稀薄里德伯原子氣體中的兩體糾纏?

張秦榕 王彬彬 張孟龍 嚴冬2)?

1)(長春大學理學院,材料設計與量子模擬實驗室,長春 130022)

2)(東北師范大學量子科學中心,長春 130117)

1 引 言

隨著激光冷卻和原子俘獲技術的成熟進步,在20世紀末就引起廣泛興趣的里德伯原子研究再次復蘇,截至目前已經在實驗研究和理論預言中取得了很大進步.里德伯原子指的是最外層電子被激發(fā)到主量子數(shù)n?1的高激發(fā)態(tài)原子,這類原子半徑和電偶極矩大,壽命長,具有其他中性原子沒有的特性[1].里德伯原子對外界電、磁場異常敏感,利用這個特點很容易實現(xiàn)里德伯原子的操控.原子間長程偶極-偶極相互作用使得里德伯原子成為量子信息應用中重要的物理資源.特別是偶極-偶極作用引起的偶極阻塞效應(dipole blockade effect),在量子信息處理中占有極其重要的作用[2?6].所謂偶極阻塞效應,是指偶極相互作用引起里德伯激發(fā)的能級移動,致使一定空間內其他原子的共振光學躍遷被抑制的現(xiàn)象.利用這種效應,一方面可以使光子之間引起強關聯(lián)效應,進而產生可靠的單光子源[7,8]和設計單光子器件[9,10],而這些在現(xiàn)代量子信息處理中尤為重要;另一方面還可以制備量子糾纏態(tài),同樣,量子糾纏在量子信息和量子物理中也占有核心地位.

本文研究一種特定的少體里德伯原子系統(tǒng):四個二能級原子,最高能級為里德伯態(tài),空間位置排布為正四面體.因為任意兩個原子間距均相等,所以它們之間的偶極-偶極相互作用也都相等.研究這種簡單且不失一般性的里德伯原子系統(tǒng)的性質,既允許我們拋開近似手段進行精確的數(shù)值計算,又可以在實驗室中利用超冷的稀薄原子氣體來驗證.本文主要討論四原子系統(tǒng)的原子激發(fā)與兩體糾纏的關系,不但考慮光場與原子躍遷共振的偶極阻塞機制,還把不同失諧條件下的反偶極阻塞機制的性質作為研究的重點,對比研究了穩(wěn)態(tài)、瞬態(tài)高階激發(fā)和共生糾纏的關系,分析得到實現(xiàn)較大糾纏的參數(shù)條件和可能的原子糾纏態(tài).

本文第二部分構建了理論模型,給出系統(tǒng)的哈密頓和動力學演化方程;第三部分給出了刻畫相干激發(fā)和兩體糾纏的度量手段,即里德伯原子激發(fā)概率和共生糾纏;第四部分進行數(shù)值結果的討論和分析;最后給出了簡要結論.

2 系統(tǒng)哈密頓與動力學演化方程

稀薄里德伯原子系統(tǒng),實驗室中可選用超冷Rb87原子氣體來實現(xiàn).原子樣品密度為109–1010cm?3,這時原子間平均距離可達微米量級[11].因此考慮長程偶極-偶極相互作用,完全可以用少體原子模型來描述.采用如圖1(a)所示的四原子系統(tǒng),任意兩個原子間距離相等,原子空間位置呈正四面體結構.原子為簡單的二能級結構,實驗上可以在大失諧條件下絕熱消除中間能級實現(xiàn)雙光子或者三光子躍遷來獲得有效的二能級原子[11?14]. 如圖1(b)所示,|g〉為基態(tài),|r〉為高激發(fā)的里德伯態(tài).當兩個原子同時激發(fā)到里德伯態(tài)上時,原子間存在偶極-偶極相互作用V.在激光光場相干驅動下,系統(tǒng)的哈密頓為

其中?為普朗克常數(shù),?i為拉比頻率,為單光子失諧,和分別為躍遷算符和投影算符.(1)式中前三項為單個原子與光場相互作用,而最后一項表示原子之間的偶極-偶極相互作用.

系統(tǒng)的動力學過程由原子密度矩陣ρ滿足的主方程來描述:

圖1(a)四原子系統(tǒng)中空間結構圖;(b)二能級原子能級圖Fig.1.(a)Schematic of spatial structure for the fouratom system;(b)the energy structure of the two-level atom.

