教學(xué)發(fā)展中將大有可為.

4.構(gòu)建多樣轉(zhuǎn)化模型，著力提高學(xué)生的邏輯推理能力

用邏輯證明驗(yàn)證圖形轉(zhuǎn)化的合理性是本節(jié)課的重點(diǎn)與難點(diǎn)，而對(duì)不同證題模型的探究與證明將豐富并促進(jìn)學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化過程的理解，同時(shí)也為用平行四邊形性質(zhì)證明三角形中位線定理奠定了基礎(chǔ).

平行構(gòu)造轉(zhuǎn)化：CF∥AB（如圖3）.

圖3

圖4

特殊構(gòu)造：引輔助垂線（如圖4）.

推廣一般模型：分別過點(diǎn)A，B，C的三條平行線構(gòu)形，為今后將所學(xué)知識(shí)納入相似形體系奠定了基礎(chǔ).

推理能力：由三角形全等得到平行四邊形，再得到數(shù)量關(guān)系.

轉(zhuǎn)化推理：讓學(xué)生體會(huì)通過轉(zhuǎn)化，可以將中位線與第三邊建立聯(lián)系，通過推理，可以證明他們之間具有特殊的數(shù)量倍分關(guān)系.

以上模型構(gòu)形簡(jiǎn)潔，過程清晰，利于學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、證明、歸納，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的自然性與合理性，為學(xué)生下一步歸納定理奠定了基礎(chǔ).

5.歸納定理，抽象概括

通過以上探究、證明，學(xué)生抽象概括得到三角形的中位線定理.同時(shí)強(qiáng)調(diào)中位線的位置及與第三邊的數(shù)量關(guān)系.這一環(huán)節(jié)的教學(xué)體現(xiàn)了幾何教學(xué)以形定數(shù)的思想.

四、強(qiáng)化應(yīng)用，掌握定理

定理證明后，執(zhí)教教師即時(shí)安排了分層的課堂練習(xí)：①邊長(zhǎng)關(guān)系；②角度關(guān)系；③中點(diǎn)三角形遞推關(guān)系.各層次練習(xí)不斷強(qiáng)化學(xué)生應(yīng)用定理的能力.再通過沙堆問題強(qiáng)化數(shù)學(xué)的應(yīng)用思想，使知識(shí)回歸實(shí)際生活，密切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的普遍性.

五、目標(biāo)導(dǎo)向、評(píng)價(jià)反饋及時(shí)有效

為有效開展探究活動(dòng)，在本節(jié)課的教學(xué)中，執(zhí)教教師特別注意發(fā)揮目標(biāo)的導(dǎo)向與評(píng)價(jià)作用，使整節(jié)課學(xué)生的探究活動(dòng)寬泛而不亂，教學(xué)內(nèi)容深廣而不散.探有目的、觀有圖形、驗(yàn)有形象、思有判斷、練有層次，環(huán)環(huán)相扣、流程自然、形成整體、有效發(fā)揮了教學(xué)的整體效應(yīng).具體體現(xiàn)在以下方面.

（1）分組探究、討論交流、突破難點(diǎn).

（2）引出概念及時(shí)辨析.

（3）定理探究證明后，即時(shí)判斷蛋糕劃分問題，從實(shí)際中來又回到實(shí)際中去，使學(xué)生的認(rèn)識(shí)不斷提高，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有用性，明確數(shù)學(xué)并不只是枯燥無味的概念和解題.

（4）布置3個(gè)分層變式（邊長(zhǎng)關(guān)系、角度關(guān)系、形的關(guān)系）練習(xí)題，及時(shí)鞏固學(xué)生對(duì)定理的掌握情況.

（5）實(shí)際應(yīng)用沙堆寬度測(cè)量，對(duì)知識(shí)的應(yīng)用再次回到現(xiàn)實(shí)情境中，學(xué)用結(jié)合.這里通過再構(gòu)問題解決模型，強(qiáng)化定理的使用，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)及方法的理解和應(yīng)用.

（6）利用電子白板及時(shí)了解學(xué)生的解題情況，調(diào)整教學(xué).

（7）作業(yè)分層布置，針對(duì)性強(qiáng).

六、有效利用現(xiàn)代教學(xué)信息技術(shù)手段，指導(dǎo)學(xué)生開展探究活動(dòng)

技術(shù)是為教學(xué)服務(wù)的，本節(jié)課師生充分利用了現(xiàn)代教育信息技術(shù)開展教學(xué)活動(dòng)，具有以下特點(diǎn).

（1）利用硬件設(shè)施：智慧教室、多媒體、投影儀、電子白板、網(wǎng)絡(luò)等.

（2）內(nèi)容展示：動(dòng)態(tài)課件形象直觀.

（3）電子平板：師生操作技能熟練，應(yīng)用自如.

七、扎實(shí)的教學(xué)基本功，確保了教學(xué)目標(biāo)的有效達(dá)成

教師教學(xué)語言清晰、簡(jiǎn)煉，教態(tài)親切自然，板書美觀、設(shè)計(jì)合理，電子教學(xué)設(shè)施使用熟練，師生互動(dòng)融洽，學(xué)生在探究活動(dòng)過程中學(xué)習(xí)知識(shí)、體驗(yàn)方法，提高了能力，教學(xué)效果好.

八、幾點(diǎn)建議

1.重視幾何教學(xué)中的語言教學(xué)

幾何教學(xué)中應(yīng)特別注意幾何語言的教學(xué)，文字、圖形、符號(hào)是貫穿幾何教學(xué)中的重要內(nèi)容.本節(jié)課從情境到論證再到定理，整個(gè)過程都體現(xiàn)了幾何教學(xué)的特點(diǎn)，注意了實(shí)際問題與幾何圖形的聯(lián)系，重視了幾何圖形與論證的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)了定理的幾何位置與數(shù)量關(guān)系.但是在得出三角形中位線定理后的定理特征的概括理解部分，執(zhí)教教師對(duì)教學(xué)過程處理得過快，忽視了這一環(huán)節(jié)是學(xué)生對(duì)定理表征及理解的極佳時(shí)機(jī)，即通過文字、圖形、符號(hào)語言間的相互轉(zhuǎn)化來加深學(xué)生對(duì)定理的理解與掌握.文字、圖形、符號(hào)是記憶、理解、聯(lián)系、應(yīng)用的基礎(chǔ).

2.過程與結(jié)果同等重要，讓學(xué)生學(xué)會(huì)自己概括歸納

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.本節(jié)課學(xué)生經(jīng)歷了情境、探究、猜想、證明、應(yīng)用等過程.在歸納、概括的過程中，主要由師生共同完成，教師發(fā)揮了主要作用，學(xué)生的歸納、概括能力未能得到充分發(fā)揮.建議在歸納、概括環(huán)節(jié)教師還可大膽放手讓學(xué)生自我歸納猜想、自我歸納證明方法、自我評(píng)價(jià)探究過程、自我小結(jié).我們要相信對(duì)于定理的探究、證明、歸納、概括，均可由學(xué)生自主完成，讓學(xué)生充分經(jīng)歷問題提出、分析以及概括、歸納的全過程，進(jìn)而提高學(xué)生解決問題的能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.