讓直觀(guān)式猜想叩開(kāi)幾何證明的大門(mén)

汪彥那

[摘 要] 在數(shù)學(xué)幾何教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生自身思維過(guò)程尤為重要. 教師講解幾何題時(shí)，需要重視學(xué)生的直觀(guān)式猜想過(guò)程，即在引導(dǎo)學(xué)生猜想的同時(shí)，教會(huì)學(xué)生有效的直觀(guān)式猜想方法，并帶領(lǐng)學(xué)生用自己的直觀(guān)式猜想叩開(kāi)通往證明之路的大門(mén).

[關(guān)鍵詞] 幾何直觀(guān)；猜想；證明；合情推理

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將直觀(guān)想象列入數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)，并指出直觀(guān)想象是“分析和解決問(wèn)題的重要手段”，“是探索和形成論證思路，進(jìn)行數(shù)學(xué)推理的思維基礎(chǔ)”. 由此在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)初期，重視和發(fā)展學(xué)生的直觀(guān)能力尤為重要. 徐利治先生提出，“直觀(guān)就是借助于經(jīng)驗(yàn)、觀(guān)察、測(cè)試或類(lèi)比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對(duì)事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識(shí)”. 數(shù)學(xué)教育家波利亞的“啟發(fā)法”中的一個(gè)推理模式即“合情推理”中，曾強(qiáng)調(diào)了“猜想”的重要性，他呼吁“讓我們教猜想吧！”. 可見(jiàn)，猜想也給了證明推理以靈感，是數(shù)學(xué)探究過(guò)程中一種必不可少的能力. 若是在幾何教學(xué)活動(dòng)中，將學(xué)生的幾何直觀(guān)與在此直觀(guān)感知上的猜想相結(jié)合，并對(duì)此直觀(guān)式猜想過(guò)程予以充分重視，將其發(fā)展，無(wú)疑能使學(xué)生幾何問(wèn)題解決能力得到提升.

對(duì)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，面對(duì)有一定難度的幾何問(wèn)題，雖不能及時(shí)解決，但在觀(guān)察圖形時(shí)，即是現(xiàn)今所說(shuō)幾何直觀(guān)過(guò)程. 通過(guò)這一過(guò)程，產(chǎn)生對(duì)幾何問(wèn)題解決路徑的猜想，在頭腦中產(chǎn)生對(duì)幾何圖形的識(shí)別和把握，進(jìn)而在此幾何直觀(guān)的基礎(chǔ)上，根據(jù)所學(xué)幾何知識(shí)的積累經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行大膽的猜想. 由此，留給學(xué)生對(duì)幾何直觀(guān)感知與猜想結(jié)合的時(shí)間和機(jī)會(huì)，為幾何問(wèn)題的解決打開(kāi)思路. 同時(shí)，學(xué)生往往不敢肯定自己的猜想，更未對(duì)其進(jìn)行深入思考，最終放棄解決. 所以該過(guò)程中更重要的是，教師要充分重視學(xué)生的直觀(guān)式猜想，順其思路進(jìn)行探究和證明，并在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)給學(xué)生以正確的引導(dǎo)，教會(huì)學(xué)生直觀(guān)式猜想的有效方法，去叩開(kāi)證明的大門(mén). 整個(gè)過(guò)程即為直觀(guān)式猜想. 通過(guò)這樣一個(gè)符合學(xué)生思維方向的過(guò)程，學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己可以解決問(wèn)題，積累了經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)信心.