對于獨立原子系綜,由于原子間不存在相互作用,因此考察單原子的光學響應就能得到整個系統(tǒng)的光學性質.而對于里德伯原子,計及原子間偶極-偶極相互作用,原子的激發(fā)行為依賴近鄰原子的存在,所以主方程所描述的問題本質上是多體問題.如果系統(tǒng)含有N個二能級原子,那么準確刻畫系統(tǒng)的Hilbert空間的維數(shù)為2N.其結果就是除了兩個原子的穩(wěn)態(tài)問題可以精確解析求解[15,16],幾個原子的情況可以通過數(shù)值精確求解以外,較一般的情況需要借助近似手段來處理,例如平均場理論[17?20]、超級原子[21?27]以及速率方程[28]等.

3 里德伯激發(fā)概率和量子糾纏的度量

在獨立原子系綜內原子間不存在量子關聯(lián),而里德伯原子系綜則不同,激發(fā)過程中偶極-偶極相互作用使得原子間產生關聯(lián),糾纏在一起.對于四原子系統(tǒng),原子激發(fā)比較復雜,需要計算幾類里德伯激發(fā)概率,它們分別是單原子激發(fā)概率(平均激發(fā)概率)、雙原子激發(fā)概率、三原子激發(fā)概率以及四原子激發(fā)概率,其中單原子、雙原子和三原子密度矩陣分別為, 這里Tr[·]為偏跡計算.通過激發(fā)概率,可以刻畫系統(tǒng)的激發(fā)性質,例如對于典型的偶極阻塞效應,共振的多原子激發(fā)被抑制,即高級激發(fā)概率

共生糾纏(concurrence)能夠很好地度量兩體糾纏,原因在于這個定義對于兩個二能級原子之間的量子糾纏度量是充分必要的,其定義如下[29?31]:

圖2 穩(wěn)態(tài)里德伯激發(fā)概率(a)Pr,(b)Prr,(c)Prrr和(d)Prrrr作為單光子失諧Δ/γ和偶極-偶極相互作用V/?的函數(shù);圖中黑色實線、藍色折線、綠色點線以及紅色點折線分別對應于Δ/V=0,1/2,1,5/4Fig.2.Steady-state Rydberg excitation probabilities(a)Pr,(b)Prr,(c)Prrr,and(d)Prrrras a function of single-photon detuning Δ/γ and dipole-dipole interaction V/?.The black solid,blue dashed,green dotted and dash-dotted curves correspond to Δ/V=0,1/2,1,5/4,respectively.

這里λi(i=1,2,3,4)是矩陣

本征值的平方根,它們按照降序排列,ρ(AB)是雙原子的密度算符,σiy(i=1,2)是泡利矩陣,記為

共生糾纏滿足0≤C≤1.C=0代表兩個原子沒有糾纏,即量子態(tài)是可分離的,例如兩個沒有相互作用的二能級原子;而C=1表示兩個原子處于最大糾纏態(tài).需要指出的是,這個定義僅僅能夠判斷糾纏的大小,不能直接判斷糾纏態(tài)類型.

4 數(shù)值結果討論與分析

從圖2可以看出,原子各階激發(fā)的參數(shù)空間存在明顯的區(qū)域分布特征.對于共振情況,當原子間相互作用足夠大時有,即原子高階激發(fā)被抑制,系統(tǒng)進入典型的偶極阻塞機制.阻塞空間內只有一個原子被激發(fā)到里德伯態(tài)上,系綜內所有原子形成強烈的糾纏整體,這時系統(tǒng)量子態(tài)具體來看,圖2(a)中黑色實線標記的就是偶極阻塞參數(shù)區(qū)域,隨著偶極-偶極作用的增強,單原子激發(fā)參數(shù)區(qū)域明顯收緊并且在時激發(fā)概率接近飽和.而非共振情況里德伯激發(fā)行為發(fā)生明顯變化.從圖2(b)–(d)可以看出,圍繞參數(shù)區(qū)域,系統(tǒng)分別產生雙原子、三原子和四原子激發(fā),這是因為一定的單光子失諧部分地補償了由于偶極-偶極相互作用引起的能級移動,導致超過一個里德伯原子的激發(fā)行為,稱之為偶極反阻塞效應[32,33].此外,高階原子激發(fā)對低階原子激發(fā)均有貢獻.具體來講,二、三和四個原子激發(fā)對單激發(fā)概率有貢獻,三、四原子激發(fā)會增大雙原子激發(fā)概率,四原子激發(fā)會提高三原子激發(fā)概率,這些信息可以從對應的參數(shù)空間獲得(見圖2藍色折線、綠色點線和紅色點折線).

