淺談數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

嚴(yán)海華

摘 要?數(shù)形結(jié)合是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合來(lái)解決問題的思想方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)中存在著廣泛的應(yīng)用。在解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，如果能恰當(dāng)、合理地把數(shù)量問題與圖形問題結(jié)合起來(lái)，就能將數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題或?qū)D形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，這樣能夠化繁為簡(jiǎn)，化難為易，化抽象為直觀，具有啟迪思維，明確解題方向的作用。

關(guān)鍵詞?數(shù)形結(jié)合思想;數(shù)形結(jié)合解題;數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2018）23-0123-01

數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的重要想法，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理解再認(rèn)識(shí)，歸納起來(lái)大致有如下幾種：方程思想、分類思想、數(shù)形結(jié)合思想、整體思想、函數(shù)思想、化歸思想等，掌握這些思想可以為進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下良好基礎(chǔ)，其中數(shù)形結(jié)合思想是一種應(yīng)用十分廣泛的數(shù)學(xué)思想，在教學(xué)中注重對(duì)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的一個(gè)重要途徑。數(shù)形結(jié)合是運(yùn)用數(shù)和形的相互關(guān)系來(lái)解決數(shù)學(xué)問題的思想方法，“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)中最基本的兩個(gè)概念，是直觀與抽象在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)。二者的有機(jī)結(jié)合，是數(shù)學(xué)魅力所在，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，可將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的幾何圖形相結(jié)合，把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)來(lái)研究問題，思路與方法便在圖形中直觀地顯示出來(lái)，以形助數(shù)，可顯現(xiàn)直觀，簡(jiǎn)化解答，往往起到事半功倍的效果。

一、數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵及地位

數(shù)與形是現(xiàn)實(shí)世界中客觀事物的抽象和反映，是數(shù)學(xué)的基石?！皵?shù)”主要指實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)和代數(shù)對(duì)象及其關(guān)系，屬于抽象思維的范疇，是人的左腦思維的產(chǎn)物;“形”主要是指幾何圖形的位置關(guān)系及其性質(zhì)，屬于形象思維的范疇，是人的右腦思維的產(chǎn)物。數(shù)形結(jié)合思想是指通過(guò)“數(shù)”、“形”之間的對(duì)應(yīng)與互助來(lái)研究問題并解決問題的思想。數(shù)形結(jié)合思想能使人充分運(yùn)用左、右腦的思維功能，相互依存，彼此激發(fā)，全面、協(xié)調(diào)、深入地發(fā)展思維能力。“形”中的一些量（如距離、角度、面積、體積等）在一定的單位制中可分別對(duì)應(yīng)一些確定的“數(shù)”，這種對(duì)應(yīng)，可使一些抽象的概念、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系借助其背景圖形的性質(zhì)，變得直觀，便于找到解決問題的思路及方法。

數(shù)形結(jié)合作為一種常見的數(shù)學(xué)方法，溝通了代數(shù)、三角、向量與幾何的內(nèi)在聯(lián)系，借助圖形直觀地研究數(shù)學(xué)問題，不僅可以加深對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解，而且還可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，數(shù)形結(jié)合，常常能為合理解決有關(guān)問題提供一條便于接受的思路，它有助于探求問題途徑、避繁就簡(jiǎn)、巧妙地得出結(jié)論，是提高解決問題能力的一種重要手段。

二、數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合的途徑有三種：以形助數(shù)，以數(shù)助形，即用代數(shù)方法研究幾何問題;數(shù)形互助。中學(xué)數(shù)學(xué)教材中處處滲透著數(shù)形結(jié)合的思想，如研究集合常借助于韋恩圖;研究不等式往往借助于數(shù)軸;研究函數(shù)的性質(zhì)，往往借助于函數(shù)的圖象;研究三角借助于單位圓和三角形等。（一）在集合中的應(yīng)用。有的數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，若以圖形幫助，則可以使數(shù)量關(guān)系明朗化，進(jìn)而找出解題方法。（二）在函數(shù)與不等式中的應(yīng)用。使用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式與函數(shù)方面的問題，常常要借助不等式的幾何意義，函數(shù)的圖象，這種思想是把數(shù)量關(guān)系與空間形式結(jié)合起來(lái)考察的一種思想，這種思想借助“數(shù)”的準(zhǔn)確性與“形”的直觀性研究問題并解決問題。