現(xiàn)今中學(xué)幾何證明課堂中，一部分教師注重直接教予學(xué)生證明方法或口訣，充滿(mǎn)探索樂(lè)趣的數(shù)學(xué)變得索然無(wú)味. 張奠宙先生將幾何學(xué)習(xí)分為四個(gè)過(guò)程：“直觀(guān)感知，操作確認(rèn)，思維論證，度量計(jì)算”. 他指出，中國(guó)的幾何教學(xué)常常忽略前兩個(gè)步驟，變成純粹的思維論證. 忽視了學(xué)生自身的直觀(guān)感知和猜想帶來(lái)的靈感. 尤其是對(duì)幾何基礎(chǔ)較弱的學(xué)生而言，教師直接解答的思維過(guò)程突兀且難以貫通，他們所需要的正是自身在面對(duì)一道幾何證明題時(shí)能夠獲得機(jī)會(huì)和勇氣去表達(dá)并應(yīng)用自己的直觀(guān)感知和想法，和對(duì)這種想法的肯定，最終能夠獨(dú)立解決問(wèn)題.

放下講解的粉筆，給學(xué)生以直觀(guān)

式的猜想時(shí)間和表達(dá)的機(jī)會(huì)

“全等三角形”的證明是初中學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，尤其是作輔助線(xiàn). 部分基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生面對(duì)題目一籌莫展. 無(wú)從下手的結(jié)果便是放棄，教師提筆便講解的過(guò)程枯燥無(wú)比，由此產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)的抵觸感. 要避免此等現(xiàn)象，第一步便是讀完題目之后給學(xué)生時(shí)間，對(duì)眼前的幾何圖形進(jìn)行直觀(guān)把握. 并借助以往全等三角形的相關(guān)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，大膽說(shuō)出自己的猜想，也就是：“三角形ABC和三角形EFG像是全等的”，“可能是用‘邊邊角來(lái)證明全等”，“輔助線(xiàn)可能是通過(guò)延長(zhǎng)AB”等等.

案例1 已知CE，CB分別是三角形ABC、三角形ADC的中線(xiàn)，且AB=AC，∠ACB=∠ABC，求證：CD=2CE.

分析 此問(wèn)題為利用全等三角形證明兩線(xiàn)段相等問(wèn)題，兩線(xiàn)段CD，CE不在同一直線(xiàn)上，顯然需要用到輔助線(xiàn)，將其轉(zhuǎn)化到同一條直線(xiàn)，方可進(jìn)行大小比較. 對(duì)于基礎(chǔ)較弱的同學(xué)，以往經(jīng)驗(yàn)促使他們想到需要輔助線(xiàn)才能解決該問(wèn)題，困難在于如何作輔助線(xiàn). 教師可以由此給學(xué)生幾何直觀(guān)時(shí)間，并鼓勵(lì)說(shuō)出猜想.

師：要證明CD=2CE，這可如何比較長(zhǎng)短呢？

生：兩條線(xiàn)段都沒(méi)在同一條直線(xiàn)上，可能需要添輔助線(xiàn)了.

教師通過(guò)鼓勵(lì)引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出直觀(guān)感知，給學(xué)生思考時(shí)間后，在幾何直觀(guān)的基礎(chǔ)上說(shuō)出他們的猜想.

生：題目中是CE的兩倍與CD比較，可能首先需要延長(zhǎng)CE至原來(lái)長(zhǎng)度的兩倍.

教師馬上將該想法付諸實(shí)踐，以此對(duì)學(xué)生想法以鼓勵(lì)和重視.

學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)此時(shí)只需證CF=CD.

師：咱們繼續(xù)！那要如何證明CF=CD 呢？

生：好像直接證明很困難，可能還需要輔助線(xiàn).

教師繼續(xù)鼓勵(lì)學(xué)生說(shuō)出對(duì)輔助線(xiàn)作法的猜想.

