三類(lèi)輔助圓在臨界問(wèn)題中的應(yīng)用

■河南省淮陽(yáng)第一高級(jí)中學(xué)　

求解帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的關(guān)鍵是正確分析出軌跡圓的臨界狀態(tài),求出相應(yīng)的臨界條件。下面就來(lái)介紹三類(lèi)輔助圓在臨界問(wèn)題中的應(yīng)用,以期對(duì)大家有所幫助。

一、利用半徑不同的放縮圓求解

當(dāng)帶電粒子的入射方向不變、質(zhì)量一定而速度大小可變(速度不變而質(zhì)量不同)時(shí),粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓心一定在表示粒子在入射點(diǎn)所受洛倫茲力的射線上,但位置不確定,畫(huà)出半徑最小(最大)的圓形軌跡,依據(jù)半徑變化將圓放大(縮小),尋找圓周與磁場(chǎng)邊界的切點(diǎn),即可發(fā)現(xiàn)“臨界點(diǎn)”。

例1 如圖1所示,勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,寬度為d,M、N為其左右邊界。一電子從左邊界垂直勻強(qiáng)磁場(chǎng)射入,入射方向與邊界的夾角為θ,已知電子的質(zhì)量為m,電荷量為e。要使電子能從磁場(chǎng)的右邊界射出,求電子速度大小的范圍。

圖1

解析:如圖2所示,當(dāng)入射速度很小時(shí)電子會(huì)在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)一段圓弧后又從同一側(cè)射出;電子的入射速率越大,電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡半徑越大,當(dāng)軌跡與邊界相切時(shí),電子恰好不能從磁場(chǎng)的右邊界射出;當(dāng)電子的入射速率大于這個(gè)臨界值時(shí),電子便從磁場(chǎng)的右邊界射出。設(shè)此時(shí)電子的速率為v0,由幾何關(guān)系得r+rcosθ=d。電子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)洛倫茲力提供向心力,則,解得r=。聯(lián)立以上各式解得所以電子能從磁場(chǎng)的右邊界射出的條件是入射速度大于

圖2

點(diǎn)評(píng):不斷放大圓的半徑,即可找出當(dāng)電子的運(yùn)動(dòng)軌跡與邊界相切時(shí),電子恰好不能從磁場(chǎng)的右邊界射出的臨界條件。

二、利用半徑相同的旋轉(zhuǎn)圓求解

當(dāng)帶電粒子的速度大小不變而入射方向不同時(shí),粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑相同,但圓心變化。先畫(huà)出粒子的某一特殊運(yùn)動(dòng)軌跡,按順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)這一軌跡,從圓的動(dòng)態(tài)變化中即可發(fā)現(xiàn)“臨界點(diǎn)”。

圖3

例2 如圖3所示,在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處有一放射源,向四周均勻發(fā)射速度大小相等、方向都平行于紙面的帶電粒子。在放射源右邊有一很薄的擋板,擋板與xOy平面交線的兩端M、N和原點(diǎn)O正好構(gòu)成等腰直角三角形。已知帶電粒子的質(zhì)量為m,帶電荷量為q,速度為v,MN的長(zhǎng)度為L(zhǎng)。

(1)若在y軸右側(cè)加一平行于x軸的勻強(qiáng)電場(chǎng),要使y軸右側(cè)所有運(yùn)動(dòng)的粒子都能打到擋板MN上,則電場(chǎng)強(qiáng)度的最小值E0為多大?當(dāng)電場(chǎng)強(qiáng)度為E0時(shí),打到擋板上的粒子的動(dòng)能為多大?

(2)若在整個(gè)空間加一方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),要使擋板右側(cè)的MN連線上都有粒子打到,則磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度不能超過(guò)多少(用m、v、q、L表示)?若滿足此條件,放射源O向外發(fā)射出的所有帶電粒子中有幾分之幾能打在擋板的左側(cè)?