除Δ/V=0,1/2,1,5/4四個參數(shù)區(qū)域以外,里德伯激發(fā)幾乎被完全抑制.這是因為失諧或者原子間相互作用過大,有限強度的激光光場不足以將單個原子激發(fā)到里德伯態(tài)上.所以要實現(xiàn)里德伯激發(fā),必須要保證足夠的激光強度.

圖3 穩(wěn)態(tài)共生糾纏C作為單光子失諧Δ/γ和偶極-偶極相互作用V/?的函數(shù),其他參數(shù)和四類曲線與圖2一致Fig.3.Steady-state concurrence C as a function of single-photon detuning Δ/γ and dipole-dipole interaction V/?.Other parameters and four kinds of curves are the same as in Fig.2.

與原子激發(fā)行為相對應,下面討論相同參數(shù)空間的穩(wěn)態(tài)糾纏性質.從圖3可以清楚地看到,量子糾纏僅存在于里德伯原子的各階激發(fā)參數(shù)范圍.在激發(fā)概率為零的地方,根本不存在量子糾纏.這意味著要想實現(xiàn)糾纏,至少要激發(fā)一個原子到里德伯態(tài)上才能觸發(fā)偶極-偶極相互作用.此外,最大糾纏集中在偶極阻塞區(qū)域,由其量子態(tài)亦可看出,只有一個原子被激發(fā)的四體系統(tǒng)是一個強糾纏的量子系統(tǒng).

下面詳細討論穩(wěn)態(tài)糾纏、激發(fā)與原子間相互作用的關系.由圖4(a)中黑色實線可以看出,在偶極阻塞條件下,當V/?≤2時原子間不存在糾纏,這是因為原子間偶極-偶極作用較弱,此時與獨立原子類似,每個原子都有較高的概率激發(fā),所以原子間不能很好地糾纏.而當V增大,高階激發(fā)被逐漸抑制,其結果是平均激發(fā)概率降低,只保證一個原子激發(fā),因此系統(tǒng)逐漸進入關聯(lián)狀態(tài),糾纏產生并隨著偶極阻塞效應的增強而增強,當里德伯原子的多激發(fā)被完全抑制,系統(tǒng)進入嚴格的偶極阻塞機制,糾纏和激發(fā)隨之趨于飽和狀態(tài).而對于偶極反阻塞機制(圖4(a)藍色折線、綠色點線和紅色點折線)的情況,當V/?≤3時,也有與偶極阻塞機制類似的性質,因此不存在糾纏.隨著偶極-偶極作用逐漸增大,量子糾纏達到最大值,繼續(xù)增大,量子糾纏會減弱直至消失(藍折線也符合這個特點,只是圖4(a)中沒有體現(xiàn)出來,V/?＞30就能看到這個特點).在偶極反阻塞效應中,盡管偶極-偶極相互作用V與失諧Δ的比例保持一致,但是由于對原子激發(fā)的作用不同,因此它們之間的具有競爭和合作關系決定著糾纏大小,當V(Δ)較小時,失諧Δ在一定程度上補償了偶極-偶極相互作用V帶來的能級移動,因此里德伯原子激發(fā)得到增強從而促進量子糾纏,當兩者都很大時,失諧Δ和V都在一定程度上降低了單原子激發(fā),而且補償?shù)哪芗壱苿訋淼男Ч⒉蛔愕?因此最后原子激發(fā)被完全抑制,所以量子糾纏消失.

圖4(a)穩(wěn)態(tài)共生糾纏C和(b)里德伯激發(fā)概率作為偶極-偶極相互作用V/?的函數(shù)(黑色實線、藍色折線、綠色點線以及紅色點折線分別對應于Δ/V=0,1/2,1,5/4)Fig.4.(a)Steady-state concurrence C and(b)Rydberg excitation probabilities as a function of dipole-dipole interaction V/?.The black solid,blue dashed,green dotted and dash-dotted curves in(a)correspond to Δ/V=0,1/2,1,5/4,respectively.

