中立時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性與H∞濾波器設(shè)計(jì)

薛麗娟，張寶琳

(中國(guó)計(jì)量大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

時(shí)滯作為物理系統(tǒng)的一個(gè)固有特性而廣泛存在于通信網(wǎng)絡(luò)、信號(hào)傳輸、鍋爐液位控制、化學(xué)化工過(guò)程以及網(wǎng)絡(luò)控制等領(lǐng)域中． 它是系統(tǒng)性能降低甚至不穩(wěn)定的主要因素之一[1]．由于很多動(dòng)力系統(tǒng)存在時(shí)滯[2]，因此時(shí)滯系統(tǒng)一直是控制領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)．信號(hào)在傳輸過(guò)程中不僅存在時(shí)滯現(xiàn)象，也會(huì)受到內(nèi)部噪聲和外來(lái)干擾的影響，導(dǎo)致接收到的測(cè)量信號(hào)與真實(shí)信號(hào)有所偏差．為了消除這種偏差，需要對(duì)測(cè)量信號(hào)進(jìn)行濾波，即對(duì)含干擾因素影響的測(cè)量信號(hào)進(jìn)行處理，盡可能得到真實(shí)信號(hào)的最優(yōu)估計(jì)值．因此，濾波在信號(hào)處理中具有重要作用．常見(jiàn)的濾波方法主要有卡爾曼濾波和H∞ 濾波．1960年，卡爾曼通過(guò)引入狀態(tài)變量和狀態(tài)空間的概念提出了卡爾曼濾波[3]．卡爾曼濾波是指從測(cè)量信號(hào)中通過(guò)遞歸算法估計(jì)出真實(shí)信號(hào)的一種濾波方法．它在控制工程、圖像處理、電力系統(tǒng)、管理科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等方面都得到了廣泛應(yīng)用．但卡爾曼濾波方法要求所研究的動(dòng)力系統(tǒng)是適定的而且外部噪聲必須是具有靜態(tài)特性的白噪聲，而這些條件在實(shí)際應(yīng)用中有時(shí)不能滿足，為了打破這種局限性，1989年，Elsayed和Grimble引入H∞ 濾波[4]概念．H∞ 濾波是通過(guò)使用測(cè)量信號(hào)來(lái)估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)而設(shè)計(jì)穩(wěn)定的濾波器且使得從干擾輸入到估計(jì)誤差輸出的H∞ 范數(shù)小于某一給定的值的一種濾波方法． 與卡爾曼濾波相比，一方面，H∞ 濾波不必獲取系統(tǒng)外部噪聲的特性，也不要求精確的數(shù)學(xué)模型，只要求系統(tǒng)的擾動(dòng)有界即可；另一方面，H∞ 濾波使得估計(jì)精度大大提高，從而很大程度上提高了系統(tǒng)的性能．在過(guò)去的二十年中，H∞ 濾波在離散Markovian 跳變時(shí)滯系統(tǒng)[5]、連續(xù)和離散的線性時(shí)滯系統(tǒng)[6-10]、模糊系統(tǒng)[11-12]和不確定時(shí)滯系統(tǒng)[13-17]等系統(tǒng)中得到了深入研究．另外，文獻(xiàn)[18]在線性時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)中提出了一種新的積分不等式，對(duì)Lyapunov導(dǎo)函數(shù)中出現(xiàn)的積分項(xiàng)進(jìn)行進(jìn)一步研究，從而獲得了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的更大時(shí)滯上界，降低了保守性．文獻(xiàn)[19]使用交互式凸組合法研究了混合時(shí)滯(分布時(shí)滯和離散時(shí)滯)不確定中立系統(tǒng)的穩(wěn)定性．對(duì)Lyapunov導(dǎo)函數(shù)使用交互式凸組合方法，給出了線性矩陣不等式形式的系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性判據(jù)．文獻(xiàn)[20]研究了線性中立時(shí)不變時(shí)滯系統(tǒng)的H∞ 濾波問(wèn)題．設(shè)計(jì)了一個(gè)Luenberger 觀測(cè)器型的H∞ 濾波器，給出了濾波器存在的一個(gè)充分條件．但文獻(xiàn)[20]研究的系統(tǒng)是時(shí)不變時(shí)滯的，而在實(shí)際工程中，許多物理過(guò)程是時(shí)變時(shí)滯的．因此本文將文獻(xiàn)[20]的思想拓展到時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)中來(lái)，設(shè)計(jì)含有時(shí)變時(shí)滯環(huán)節(jié)的H∞ 濾波器．

