理解矢量特點(diǎn) 掌握運(yùn)算法則
——探析力的合成與分解學(xué)習(xí)策略

■浙江省義烏市第二中學(xué)　

一、一個(gè)法則

力的合成與分解的根本方法:矢量的運(yùn)算法則——平行四邊形定則。平行四邊形定則就是以表示兩個(gè)共點(diǎn)力的有向線(xiàn)段為鄰邊作一平行四邊形,該兩鄰邊之間的對(duì)角線(xiàn)即表示兩個(gè)力的合力的大小和方向。兩個(gè)確定的分力,它們的合力是唯一確定的;一個(gè)合力(確定的對(duì)角線(xiàn)),在沒(méi)有其他條件限制時(shí),可作的平行四邊形有無(wú)限多個(gè),即有無(wú)限多種分解方法。

二、兩個(gè)規(guī)律

1.力的合成規(guī)律。

如圖1所示,當(dāng)兩個(gè)共點(diǎn)力F1和F2間的夾角為θ時(shí),利用數(shù)學(xué)知識(shí)可以求得合力F的大小和方向。合力F的大小為合力F與F1間的夾角α滿(mǎn)足tanα=

圖1

(1)當(dāng)F1和F2同向,即夾角θ=0°時(shí),它們的合力最大,其大小F=F1+F2,方向與兩個(gè)力的方向相同。

(2)當(dāng)F1和F2反向,即夾角θ=180°時(shí),它們的合力最小,其大小F=|F1-F2|,方向與F1和F2中較大的力同向。

(3)當(dāng)F1和F2互相垂直,即夾角θ=90°時(shí),它們合力的大小且合力F與F1間的夾角α滿(mǎn)足

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)視頻，吸引學(xué)生的有意注意，使學(xué)生體驗(yàn)生物分類(lèi)的重要意義。這樣，學(xué)生學(xué)習(xí)到了生活常識(shí)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自信心，從而引入了新課。

(4)當(dāng)F1和F2的大小相等且它們間的夾角θ=120°時(shí),這兩個(gè)力的合力大小與F1或F2大小相等,合力F與F1、F2間的夾角均為60°。

2.力的分解規(guī)律。

在力的分解中,把一個(gè)已知力分解為兩個(gè)分力,就相當(dāng)于已知平行四邊形的對(duì)角線(xiàn),此時(shí)能作出多少個(gè)平行四邊形,這個(gè)力就可以分解為多少對(duì)大小、方向不同的分力。因此,在力的分解中,必然涉及合力的大小和方向、兩個(gè)分力的大小和方向等六個(gè)因素,當(dāng)涉及的因素越多,即限制的條件越多時(shí),其分力的對(duì)數(shù)就越少。

(1)當(dāng)力的分解涉及四個(gè)因素時(shí):①已知合力的大小和方向、兩個(gè)分力的方向時(shí),只有唯一解。②已知合力的大小和方向、一個(gè)分力的大小和方向時(shí),只有唯一解。③已知合力的方向、一個(gè)分力的大小和方向,以及另一個(gè)分力的方向時(shí),只有唯一解。④已知合力的大小和方向、兩個(gè)分力的大小。當(dāng)F=F1+F2時(shí),只有一組解;當(dāng)F＜F1+F2時(shí),有兩組解;當(dāng)F＞F1+F2時(shí),無(wú)解。⑤已知合力F的大小和方向、一個(gè)分力F1的方向及另一個(gè)分力F2的大小時(shí),作出F1、F2和F的矢量三角形圖,如圖2所示,則由于合力F和分力F2的大小關(guān)系不同,存在四種情況。Ⅰ.當(dāng)F2＜Fsinθ時(shí),無(wú) 解;Ⅱ.當(dāng)F2=Fsinθ時(shí),有唯一解;Ⅲ.當(dāng)Fsinθ＜F2＜F時(shí),有兩個(gè)解;Ⅳ.當(dāng)F＜F2時(shí),有唯一解。

圖2

(2)當(dāng)力的分解涉及三個(gè)因素時(shí):①已知合力F的大小和方向、一個(gè)分力F1的方向時(shí),有無(wú)數(shù)組解,但另一個(gè)分力F2的大小有范圍限制,即F2≥Fsinθ。②已知一個(gè)分力F1的大小和方向、合力F的方向時(shí),有無(wú)數(shù)組解,但另一個(gè)分力的大小也有范圍限制,即F2≥Fsinθ。

(3)當(dāng)力的分解涉及兩個(gè)因素時(shí):已知合力的大小和方向,其他因素?zé)o限制時(shí),將有無(wú)數(shù)組解。

在力的分解時(shí),必須按照力作用的實(shí)際效果進(jìn)行分解,從而確定兩個(gè)分力的方向,再根據(jù)平行四邊形定則作出力的分解圖,最后利用數(shù)學(xué)知識(shí)求出兩個(gè)分力。