圖5(a)穩(wěn)態(tài)共生糾纏C和(b)里德伯激發(fā)概率作為失諧Δ/γ的函數(shù),其中偶極-偶極相互作用V/?=5Fig.5.(a)Steady-state concurrence C and(b)Rydberg excitation probabilities as a function of single-photon detuning Δ/γ with dipole-dipole interaction V/? =5.

圖6(a)共生糾纏C和(b)單原子激發(fā)概率Pr的時間演化曲線(黑色實線、藍色折線、綠色點線以及紅色點折線分別對應于Δ/V=0,1/2,1,5/4的情況,其中偶極-偶極相互作用V/? =5)Fig.6.(a)Time evolution of concurrence C and(b)single-atom excitation probability Prwith dipole-dipole interaction V/?=5.The black solid,blue dashed,green dotted and dash-dotted curves correspond to Δ/V=0,1/2,1,5/4,respectively.

進一步討論穩(wěn)態(tài)糾纏、激發(fā)與單光子失諧的關系.從圖5可以看出,當V/?=5時糾纏最大值出現(xiàn)在共振點,這正對應偶極阻塞效應.與獨立原子系綜不同,激發(fā)概率最大值會偏離共振點,這是因為偶極-偶極相互作用補償正、負失諧的結果不同,導致差異化的原子激發(fā)行為.此外,還可以說明單原子激發(fā)概率與共生糾纏行為并沒有嚴格的對應關系.

保持原子間偶極-偶極相互作用不變,討論兩種激發(fā)機制下對應的糾纏和激發(fā)概率的動力學演化.選取V/?=5意味著偶極-偶極相互作用強度中等,這樣能夠更好地觀察系統(tǒng)的動力學演化.如圖6(a)所示,初始時刻沒有原子激發(fā),所以糾纏也不存在.隨著里德伯原子的激發(fā),幾乎所有原子都參與相互作用過程,因此糾纏逐漸增加并做集體拉比振蕩,共振情況(偶極阻塞機制)下集體拉比振蕩頻率正比于,而失諧情況(偶極反阻塞機制)振蕩頻率高于共振情況,失諧越大,振蕩頻率越大,在γt≥3系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài).共振情況的糾纏峰值和穩(wěn)態(tài)值均大于非共振情況,這與前面的提到的穩(wěn)態(tài)結果一致.從圖6(b)可以看出Δ/V=1/2時原子激發(fā)概率最大,這與穩(wěn)態(tài)結果一致,也是失諧補償了能級移動的結果.但是對應的糾纏卻沒有共振情況大,原因在于前者接近單激發(fā)集體態(tài)而后者則接近雙激發(fā)集體態(tài)的原因. 對于失諧更大的反阻塞機制(Δ/V=1,5/4),單原子激發(fā)得不到滿足,所以糾纏自然就很小,失諧越大,糾纏的峰值和穩(wěn)態(tài)值就越小.

實驗上可以選擇三能級梯形結構Rb87原子,基態(tài)、中間激發(fā)態(tài)以及最高能級分別為和60S1/2, 一方面讓的躍遷為大失諧,另一方面保持經到里德伯能級60S1/2的躍遷為雙光子共振,即采取雙光子激發(fā)方案,這樣原子可以等效為二能級原子.進而通過樣品中原子間平均距離來測算原子間的范德瓦耳斯勢V=?C6/R6,其中C6和R分別為范德瓦耳斯系數(shù)和原子間距.再調整大失諧獲得有效的拉比頻率,使得V/?和Δ/γ的數(shù)值滿足研究的參數(shù)范圍.最后,測量里德伯原子的激發(fā)概率和測算共生糾纏的大小.

5 結 論

本文討論了稀薄氣體中的量子糾纏和里德伯激發(fā)性質.以空間排布為正四面體的少體原子系綜為模型,同時計及原子間偶極-偶極相互作用.通過精確的數(shù)值計算來考察系統(tǒng)在偶極阻塞和反阻塞機制下的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)動力學性質.結果表明,里德伯激發(fā)決定著量子糾纏,無論是穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài),偶極阻塞機制下的共生糾纏度都是最大.進一步考察高階激發(fā)過程,分析了兩種機制下的糾纏類型并給出物理解釋.