本文研究一類(lèi)線性中立時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的H∞ 濾波問(wèn)題．首先，給出了一個(gè)新的Lyapunov泛函，采用積分不等式方法[18]和交互式凸組合法[19]，得到了中立時(shí)滯系統(tǒng)的更低保守性時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性條件．進(jìn)而，給出了含有中立時(shí)變時(shí)滯環(huán)節(jié)的Luenberger 觀測(cè)型H∞ 濾波器的設(shè)計(jì)方法．?dāng)?shù)值例子表明，本文得到了比文獻(xiàn)[18]具有更小保守性的結(jié)果．同時(shí)，所設(shè)計(jì)的中立時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)H∞ 濾波器是可行的，有效的．

在文中，“-1”和“T”分別表示求矩陣的逆與矩陣的轉(zhuǎn)置；Rn表示n-維歐幾里得空間；Rn×m是所有n×m實(shí)矩陣的集合；P>0表示矩陣P是對(duì)稱(chēng)且正定的矩陣；“*”表示對(duì)稱(chēng)矩陣中的對(duì)稱(chēng)項(xiàng)；I是單位矩陣；0是零矩陣.

1　問(wèn)題描述

考慮如下形式的時(shí)變時(shí)滯中立系統(tǒng)：

設(shè)計(jì)如下形式的濾波器：

令

進(jìn)而，由式(1)和式(2)可得濾波誤差系統(tǒng)：

其中

(4)

本文研究中立時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)(1)的H∞ 濾波器設(shè)計(jì)問(wèn)題．通過(guò)設(shè)計(jì)濾波器參數(shù)K，使得濾波誤差系統(tǒng)(3)滿足：

條件1.當(dāng)ωt=0時(shí)，濾波誤差系統(tǒng)(3)漸近穩(wěn)定；

為分析誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性，先給出下面兩個(gè)引理．

引理1[18]：如果對(duì)于任意對(duì)稱(chēng)正定矩陣S∈Rn×n，常量a

其中

引理2[20]：如果對(duì)于任意對(duì)稱(chēng)正定矩陣M∈Rn×n，常量r1

2　主要結(jié)果

2.1　濾波誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

為得到本文的主要結(jié)果，先給出下面一組記號(hào)：

及

其中

Ψ1-Z≥0.

(10)

則濾波系統(tǒng)(3)是漸近穩(wěn)定的，其中

上式中，Ψ，Θ和P3為：

其中

證明：當(dāng)ω(t)=0時(shí)，誤差系統(tǒng)(3)可寫(xiě)為

構(gòu)造如下形式的Lyapunov泛函：

(13)

其中

(14)

(15)

(16)

(17)

令

(18)

V(t,xet)沿系統(tǒng)(3)關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)，得

(19)

其中

(20)

(21)

(22)

(23)

其中，Q=diag{Q1,0,-Q1,Q2,0,-Q2,0}．

根據(jù)引理1，得

-ζT(t)Ω1(t)ζ(t)-Ω2(t).

(24)

(25)

其中，

χ1(t)=col{φ1(t),φ2(t),φ3(t)};

χ2(t)=col{φ4(t),φ5(t),φ6(t)}.

令

ζ1(t)=col{χ1(t),χ2(t)}.

對(duì)式 (24)、(25)分別使用交互式凸組合方法[19]可得

進(jìn)而，我們有

(26)

根據(jù)引理2，得

(27)

于是，由式(20)至式(27)，得

(28)

(29)

其中

令

N=N1N2N3N4N5N6N7.

