高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路探究

孫金君

(江蘇省蘇州市吳江汾湖高級(jí)中學(xué) 215200)

普遍高中數(shù)學(xué)教師認(rèn)為高中數(shù)學(xué)的解題思想方法包括兩種，一種是熟練運(yùn)用各種知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解答，另一種是能夠熟練地運(yùn)用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行解答.而函數(shù)問(wèn)題的解答正是包含了這兩種思想方法，即函數(shù)思想.

一、用函數(shù)思想解決方程式問(wèn)題

很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答都用到了方程式，高中數(shù)學(xué)常用的方程式有一元二次方程、二元一次方程等，一般能夠用方程式所解答的數(shù)學(xué)問(wèn)題都是為了解出不等式中的未知數(shù).雖然簡(jiǎn)單的方程式求解用不到函數(shù)，而且方程和函數(shù)概念之間的差異性較大，但很多函數(shù)問(wèn)題卻依附于方程進(jìn)行解答，二者之間互相利用.當(dāng)我們用一個(gè)解析式來(lái)表示函數(shù)的時(shí)候，函數(shù)可以等同于方程，例如三角函數(shù)中的余弦可以用方程y=sinx表示.所以在利用函數(shù)思想進(jìn)行解題時(shí)，把函數(shù)作為一個(gè)方程，更容易得出答案.這樣做題可以把復(fù)雜的知識(shí)簡(jiǎn)單化，達(dá)到舉一反三的目的.將函數(shù)問(wèn)題結(jié)合方程式進(jìn)行解答，方程式最后得出的未知數(shù)的解，利用函數(shù)圖象表示其實(shí)就是其中的交點(diǎn).函數(shù)和方程的結(jié)合產(chǎn)物就是函數(shù)方程，函數(shù)方程包括三角函數(shù)方程y=cosx，對(duì)數(shù)函數(shù)方程y=logax等.在解答有關(guān)函數(shù)方程問(wèn)題的過(guò)程中，大致可以分為兩種解答方法.第一種方法是針對(duì)題目類型簡(jiǎn)單的而言，可以進(jìn)行直接求解方程式的方法，但是需要認(rèn)真計(jì)算，不能馬虎，耗費(fèi)的時(shí)間較多，稍微復(fù)雜的題型就會(huì)加大難度.第二種方法是對(duì)于不能直接求解的題目而言，可以將函數(shù)方程轉(zhuǎn)換為函數(shù)圖象的方法，在解答的過(guò)程中需要對(duì)函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行分析，得出最終結(jié)果.

二、用函數(shù)思想指導(dǎo)數(shù)列問(wèn)題

高中數(shù)學(xué)的數(shù)列問(wèn)題也是一個(gè)重難點(diǎn)內(nèi)容，等差數(shù)列和等比數(shù)列的復(fù)雜化容易使學(xué)生產(chǎn)生迷惑，等差數(shù)列或是等比數(shù)列一般都是以一組按順序排列的數(shù)字為題，其中每個(gè)數(shù)字都屬于這個(gè)數(shù)列中的一個(gè)項(xiàng)，在解決高中數(shù)列的問(wèn)題時(shí)，可以把數(shù)列問(wèn)題看成項(xiàng)數(shù)的函數(shù)問(wèn)題，那么數(shù)列的通項(xiàng)公式就變成了函數(shù)公式.在解決一些復(fù)雜的高中數(shù)學(xué)數(shù)列問(wèn)題的過(guò)程中，可以把函數(shù)思想應(yīng)用到數(shù)列的問(wèn)題當(dāng)中，可以利用函數(shù)的多變化等特性，靈活運(yùn)用函數(shù)解題思想，將復(fù)雜的數(shù)列求解過(guò)程簡(jiǎn)單化，將沒(méi)有思緒的數(shù)列問(wèn)題清晰化.例如這樣一道數(shù)列題:

已知等差數(shù)列{an}中，a1+a4+a7=15，a2a4a6=45，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.因?yàn)閍1+a7=a2+a6=2a4，所以a1+a4+a7=3a4=15，所以a4=5.所以a2+a6=2a4=10且a2a6=9.所以由此可以解得a2=1，a6=9或a2=9，a6=1.如果a2=1，a6=9，那么d=2,所以an=2n-3.如果a2=9，a6=1，那么d=-2，所以an=13-2n.由此可得，an=2n-3或an=13-2n.解決此類問(wèn)題的一般過(guò)程都是以等差數(shù)列的基本性質(zhì)為依據(jù)，此題中所涉及的有關(guān)性質(zhì)為，如果m+n=p+q，那么am+an=ap+aq.但如果m+n=2p，那么am+an=2ap，m、n、p、q∈N*.通過(guò)列出有關(guān)方程或者有關(guān)方程組進(jìn)行求解，這樣的方法其實(shí)都涉及了函數(shù)中的以有知解未知的思想.

三、利用函數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)題的優(yōu)化

高中數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)問(wèn)題多之又多，而所有數(shù)學(xué)問(wèn)題的設(shè)計(jì)，彼此之間都有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，而函數(shù)思想作為一個(gè)重要的解題思想，在很多具體問(wèn)題的優(yōu)化解答中扮演著重要的角色，起到了關(guān)鍵的作用.在解決具體實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能夠?yàn)閿?shù)學(xué)問(wèn)題的解答提供更簡(jiǎn)單更系統(tǒng)的思路.數(shù)學(xué)問(wèn)題更多的是解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，生活中存在著許多變量之間的各種關(guān)系，例如駕車行駛了一段路程，那么就要考慮這段路程上的時(shí)間和速度等變量之間的關(guān)系，在生產(chǎn)上要考慮物品的價(jià)格和生產(chǎn)總數(shù)的關(guān)系，采購(gòu)問(wèn)題、人口統(tǒng)計(jì)等諸多實(shí)際問(wèn)題都涉及了函數(shù)的變量.高考的數(shù)學(xué)中的很多問(wèn)題其實(shí)都是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行改編，如果能在這樣的題型中運(yùn)用函數(shù)思想優(yōu)化問(wèn)題，那么就可以大大縮短思考問(wèn)題的時(shí)間，而且可以引導(dǎo)學(xué)生正確地解答題目.例如，在以路程為主題的問(wèn)題當(dāng)中，往往會(huì)涉及很多的變量，而我們?cè)诮獯鹇烦虇?wèn)題時(shí)，可以把總路程設(shè)為y，路程以外的速度變量或者是時(shí)間變量可以設(shè)為x，然后整合出關(guān)于y與x的函數(shù)方程問(wèn)題，讓具體的問(wèn)題變成關(guān)于函數(shù)方程的問(wèn)題進(jìn)行解答.通過(guò)數(shù)量的相互關(guān)系，建立一個(gè)基本的數(shù)學(xué)模型，然后再代入其中的數(shù)值，利用相關(guān)知識(shí)求出結(jié)果.許多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題都比較抽象，直接觀察不能得出結(jié)果，甚至沒(méi)有頭緒，在這樣的問(wèn)題解答時(shí)往往可以利用函數(shù)的圖象進(jìn)行分析，首先可以把變量關(guān)系以函數(shù)方程的形式表現(xiàn)出來(lái)，然后用函數(shù)圖象的形式描繪出來(lái)，通過(guò)函數(shù)圖象可以優(yōu)化問(wèn)題的思路.

綜上所述，高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路主要是在了解函數(shù)的性質(zhì)和概念的基礎(chǔ)之上去運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)和圖象來(lái)進(jìn)行解答數(shù)學(xué)題.要想探究出一套合理的高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路，需要數(shù)學(xué)教師為學(xué)生們講通函數(shù)的性質(zhì)，為其多列出相關(guān)的數(shù)學(xué)例題，讓學(xué)生們不斷積累解題經(jīng)驗(yàn).并且，教師還需要在此基礎(chǔ)之上去探究函數(shù)思想與其他類型數(shù)學(xué)題之間的聯(lián)系，為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的不斷開(kāi)拓做出貢獻(xiàn).

參考文獻(xiàn)：

[1]韓云霞，馬旭.淺談函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].寧夏師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2016(03)：92-95.

[2]浦佩華.高中數(shù)學(xué)解題中如何運(yùn)用函數(shù)思想[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)(高三版)，2015(05)：3-4.

[3]鄒麗麗.函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].高中數(shù)理化，2014(22)：6.