[1]Gallagher T F 1994 Rydberg Atoms(Cambridge:Cambridge University Press)

[2]Saffman M,Walker T G,M?lmer K 2010 Rev.Mod.Phys.82 2313

[3]Comparat D,Pillet P 2010 J.Opt.Soc.Am.B 27 A208

[4]Jaksch D,Cirac J I,Zoller P,Rolston S L,C?té R,Lukin M D 2000 Phys.Rev.Lett.85 2208

[5]Lukin M D,Fleischhauer M,C?té R,Duan L M,Jaksch D,Cirac J I,Zoller P 2001 Phys.Rev.Lett.87 037901

[6]Tong D,Farooqi S M,Stanojevic J,Krishnan S,Zhang Y P,C?té R,Eyler E E,Gould P L 2004 Phys.Rev.Lett.93 063001

[7]Porras D,Cirac J I 2008 Phys.Rev.A 78 053816

[8]Pedersen L H,M?lmer K 2009 Phys.Rev.A 79 012320

[9]Gorniaczyk H,Tresp C,Schmidt J,Fedder H,Hofferberth S 2014 Phys.Rev.Lett.113 053601

[10]Tiarks D,Baur S,Schneider K,Dürr S,Rempe G 2014 Phys.Rev.Lett.113 053602

[11]Pritchard J D,Maxwell D,Gauguet A,Weatherill K J,Jones M P A,Adams C S 2010 Phys.Rev.Lett.105 193603

[12]Vogt T,Viteau M,Zhao J,Chotia A,Comparat D,Pillet P 2006 Phys.Rev.Lett.97 083003

[13]Ye S,Zhang X,Dunning F B,Yoshida S,Hiller M,Burgd?rfer J 2014 Phys.Rev.A 90 013401

[14]Labuhn H,Barredo D,Ravets S,de Léséleuc S,Macrì T,Lahaye T,Browaeys A 2016 Nature 534 667

[15]Gillet J,Agarwal G S,Bastin T 2010 Phys.Rev.A 81 013837

[16]Fan C H,Yan D,Liu Y M,Wu J H 2017 J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys.50 115501

[17]Lee T E,H?ffner H,Cross M C 2011 Phys.Rev.A 84 031402

[18]Lee T E,H?ffner H,Cross M C 2012 Phys.Rev.Lett.108 023602

[19]?ibali N,Wade C G,Adams C S,Weatherill K J,Pohl T 2016 Phys.Rev.A 94 011401

[20]Dauphin A,Müller M,Martin-Delgado M A 2016 Phys.Rev.A 93 043611

[21]Petrosyan D,Otterbach J,Fleischhauer M 2011 Phys.Rev.Lett.107 213601

[22]Yan D,Liu Y M,Bao Q Q,Fu C B,Wu J H 2012 Phys.Rev.A 86 023828

[23]G?rttner M,Whitlock S,Sch?nleber D W,Evers J 2014 Phys.Rev.Lett.113 233002

[24]Carmele A,Vogell B,Stannigel K,Zoller P 2014 New J.Phys.16 063042

[25]Weber T M,H?ning M,Niederprüm T,Manthey T,Thomas O,Guarrera V,Fleischhauer M,Barontini G,Ott H 2015 Nat.Phys.11 157

[26]Zeiher J,Schau? P,Hild S,Macrì T,Bloch I,Gross C 2015 Phys.Rev.X 5 031015

[27]Liu Y M,Tian X D,Wang X,Yan D,Wu J H 2016 Opt.Lett.41 408

[28]Ates C,Pohl T,Pattard T,Rost J M 2007 Phys.Rev.A 76 013413

[29]Hill S,Wootters W K 1997 Phys.Rev.Lett.78 5022

[30]Wootters W K 1998 Phys.Rev.Lett.80 2245

[31]Yan D,Song L J 2010 Acta Phys.Sin.59 6832(in Chinese)[嚴冬,宋立軍 2010物理學報 59 6832]

[32]Ates C,Pohl T,Pattard T,Rost J M 2007 Phys.Rev.Lett.98 023002

[33]Amthor T,Giese C,Hofmann C S,Weidemüller M 2010 Phys.Rev.Lett.104 013001

[34]Honer J,L?w R,Weimer H,Pfau T,Büchler H P 2011 Phys.Rev.Lett.107 093601