重視數(shù)形結(jié)合思想，不但能在解題時(shí)化難為易，快速解題，還能發(fā)揮想象力、創(chuàng)造力，在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)注意對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)結(jié)合思想的教學(xué)。

三、在平面幾何中的應(yīng)用

有些較難的平面幾何證明題，學(xué)生看到后往往眼花繚亂，無(wú)從下手，此時(shí)若借助代數(shù)方法，可以很快地找到解決途徑;同樣，有些比較難的代數(shù)證明題，可以根據(jù)數(shù)量關(guān)系借助平面幾何的圖形來(lái)解決。

四、在解析幾何中的應(yīng)用

坐標(biāo)系的建立，實(shí)現(xiàn)了幾何圖形代數(shù)化，同時(shí)幾何概念與幾何術(shù)語(yǔ)也進(jìn)入了代數(shù)，使抽象的代數(shù)概念有了形象而直觀的模型，某些純符號(hào)的代數(shù)表達(dá)式有了容易理解和容易把握的幾何意義，在解決問題時(shí)，聯(lián)想到有關(guān)代數(shù)式所表示的幾何意義以及相應(yīng)的直觀圖形，從而利用圖形的性質(zhì)來(lái)反映問題中的數(shù)量關(guān)系，這種代數(shù)式幾何意義的再現(xiàn)，不僅有助于解題，而且也給出了問題形象化、直觀化的目標(biāo)與方向，使得抽象問題形象化，從而有益于幾何直覺思維能力的培養(yǎng)。

五、在三角中的應(yīng)用

有些三角方面的問題，學(xué)生看到后往往無(wú)法直接得到比較好的解決方法，可以借助函數(shù)圖象，也可以與表達(dá)式的幾何意義相聯(lián)系，即常常借助三角形和單位圓來(lái)解決。

六、用數(shù)形結(jié)合思想解題時(shí)要注意的問題

（一）注意理解概念的深刻性?！皵?shù)”與“形”的轉(zhuǎn)換，是借助于一些基本知識(shí)和基本方法才能實(shí)現(xiàn)的，在轉(zhuǎn)換的過(guò)程中，若對(duì)一些基本概念理解不深刻，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)，引用不可靠的結(jié)論，錯(cuò)用幾何意義，畫出不準(zhǔn)確的圖形，就難免出錯(cuò)。

（二）注意選擇圖形的合理性。借助圖形解題，往往可以通過(guò)條件轉(zhuǎn)化，選擇不同的圖形來(lái)解題，但只有選擇最優(yōu)圖形，才能使解題更加直觀、簡(jiǎn)捷，不會(huì)出錯(cuò)。

七、數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用意識(shí)與應(yīng)用能力的培養(yǎng)

有的代數(shù)問題，可以把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題討論，有的幾何問題把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系來(lái)研究，相應(yīng)問題就會(huì)化抽象為直觀，化難為易，一些原來(lái)看似很難的問題就會(huì)迎刃而解，使問題得以簡(jiǎn)捷地解決。

著名數(shù)學(xué)家希爾伯特說(shuō)過(guò)算術(shù)記號(hào)是寫下來(lái)的圖形，幾何圖形是畫下來(lái)的公式，數(shù)與形的辯證統(tǒng)一關(guān)系，使得數(shù)形結(jié)合思想成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種基本思想，我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生善于運(yùn)用直觀圖形來(lái)分析、探索、解決數(shù)學(xué)問題的思維方法與習(xí)慣，從而形成數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用意識(shí)并增強(qiáng)應(yīng)用能力。