全國卷壓軸題中含參數(shù)不等式問題的兩種解法

郝安軍

陜西安康市江北高級中學(xué) (725000)

含參數(shù)不等式問題是歷年高考考查的熱點(diǎn)、難點(diǎn).下面就2016年全國課標(biāo)卷Ⅱ文科數(shù)學(xué)第20題及2017年全國課標(biāo)卷Ⅱ文科數(shù)學(xué)21題闡述這類試題解答的兩種方法；參數(shù)和變量分離法(簡稱參變分離)及數(shù)形結(jié)合法.

(2017年全國卷文科Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

(2)解法一數(shù)形結(jié)合法

圖1

f(x)=(1-x2)ex,f′(x)=(1-2x-x2)ex,而f″(x)=ex(-1-4x-x2),當(dāng)x≥0,f″(x)≤0,所以f(x)在區(qū)間上是凸函數(shù)，由第一問可作出y=f(x)的圖像，如圖1.

f(x)≤ax+1可轉(zhuǎn)化為y=f(x)和y=ax+1,當(dāng)x≥0時(shí)，y=f(x)在y=ax+1圖像的下方，函數(shù)y=f(x)和y=ax+1都過點(diǎn)A(0,1)，直線y=ax+1與函數(shù)f(x)=(1-x2)ex極限位置是直線和曲線相切時(shí)，f′(x)=(1-2x-x2)ex.由f′(1)=1,則直線斜率a=1,由圖可知a≥1.

方法二參變分離

當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=(1-x2)ex≤ax+1,即1≤0·a+1,此時(shí)a∈R;

(2016年全國課標(biāo)卷Ⅱ文科數(shù)學(xué)20題)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).

(Ⅰ)當(dāng)a=4時(shí)，求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程；

(Ⅱ)若當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f(x)>0，求a的取值范圍.

(Ⅱ)(方法一)數(shù)形結(jié)合(分離直線).

f(x)>0,則有(x+1)lnx>a(x-1),令h(x)

圖2

直線y=a(x-1)應(yīng)在函數(shù)h(x)=(x+1)lnx下方,在(1,0)處相切時(shí)a取得最大值,h′(1)=2,所以a≤2,則a的取值范圍(-∞,2].

(方法二)參變量分離.