生1：“連接AF試試”，

生2：“我猜是連接FB”，

生3：“感覺(jué)應(yīng)該連接FD”

從上述過(guò)程可以看到，每一種想法都真實(shí)地反映了學(xué)生自己獨(dú)立完成這道題的難點(diǎn)，以及自然反應(yīng)，猜想與思考. 幾何證明題在他們眼里雖如同一座不可逾越的大山，但注意觀(guān)察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，他們并未停止思考，而是建構(gòu)自己的思維. 暗自以猜測(cè)的方式來(lái)揣度題目，用懷疑的語(yǔ)氣說(shuō)出自己的猜測(cè). 但從古至今往往是猜想才能帶給人們以靈感和解決問(wèn)題的方向. 作為一名教師，何不先避開(kāi)直接講解的枯燥，鼓勵(lì)學(xué)生的猜想呢. 通過(guò)這樣一個(gè)師生共同探討的過(guò)程教會(huì)學(xué)生如何根據(jù)自己的想法去突破難點(diǎn).

教會(huì)學(xué)生直觀(guān)式猜想的方法，叩

開(kāi)證明的大門(mén)

鼓勵(lì)學(xué)生拋開(kāi)畏難情緒，用心思考，并勇敢地說(shuō)出自己的直觀(guān)感知，以及在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生的猜想，已是邁出了成功的第一步，此時(shí)，作為教學(xué)的主導(dǎo)者——教師，需要緊緊抓住學(xué)生隨之涌出的解決問(wèn)題的熱情，繼續(xù)鼓勵(lì)學(xué)生勇敢向前，學(xué)會(huì)有效、合理的猜想.

顯然，學(xué)生在直觀(guān)感知后會(huì)產(chǎn)生各種各樣的猜想，并不是所有猜想都能叩開(kāi)證明的大門(mén). 僅僅是猜想，會(huì)給學(xué)生造成證明只需胡亂猜測(cè)的誤解，歪曲了猜想的意義. 教師更重要的職責(zé)在于教會(huì)學(xué)生直觀(guān)式猜想的方法. 一步一步正確引導(dǎo)并與學(xué)生共同探究猜想. 好似帶領(lǐng)學(xué)生，用自己的猜想去敲擊證明的大門(mén)，他們不禁思考：究竟怎樣的猜想才能叩開(kāi)證明的大門(mén)？為何這樣的猜想叩開(kāi)了證明的大門(mén)？有了猜想又如何去叩開(kāi)證明的大門(mén)？通過(guò)該過(guò)程，去教會(huì)學(xué)生直觀(guān)式猜想，所得到的有理、有效的猜想，方能叩開(kāi)證明的大門(mén).

教師詢(xún)問(wèn)即為學(xué)生如此作輔助線(xiàn)的原因.

生1：CE=FE，AE=EB，就會(huì)形成一對(duì)全等三角形△CEB和△FEA，可能對(duì)證明CD=CF有所幫助.

生2：我的想法也差不多，此時(shí)△CAE和△FEB全等.

生3：我猜想可能通過(guò)證明三角形CFD為等腰三角形來(lái)證明CF=CD.

通過(guò)學(xué)生對(duì)自己猜想原因的表達(dá)，來(lái)引導(dǎo)學(xué)生猜想的方式和正確方向. 領(lǐng)悟到猜想也需有根據(jù)，為叩開(kāi)證明的大門(mén)做準(zhǔn)備.

此時(shí)，教師根據(jù)學(xué)生的方法進(jìn)行證明，引導(dǎo)學(xué)生叩開(kāi)證明的大門(mén).

教師讓學(xué)生觀(guān)察第一幅圖，讓學(xué)生思考如何證明CF=CD.

學(xué)生通過(guò)之前的幾何直觀(guān)過(guò)程可以猜想到通過(guò)全等三角形來(lái)證明線(xiàn)段相等，必然是證明CF與CD所在的兩個(gè)三角形全等. 教師需要應(yīng)用學(xué)生此時(shí)對(duì)幾何圖形的直觀(guān)感受以及猜想證明△CAF？艿△DBC，思維似乎已經(jīng)是豁然開(kāi)朗了，解決問(wèn)題的信心陡然增長(zhǎng).

伴隨學(xué)生開(kāi)始出現(xiàn)的靈感和信心，繼續(xù)解決問(wèn)題關(guān)鍵：如何證明△CAF與△DBC全等. 此時(shí)，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行下一步的猜想，進(jìn)一步邁向證明的大門(mén).