圖4

解析:(1)要使y軸右側(cè)所有運(yùn)動(dòng)粒子都能打在擋板MN上,其臨界條件為沿y軸方向運(yùn)動(dòng)的粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng),且落在M或N點(diǎn)。作動(dòng)態(tài)圓如圖4所示,則MO'=,解得由動(dòng)能定理得,解得Ek=

(2)要使擋板右側(cè)的MN連線上都有粒子打到,粒子運(yùn)動(dòng)軌跡直徑的最小值為MN的長(zhǎng)度L,則,解得B=0。放射源O發(fā)射出的粒子中,打在MN連線上的粒子的臨界情況如圖5所示。因?yàn)镺M=ON,且OM⊥ON,所以O(shè)O1⊥OO2,v1⊥v2。故 放 射 源O發(fā)射出的所有帶電粒子中只有能打在擋板的左側(cè)。

圖5

點(diǎn)評(píng):因?yàn)楦鲙щ娏Ｗ拥倪\(yùn)動(dòng)軌跡半徑相等,運(yùn)動(dòng)周期相等,所以各帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心分布在以粒子源O為圓心,R為半徑的一個(gè)圓周上。

三、利用半徑相同的平行圓求解

當(dāng)帶電粒子的速度大小不變及入射方向平行,且分布在一定范圍內(nèi)時(shí),粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑一定。先畫(huà)出粒子的某一特殊運(yùn)動(dòng)軌跡,沿邊界平移這一軌跡,從圓的變化中即可發(fā)現(xiàn)“臨界點(diǎn)”。

圖6

例3 如圖6所示,有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,方向垂直于紙面向里,MN為其左邊界,磁場(chǎng)中放置一半徑為R的圓柱形金屬圓筒,圓心O到邊界MN的距離OO1=2R,圓筒軸線與磁場(chǎng)平行。圓筒用導(dǎo)線通過(guò)一個(gè)電阻r0接地,最初金屬圓筒不帶電。現(xiàn)有范圍足夠大的平行電子束以速度v0從很遠(yuǎn)處沿垂直于邊界MN向右射入磁場(chǎng)區(qū)域,已知電子的質(zhì)量為m,電荷量為e。(1)若電子的初速度滿足,則在最初圓筒上沒(méi)有帶電時(shí),能夠打到圓筒上的電子對(duì)應(yīng)邊界MN上O1兩側(cè)的范圍是多大?

(2)當(dāng)圓筒上的電荷量達(dá)到相對(duì)穩(wěn)定時(shí),測(cè)量得到通過(guò)電阻r0的電流恒為I,忽略運(yùn)動(dòng)電子間的相互作用,求此時(shí)金屬圓筒的電勢(shì)φ和電子到達(dá)圓筒時(shí)的速度v(取無(wú)窮遠(yuǎn)處或大地電勢(shì)為零)。

(3)在(2)的情況下,求金屬圓筒的發(fā)熱功率。

解析:(1)設(shè)電子進(jìn)入磁場(chǎng)后的運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為r,則,解得r=3R。大量電子從邊界MN上不同點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖7所示,從O1上方P點(diǎn)射入的電子剛好與圓筒相切,則O1O2=同理得O1下方Q點(diǎn)到O1點(diǎn)的距離

圖7

(2)當(dāng)圓筒上的電荷量達(dá)到相對(duì)穩(wěn)定時(shí),圓筒上的電荷不再增加,與地面的電勢(shì)差恒為U,則U=Ir0,電勢(shì)φ=-Ir0。電子在從很遠(yuǎn)處射到圓筒表面上的過(guò)程中,由動(dòng)能定理得,解得

點(diǎn)評(píng):求解這類(lèi)問(wèn)題需要抓住各帶電粒子的兩個(gè)特點(diǎn),一是各粒子的圓形運(yùn)動(dòng)軌跡半徑相等、運(yùn)動(dòng)周期相等,二是各粒子的圓形運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心分布在同一條直線上。