拔旗游戲背后數(shù)學(xué)問題的推廣及證明

孫承娟

【摘要】通過學(xué)生跟同桌玩的一個(gè)游戲，意識(shí)到這樣一個(gè)問題，可以將其抽象為數(shù)學(xué)中的博弈論問題并給出完善解答，于是經(jīng)過一段時(shí)間的演算，得出了正確結(jié)果，并將其推廣到任意整數(shù).

【關(guān)鍵詞】拔旗游戲；數(shù)學(xué)問題；推廣及證明

問題1 現(xiàn)有旗子17支，甲、乙二人每次可取1支、2支或3支，且規(guī)定取走最后一支旗子的人輸，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)策略使其中一個(gè)人贏面最大.

問題2 與問題1相同，但取走最后一支旗子的人贏，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)策略使其中一個(gè)人贏面最大.

分析 單從這兩個(gè)問題來看，問題2比問題1要稍復(fù)雜，但也容易設(shè)計(jì)出最佳策略（事實(shí)上這兩個(gè)問題都是存在必勝策略的）.先考慮問題1，注意到17是一個(gè)形如4n+1的數(shù)，而取到最后一支旗子的人將輸?shù)舯荣?，所以甲、乙?yīng)拼命使對(duì)方處在只有一支旗子可取的境地，注意到：每次可取1支、2支或3支，所以我們可以很自然地想到以下解答：

后記與反思

① 在前文的敘述中筆者給出了兩個(gè)游戲先發(fā)者存在必勝策略的充分必要條件和如何構(gòu)造取勝策略，這應(yīng)該屬于博弈論的范疇（事實(shí)上，這就是兩個(gè)簡(jiǎn)單的博弈問題）.但是問題還可以進(jìn)一步推廣，由兩人博弈推廣到n人博弈，這無疑是復(fù)雜的，就連3個(gè)人的問題都十分棘手（需要同時(shí)考慮三個(gè)人的目的與想法），就目前來看，貌似沒有通解.

② 有心的讀者可能會(huì)對(duì)比一下問題1、2推廣后的結(jié)論進(jìn)行比較，很容易發(fā)現(xiàn)二者的統(tǒng)一性，只是參與者的先后有些不同罷了.

③ 雖然這兩個(gè)游戲是存在必勝策略的，但不妨跟別人玩一玩這個(gè)游戲并使自己處在不利地位.相信你們很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)如果對(duì)手沒有意識(shí)到這個(gè)暗含的必勝策略的話，你們是有可能贏的.舉個(gè)例子：你跟你的好友玩23個(gè)旗子的問題2，你后發(fā)，根據(jù)前面的定理你是幾乎不可能贏的.“幾乎”建立在你的對(duì)手第一次沒有取3個(gè)構(gòu)造出4|m.比如，他取了2支，這就是一個(gè)取勝的良機(jī)，因?yàn)楝F(xiàn)在只剩下21支旗子了而且是你先取，接下來你理所當(dāng)然地要取1支來構(gòu)造你的對(duì)手沒有意識(shí)到的4|m，然后應(yīng)用策略[2]取勝.記住，第一次取至關(guān)重要，它有時(shí)能逆轉(zhuǎn)局面，反敗為勝.

④ 文中的定理（或策略）的證明是平凡的，沒有多大的技術(shù)含量，相信任何一個(gè)智力正常的12歲少年都可以理解，事實(shí)上，上面的問題屬于更強(qiáng)大的一個(gè)定理的一個(gè)極平凡的特例：

任意一個(gè)步數(shù)有限的智力游戲必存在一個(gè)策略使參加游戲的一方至少能保持平局.

這個(gè)定理證明比較簡(jiǎn)單，對(duì)最大步數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法即可，但是它的能量真的很大，就連國際象棋、圍棋也遵守它，只不過因其策略太復(fù)雜（圍棋有361的階乘個(gè)走法），找不到罷了.