其中，N6和N7為n×n矩陣．

當(dāng)ω(t)=0時(shí)，濾波誤差系統(tǒng)(3)可寫(xiě)為：

2ζT(t)NT[A0K-IA1KF000]ζ(t)=0.

(30)

于是，由式(28)至式(30)式可得

(31)

(32)

其中

式中，

h(t)ρ4(t),h(t)ρ5(t),h(t)ρ6(t)};

令

及

其中，ei(i=1,2,…,12)表示維數(shù)為12n×12n的單位矩陣的第i行向量．

則系統(tǒng)(3)是漸近穩(wěn)定的，其中

(37)

式中，

(38)

(40)

(41)

證明：令

那么

(42)

由引理1，可得

(43)

由引理2，可得

(44)

于是，由(42)至(44)，得

(45)

2.2　濾波器設(shè)計(jì)

定理3：對(duì)于給定的h>0，γ>0，如果存在3n×3n矩陣P>0，n×n矩陣R1>0，R2>0，Q1>0，Q2>0以及n×n矩陣S1和合適維數(shù)的W，X使得下列矩陣不等式成立：

(46)

(47)

(48)

其中，

其中，Λ=WTB-XD,

Φ14=P12+WTF,Φ24=WTF，

Φ23=P12+WTA1-XC1-W，

Φ34=P22+WTF,Φ44=Q2.

K=W-TX.

(49)

證明：選取與式(13)相同的Lyapunov泛函，令

η(t)=col{ζ(t),ω(t)}.

此時(shí)，濾波誤差系統(tǒng)(3)可寫(xiě)為：

2ηT(t)ΔWΔKη(t)=0.

(50)

其中

ΔW=col{WT,WT,WT,0,0,0,0,0};

ΔK=A0K-IA1KF000BK.

令

X=WTK.

(51)

由(48)得

(52)

對(duì)式(52)兩側(cè)同時(shí)從0到∞對(duì)t積分可得

≤V(t,xet)t = 0-V(t,xet)t→∞.

因?yàn)榱愠跏紶顟B(tài)下V(t,xet)t = 0= 0，得

進(jìn)而得

定理證畢．

為了求出具有更低保守性穩(wěn)定性準(zhǔn)則的濾波器，令

h(t)8,h(t)9,h(t)10};

(55)

其中，

式中，

且

(59)

K=W-TX.

(60)

證明：令

于是，我們有

(61)

由引理1可得

(62)

由引理2得

(63)

由(3)式得

(64)

其中

令

X=WTK.

(65)

(66)

并將式(4)、(65)帶入式(66)中，得式(59)．

由式(59)、(61)至(66)，得

(67)

易知，若(56)式成立，則濾波誤差系統(tǒng)(3)當(dāng)ω(t)=0時(shí)漸近穩(wěn)定．另一方面，注意到

定理證畢．

3　仿真實(shí)例

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，給出了兩個(gè)算例．

例1.系統(tǒng)(1) 中，令[18]：

表1　d=-d1=d2取值不同時(shí)，使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的時(shí)滯h(t)的最大上界

例2.考慮系統(tǒng)(1)，系統(tǒng)參數(shù)如下：

γhH∞13．1150[-0．11570．1951]T0．52．4201[-0．36730．5557]T0．32．1390[-0．49500．9680]T0．22．1379-0．50000．1000[]T

圖1　系統(tǒng)的的狀態(tài)響應(yīng)曲線Figure 1　State response curve of system

圖2　濾波誤差曲線Figure 2　Filter Error curve

4　結(jié)　語(yǔ)

本文研究了一類(lèi)中立時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性和H∞濾波器設(shè)計(jì)問(wèn)題．通過(guò)構(gòu)建一個(gè)新的Lyapunov泛函，基于新的積分不等式和交互式凸組合法，得到了中立時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的一個(gè)充分性條件，并給出了中立時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)H∞濾波器的設(shè)計(jì)方法．仿真實(shí)例表明本文提出的方法優(yōu)于文獻(xiàn)[18]，可以得到具有更小保守性的結(jié)果；同時(shí)，所設(shè)計(jì)的中立時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)H∞濾波器是可行的，有效的．

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