極端事件的重現(xiàn)間隔和風險估計

張 馳，王 飛

（東南大學 經(jīng)濟管理學院，南京 211102）

0 引言

極端事件是指量級顯著超過平均值的事件，與一般事件不同，極端事件發(fā)生的概率較低，但產(chǎn)生的影響巨大[1]。在很長一段時間內，極端事件通常被認為是自發(fā)性的，即相互之間互不影響。然而，越來越多的研究表明，極端事件的發(fā)生并非互相獨立。相反，極端事件之間相互聚集，如氣溫異常、暴雨連降和金融市場中價格劇烈波動均集中在較短的時間區(qū)間內。在金融市場中，極端事件發(fā)生的頻率要高于正態(tài)分布并帶有復雜特征，投資者很難通過分散投資使自己保持完全對沖狀態(tài)[2]。極端事件的發(fā)生也會對市場造成巨大傷害，市場動蕩嚴重時國家經(jīng)濟的正常運行也會受到影響。因此，了解極端事件的特征對市場管理和風險控制都至關重要。在時間序列分析中，極端事件一直是重要的研究問題，然而，極端事件發(fā)生的低概率使得數(shù)據(jù)不足以支撐從統(tǒng)計學意義上對其進行研究[3]。為了解決數(shù)據(jù)不足問題，本文使用重現(xiàn)間隔方法進行分析。

重現(xiàn)間隔是指發(fā)生在兩個連續(xù)極端事件之間的時間間隔。目前，重現(xiàn)間隔分析已被廣泛應用于諸多系統(tǒng)的時間序列中[4-6]。近年來，大量的金融時間序列數(shù)據(jù)的產(chǎn)生使得能夠通過重現(xiàn)間隔分析對金融市場的極端事件進行相對準確的分析。通過研究金融市場極端事件之間的重現(xiàn)間隔，能夠更好地理解金融市場的波動特征和進行風險估計。從2015年開始，中國股市經(jīng)歷了金融危機之后不曾有過的劇烈波動，價格的大幅波動為使用重現(xiàn)間隔分析方法提供了大量數(shù)據(jù)，通過對數(shù)據(jù)進行分析，市場和政府可以預測此類波動是否會再次發(fā)生。因此，不同幅度波動之間的時間間隔也成為了市場和政府關心的內容。波動之間是否具有相關性，對短期和長期時間范圍內的其他波動如何影響？能否通過已經(jīng)發(fā)生的波動對未來波動發(fā)生的時間和幅度做出預測？波動如何幫助風險度量？通過研究波動之間的重現(xiàn)間隔，可以為了解中國股市提供重要的學術價值和指導意義。本文以中證500股指期貨為例，研究股市的波動規(guī)律。

1 模型設計與數(shù)據(jù)描述

1.1 模型設計

重現(xiàn)間隔τ是指給定某一閾值q時，低于（或超過）閾值的兩個連續(xù)的波動之間的等待時間。假設t時刻波動幅度大于q，由于此處q為負值，因此有R(t)＜q。則重現(xiàn)間隔可以表示為：

其中,t、t'代表時刻，R(t')為標準化處理過后的波動序列。重現(xiàn)間隔分析則是針對重現(xiàn)間隔τ所包含的性質進行研究的過程。

1.2 數(shù)據(jù)描述

中證500股指期貨合約標的為中證指數(shù)有限公司編制和發(fā)布的中證500指數(shù)，交易代碼為IC。中證500股指期貨合約仿真交易自2014年3月21日開始，合約交割月份分別為交易當月起連續(xù)的兩個月份，以及三月、六月、九月、十二月中兩個連續(xù)的季月，共四期，同時掛牌交易。

中證500股指期貨交易采用集合競價和連續(xù)競價兩種交易方式。集合競價時間為每個交易日9:10—9:15，其中9:10—9:14為指令申報時間，9:14—9:15為指令撮合時間。連續(xù)競價時間為每個交易日9:15—11:30（第一節(jié)）和13:00—15:15（第二節(jié)），最后交易日連續(xù)競價時間為9:15—11:30（第一節(jié)）和13:00—15:00（第二節(jié)）。

本文中，中證500股指期貨價格數(shù)據(jù)來自于通達信數(shù)據(jù)庫，樣本周期始于2014年5月19日，終于2016年10月31日，去除周末以及節(jié)假日，最終樣本包括97501條數(shù)據(jù)。隨后對價格序列取對數(shù)并做一階差分處理，即，其中 p(t)是在第t分鐘時股指期貨的價格。由于使用的是1分鐘高頻數(shù)據(jù)，因此?t取1，取對數(shù)并一階差分處理之后的時間序列見圖1。圖1中清晰地顯示出了存在波動聚集的現(xiàn)象，說明存在長期相關性。其統(tǒng)計學特征見表1。