對(duì)于三角形全等的證明也即是“角角邊，邊角邊，角邊角，邊邊邊”四種方法，在做題過(guò)程中考慮用哪種方法才能證明三角形全等，或者用哪種方法更容易證明三角形全等是常見(jiàn)的考察方式，也是中下水平學(xué)生的難點(diǎn). 教師在主體角色中同樣引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)對(duì)幾何圖形的直觀(guān)感知猜想哪種方法較為合理.

學(xué)生首先可以發(fā)現(xiàn)，要證明兩三角形一條對(duì)應(yīng)邊相等，首先排除方法“邊邊邊”. 其次教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)題中關(guān)于角度大小給出了一個(gè)條件，但似乎并不能直接用于證明△CAF與△DBC的全等，可以猜想到運(yùn)用“角角邊”與“角邊角”兩種方法可能較為困難. 容易想到用“邊角邊”這一個(gè)方法. 當(dāng)然即是找到余下兩組對(duì)應(yīng)邊BD與AC，BC與AF以及夾角相等，.

同樣，對(duì)于第二種猜想的作輔助線(xiàn)的方法，教師引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察發(fā)現(xiàn)要證明△CBF？艿△CBD想到用“邊角邊”的方法，且通過(guò)證明△CAE≌△FBE來(lái)證明BF=BD以及∠CBF=∠CBD.

再看如下這道幾何證明題，難度較上述例子更大. 也充分體現(xiàn)了對(duì)于中下水平學(xué)生解決這道題時(shí)，直觀(guān)式猜想對(duì)于打開(kāi)證明的思路的重要性.

案例2 等腰直角三角形ABC，∠ABC等于90°中，BA=BC，D為ABC外一點(diǎn)，AD⊥DC，AD交BC于N，連接BD，過(guò)B作BM⊥BD，交AD于M，若CD=BM，求證：AC=AB+BN.

對(duì)案例2，教師依然可以鼓勵(lì)學(xué)生觀(guān)察圖形并猜想如何通過(guò)作輔助線(xiàn)幫助證AC=AB+BN，

有學(xué)生的猜想和上述案例1一樣，通過(guò)延長(zhǎng)AB至G點(diǎn)，使得BG=BN，即直接通過(guò)題目的問(wèn)題，猜想可能所需的輔助線(xiàn)；有的學(xué)生則猜想是延長(zhǎng)BM，與AC交于點(diǎn)G.

而對(duì)于第一種方法，學(xué)生猜想到要通過(guò)證明△AGN≌△ACN來(lái)證明AG=AC，從而找到解決問(wèn)題的大致框架，打開(kāi)了證明的思路. 此外，學(xué)生證明三角形全等的過(guò)程較為困難，若通過(guò)對(duì)圖形的直觀(guān)感知，不難想到△ABM與△CBD可能為全等三角形，從而為證明△AGN≌△ACN提供了條件，以及如何猜想該用四種方法的哪一種證明全等提供了思路，成功叩開(kāi)證明的大門(mén). 可謂一環(huán)扣一環(huán)，對(duì)于基礎(chǔ)較薄弱的學(xué)生來(lái)講，這個(gè)過(guò)程妙不可言.

可以看到，何時(shí)讓學(xué)生大膽猜想；如何從幾何圖形的直觀(guān)感知篩選有用的信息；教會(huì)學(xué)生應(yīng)該如何用所得信息去猜想；根據(jù)幾何直觀(guān)，學(xué)生面對(duì)所要解決的問(wèn)題，如何充分調(diào)動(dòng)所學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)等等，都體現(xiàn)著教師教學(xué)的智慧.