例1如圖3所示為一曲柄壓榨機(jī)的示意圖,其中O為固定鉸鏈,桿OA與AB等長(zhǎng)。在壓榨機(jī)鉸鏈A處作用的水平力為F,OB是鉛垂線(xiàn)。如果桿和活塞的重力忽略不計(jì),在已知角α的情況下,求活塞作用在物體M上的壓力。

圖3

分析:力F的實(shí)際作用效果是對(duì)AB、AO兩桿沿桿方向產(chǎn)生擠壓作用,因此可將力F沿AB、AO方向分解為FAB、FAO,如圖4甲所示,由幾何關(guān)系得力FAB的實(shí)際作用效果是對(duì)活塞有水平向左和豎直向下的擠壓作用,因此可將力FAB沿水平方向和豎直方向分解為Fx和Fy,如圖4乙所示,由幾何關(guān)系得因?yàn)榛钊闹亓Σ挥?jì),所以活塞對(duì)物體M豎直向下的壓力大小

圖4

三、六種相互關(guān)系

合力與分力是一種等效替代關(guān)系,因此同學(xué)們必須深刻理解以下六個(gè)關(guān)系。

(1)效果相同。如果一個(gè)力產(chǎn)生的效果與某幾個(gè)力產(chǎn)生的效果相同,那么這個(gè)力就叫那幾個(gè)力的合力,而那幾個(gè)力就叫這個(gè)力的分力。合力的作用效果與分力共同作用的效果一定相同。

(2)等效替代。合力與分力之間是一種等效替代關(guān)系,且這種等效替代關(guān)系是可逆的,即有時(shí)可以用一個(gè)力(合力)來(lái)代替某幾個(gè)力(分力),而有時(shí)也可以用幾個(gè)力(分力)來(lái)代替某一個(gè)力(合力),代替前后的作用效果相同。

(3)遵守法則。求幾個(gè)力的合力的過(guò)程叫力的合成,求一個(gè)力的分力的過(guò)程叫力的分解。力的合成與分解遵循力的平行四邊形定則。當(dāng)求兩個(gè)以上的力的合力時(shí),可以先求出任意兩個(gè)力的合力,再求出這個(gè)合力與第三個(gè)力的合力,依此類(lèi)推,直至求出所有的力的合力為止。

(4)大小關(guān)系。合力可能大于任何一個(gè)分力,也可能小于任何一個(gè)分力,也可能介于兩個(gè)分力之間。當(dāng)兩個(gè)分力F1、F2的夾角θ在0°到180°之間變化時(shí),其合力F的大小變化范圍是|F1-F2|≤F≤F1+F2。

(5)相同性質(zhì)。一個(gè)分力和產(chǎn)生這個(gè)分力的合力是同性質(zhì)的力,且產(chǎn)生于同一個(gè)施力物體。

(6)存在關(guān)系。在進(jìn)行物體的受力分析時(shí),合力和分力不能并存。

例2 在醫(yī)院里常用如圖5所示裝置對(duì)小腿受傷的病人進(jìn)行牽引治療,不計(jì)滑輪組的摩擦和繩子的質(zhì)量,繩子下端所掛重物的質(zhì)量m=5kg,ab段繩子與水平方向間的夾角θ=30°,g取10N/kg。問(wèn):

圖5

(1)病人的腳所受水平方向的牽引力是多大?

(2)病人的腳和腿所受豎直向上的牽引力共是多大?

分析:(1)因?yàn)槔K子中各處與其他物體沒(méi)有結(jié)點(diǎn),所以繩子中各處的張力都等于所懸掛的重物的重力,即F=mg=50N。將ab段繩子的拉力沿水平方向和豎直方向分解,如圖6所示。在水平方向上有Fx=Fcos30°=43.3N,在豎直方向上有Fy=Fsinθ=25N,所以病人的腳所受水平方向的牽引力F牽=F+Fx=93.3N。

圖6

(2)病人的腳和腿所受豎直向上的牽引力F牽'=F+Fy=75N。

點(diǎn)評(píng):力的合成與分解知識(shí)與實(shí)際生活中的許多問(wèn)題緊密相連,求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí),首先要明確研究對(duì)象的受力情況,再根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行力的合成與分解。

跟蹤訓(xùn)練

1.如圖7所示,用一根長(zhǎng)為l的細(xì)繩一端固定在O點(diǎn),另一端懸掛質(zhì)量為m的小球A,為使細(xì)繩與豎直方向間的夾角θ=30°且繃緊,小球A處于靜止,求對(duì)小球施加的最小的力。

圖7

2.如圖8所示,放置于水平地面的三腳架上固定著一質(zhì)量為m的照相機(jī)。三腳架的三根輕質(zhì)支架等長(zhǎng),與豎直方向均成30°角,求每根支架中承受的壓力大小。

圖8

參考答案:1