圖1 中證500股指期貨對數(shù)一階差分值

表1 中證500股指期貨對數(shù)一階差分值的統(tǒng)計學特征

2 實證分析

2.1 經(jīng)驗概率分布

首先對r(t)進行標準化處理：

中證500股指期貨波動的重現(xiàn)間隔的概率密度函數(shù)使用廣延指數(shù)函數(shù)進行擬合[7，8]，其中是給定閾值q時的重現(xiàn)間隔均值，其余參數(shù)通過最大似然法進行估計，結果見表2。

表2 拉伸式指數(shù)函數(shù)參數(shù)估計

圖2顯示了不同閾值q下波動重現(xiàn)間隔τ的經(jīng)驗概率分布Pq(τ)。隨著閾值|q|的上升，重現(xiàn)間隔中長間隔的數(shù)量增加而短間隔的數(shù)量減少，這意味著愈加劇烈的波動，兩次波動之間時間間隔長度更有可能增加而不是減小。從圖2中還可以看出，雖然閾值不同，但每個閾值的重現(xiàn)間隔的概率密度函數(shù)擬合曲線卻有著相似的形狀。因此，重現(xiàn)間隔τ的概率分布函數(shù)之間是否存在可能的標度行為也就成為了本文關心的重點。

圖2 中證500股指期貨波動重現(xiàn)間隔概率密度分布

根據(jù) Yamasaki[9]的研究，本文使用標度重現(xiàn)間隔 τ/進行研究，且標度重現(xiàn)間隔的概率分布服從其中為平均重現(xiàn)間隔，當閾值 q 不同時，也會隨之變化，且有，說明隨著波動幅度的加劇，重現(xiàn)間隔的平均時長也會增加，這也和事實相符。如果函數(shù)獨立于 q，那么將存在單一函數(shù) f(x)，使得對于不同的閾值q有，即標度重現(xiàn)間隔的概率分布會向單一曲線收斂且重現(xiàn)間隔具有標度行為。為了檢驗這一點，本文在圖3中列出了作為函數(shù)的散點圖。從圖3中可以清楚地看出，對于不同的閾值并未向同一條曲線收斂。也說明此處重復間隔并不具有標度行為，無法通過標度處理使得可以根據(jù)小波動行為推測出大波動行為。

圖3 中證500股指期貨波動重現(xiàn)間隔的標度概率密度分布

2.2 記憶效應

2.2.1 短期相關性

為了研究重現(xiàn)間隔的短期相關性，本文首先分析條件概率密度分布函數(shù)，是指給定閾值q時，在重復間隔τ0之后出現(xiàn)重復間隔τ的概率。如果重現(xiàn)間隔中不存在短期相關性，則獨立于τ0。為了得到更好的數(shù)據(jù)，本文并不選擇單一數(shù)值的τ0進行研究，而是針對某一范圍的τ0進行分析。

對于給定的閾值q，將其重現(xiàn)間隔按照遞增序列進行排列，得到集合Q，將集合Q分為大小相同的四個子集，,且。則重現(xiàn)間隔最小的1/4集中在Q1中而最大的1/4集中在Q4。本文估計了條件概率密度函數(shù)，如果重現(xiàn)間隔之間不存在短期相關性，則可以得出

圖4 中證500股指期貨波動重現(xiàn)間隔條件概率密度函數(shù)Pq(τ|τ0)

2.2.2 長期相關性

為了研究重現(xiàn)間隔中可能存在的長期相關性，本文采用消除趨勢波動分析法（Detrended fluctuation analysis）進行研究[10]。Chen和Hu[11,12]的研究表明，消除趨勢波動分析法是檢驗時間序列是否存在長期相關性的有效方法。DFA通過計算消除趨勢波動函數(shù)F(s)進行判別，其中s是時間單位，并且F(s)與s滿足冪律關系，即F(s)～sH。H為Hurst指數(shù)，如果H＞0.5，說明序列存在長期相關性；如果H=0.5，則說明序列不存在長期相關性。圖5在雙對數(shù)坐標系中給出了F(s)的擬合情況，可以看出F(s)與s滿足F(s)～sH關系，而Hurst指數(shù)可以通過估計擬合曲線的斜率獲得，參數(shù)估計結果見表3。表3的結果顯示，每一條擬合曲線的Hurst指數(shù)均大于0.5，說明重現(xiàn)間隔之間存在長期相關性，也證實了在中證500股指期貨的高頻數(shù)據(jù)中存在長期相關性。

圖5 消除趨勢波動函數(shù)擬合情況

表3 Hurst參數(shù)估計結果

2.3 風險估計

圖6顯示了Wq(1|t)與t的函數(shù)關系，散點部分為實際計算值，實線部分為理論計算值。從散點部分可以看出，隨著t從1增加到60時間單位內，Wq(1|t)呈緩慢下降趨勢，符合之前內容和所驗證的存在長期相關性這一事實。給定某一閾值q，即可計算極端事件再次發(fā)生的概率。在實線部分，可以看出當t較大時，理論值與實際值更加接近。t愈大，差異愈小，這說明風險函數(shù)Wq(?t|t)的理論計算值在短時期內會高估風險。