反思直觀(guān)式猜想以及證明過(guò)程，

領(lǐng)悟其真正意義

從上述兩個(gè)案例不難發(fā)現(xiàn)，在整個(gè)猜想引出證明的過(guò)程中，教師的主導(dǎo)地位需得到充分發(fā)揮. 教師對(duì)于學(xué)生的引導(dǎo)也尤為重要. 值得學(xué)生和教師注意的是，直觀(guān)式猜想并不是避開(kāi)數(shù)學(xué)思維與邏輯，而進(jìn)行胡亂猜想，如此學(xué)生會(huì)產(chǎn)生這個(gè)過(guò)程存在運(yùn)氣好壞的錯(cuò)覺(jué)，且需要耗費(fèi)大量的時(shí)間. 例如，案例1中的方法3，表面看來(lái)似乎可行，但稍加斟酌可以發(fā)現(xiàn)，本題缺乏角度數(shù)以及邊長(zhǎng)等條件，要證是等腰三角形恐怕相當(dāng)困難. 如此一來(lái)，抹殺了直觀(guān)式猜想的真正意義，當(dāng)然，這樣的猜想也就未必能叩開(kāi)證明的大門(mén)了.

作為一名教師，需要思考然后教會(huì)學(xué)生做到有效的猜想，領(lǐng)悟到真正意義.

首先上述解決過(guò)程體現(xiàn)了幾種猜想的思維形式. 常見(jiàn)的即通過(guò)圖像的整體直觀(guān)感受來(lái)猜想以及經(jīng)驗(yàn)判斷，而這種猜想方式無(wú)疑與學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)掌握程度有關(guān). 作為教師首先應(yīng)確保學(xué)生知曉最基本的知識(shí)點(diǎn). 若學(xué)生未能掌握證明全等三角形的四種方法，恐怕連猜想的想法都沒(méi)有. 這就需要不斷地去培養(yǎng)學(xué)生，扎實(shí)基礎(chǔ)，積累豐富的經(jīng)驗(yàn).

其次，教師設(shè)置的情節(jié)是否恰當(dāng)合理，也會(huì)影響學(xué)生是否會(huì)產(chǎn)生有效的猜想. 教師在引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程中，何時(shí)給出時(shí)間讓學(xué)生大膽猜想也是關(guān)鍵. 例如問(wèn)題的最開(kāi)始需要學(xué)生的猜想，這是學(xué)生獨(dú)立解題思維受到阻礙時(shí)必然遇到的情形. 另外輔助線(xiàn)的完善這一步，交給學(xué)生自己猜想既是對(duì)思維能力的鍛煉，也給了學(xué)生以成就感.

最后，培養(yǎng)學(xué)生的自信心，勇于面對(duì)困難，不帶畏難情緒去認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，鼓勵(lì)他們大膽說(shuō)出自己的猜想也是教師必不可少的責(zé)任. 而教師將學(xué)生猜想及時(shí)應(yīng)用于題目的證明方法，符合學(xué)生的思維過(guò)程，給予學(xué)生以莫大的鼓勵(lì)，更是升華了猜想的真正意義.

“沒(méi)有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”，猜想并非僅僅是“發(fā)明家”的專(zhuān)屬名詞，數(shù)學(xué)的探究與學(xué)習(xí)過(guò)程同樣需要猜想. 數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展長(zhǎng)河之中，許多結(jié)論都是從猜想開(kāi)始的. 針對(duì)基礎(chǔ)薄弱或是對(duì)幾何學(xué)習(xí)失去興趣的學(xué)生，更不應(yīng)是機(jī)械地被動(dòng)地接受課本中的知識(shí)，鼓勵(lì)他們對(duì)幾何圖形直觀(guān)式猜想，予以重視并正確應(yīng)用這樣的猜想去解決問(wèn)題，逐步培養(yǎng)自主解決問(wèn)題的能力和信心，才能使學(xué)生的數(shù)學(xué)能力得到真正提升，數(shù)學(xué)教育得到更好的發(fā)展. 用直觀(guān)式猜想叩開(kāi)幾何證明的大門(mén)， 給證明以靈感，澆灌思維的花朵！