圖6 Wq(1|t)理論值(實線)和實際計算值(散點標志)

在金融市場中，風險的常用指標為VaR（在險價值），因此本文使用重現(xiàn)間隔分析中的損失概率密度函數(shù)對VaR進行估計。VaR公式為，其中q為損失水平，P*為損失概率，P(R)是標準化序列R(t)的概率密度函數(shù)。在上文中，由于將平均重現(xiàn)間隔定義為，Nq是低于q的重現(xiàn)間隔的數(shù)量，因此約等于R(t)中的樣本總數(shù)，Nq+1等于R(t)＜q樣本的數(shù)量，因此可以得出平均重現(xiàn)間隔和VaR之間的函數(shù)關系，這意味著定義了風險水平q損失概率。圖7為半對數(shù)坐標軸散點圖。如果投資者想知道損失概率為1%時所對應的風險程度時，可以找到=1%所對應q值，即是所求的VaR值。

圖7 中證500股指期貨極端事件平均重現(xiàn)間隔和閉值絕對值的函數(shù)關系

3 結論

本文對中證500股指期貨時間序列在低于不同閾值時，波動之間的重現(xiàn)間隔特征進行研究，以期進一步理解金融市場的大幅波動行為，本文主要研究了重現(xiàn)間隔的概率分布和記憶效應。通過研究，首先發(fā)現(xiàn)在不同閾值情況下，重現(xiàn)間隔的概率密度函數(shù)服從廣延指數(shù)函數(shù)分布，但是不同閾值下概率分布函數(shù)之間不存在標度行為，無法通過標度處理以單一函數(shù)形式表示。其次，對重現(xiàn)間隔分別使用條件概率密度函數(shù)和消除波動趨勢分析發(fā)現(xiàn)重現(xiàn)間隔之間存在短期和長期相關性，與觀察到的波動之間相互集聚這一事實相符。最后，構建風險函數(shù)對中證500股指期貨進行了風險估計，提供了相對準確的風險估計，風險函數(shù)Wq(?t|t)的理論值和實際值隨著時間增加愈加接近，隨后建立了損失概率和VaR之間的關系。后續(xù)分析可以通過獲取多個目標期貨的數(shù)據(jù)進行相關性研究以及擴展樣本期間繼續(xù)完善，以幫助投資者更好地進行風險評估。

[1]Bogachev M I,Bunde A.Memory Effects in the Statistics of Interoc?currence Times Between Large Returns in Financial Records[J].Phys?ical Review E Statistical Nonlinear&Soft Matter Physics,2008,(78).

[2]Sornette D.Why Stock Markets Crash[M].New Jersey：Princeton Uni?versity Press,2009.

[3]Kotz S,Nadarajah S.Extreme Value Distributions[M].London：Imperi?al College Press,2000.

[4]Bunde A,Eichner J F,Kantelhardt J W,et al.Long-term Memory:A Natural Mechanism for the Clustering of Extreme Events and Anoma?lous Residual Times in Climate Records[J].Physical Review Letters,2005,94(4).

[5]Saichev A,Sornette D.“Universal”Distribution of Interearthquake Times Explained[J].Physical Review Letters,2006,97(7).

[6]Liu C,Jiang Z Q,Ren F,et al.Scaling and Memory in the Return In?tervals of Energy Dissipation Rate in Three-dimensional Fully Devel?oped Turbulence[J].Physical Review E Statistical Nonlinear&Soft Matter Physics,2009,80(2).

[7]Xie W J,Jiang Z Q,Zhou W X.Extreme Value Statistics and Recur?rence Intervals of NYMEX Energy Futures Volatility[J].Economic Modelling,2014,36(1).

[8]Suo Y Y,Wang D H,Li S P.Risk Estimation of CSI 300 Index Spot and Futures in China from a New Perspective[J].Economic Model?ling,2015,(49).

[9]Yamasaki K,Muchnik L,Havlin S,et al.Scaling and Memory in Vola?tility Return Intervals in Financial Markets[J].Proceedings of the Na?tional Academy of Sciences of the United States of America,2005,102(26).

[10]Peng C K,Buldyrev S V,Havlin S,et al.Mosaic organization of DNA Nucleotides[J].Physical Review E Statistical Physics Plasmas Flu?ids&Related Interdisciplinary Topics,1994,49(2).

[11]Chen Z,Pch I,Hu K,et al.Effect of Nonstationarities on Detrended Fluctuation Analysis[J].Physical Review E Statistical Nonlinear&Soft Matter Physics,2002,65(1).

[12]Hu K,Ivanov P C,Chen Z,et al.Effect of Trends on Detrended Fluc?tuation Analysis[J].Physical Review E Statistical Nonlinear&Soft Matter Physics,2001,64(1).

[13]Bogachev M I,Eichner J F,Bunde A.Effect of Nonlinear Correla?tions on the Statistics of Return Intervals in Multifractal Data Sets[J].Physical Review Letters,2007,99(24).