非高斯隨機分布系統(tǒng)自適應控制算法的研究

屈毅+穆麗寧+賴展翅

摘 要： 針對非高斯隨機分布系統(tǒng)的追蹤控制問題，在建立系統(tǒng)動、靜態(tài)數學模型的基礎上，提出自自適應調整控制方法，并給出該算法的實現步驟。通過分析可知，該算法能夠實現系統(tǒng)輸出概率密度函數追蹤目標概率密度函數，并滿足規(guī)定的保性能指標。

關鍵詞： 非高斯隨機分布系統(tǒng)； 自適應控制； 數學模型； 概率密度函數

中圖分類號： TN911?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）04?0053?03

Self?adaptive control algorithm for non?Gaussianstochastic distribution systems

QU Yi， MU Li?ning， LAI Zhan?chi

（1. Department of Electrionics and Information Engineering， Xianyang Vocational Technical College， Xianyang 712000， China；

2. College of Electrical and Information Engineering， Lanzhou University of Technology， Lanzhou 730050， China）

Astract： Based on dynamic and static mathematical models， a self?adaptive adjustment control algorithm is proposed for tracking control of the non?Gaussian stochastic distribution systems， and the algorithm steps are introduced. The analysis result shows that the systems output probability density function follows the target probability density function， and the performance index is not more than a specified upper bound.

Keywords： non?Gaussian stochastic distribution system； self?adaptive control； mathematical model； probability density function

0 引 言

近十幾年來，經典的隨機控制前提是假設系統(tǒng)中的變量服從高斯分布，通過選擇控制量，使系統(tǒng)獲得較優(yōu)的追蹤誤差[1?8]。但是，在實際系統(tǒng)中，許多系統(tǒng)變量不服從高斯分布，經典的隨機控制策略，很難獲得滿意的控制效果。

1996年，Manchester大學王宏教授提出了輸出概率密度函數（Probability density function，PDF）形狀控制算法。該控制算法是控制隨機系統(tǒng)的輸入，使系統(tǒng)輸出的概率密度函數分布形狀盡可能地跟蹤給定概率密度函數分布形狀，可有效的解決動態(tài)隨機變量不服從高斯分布的問題，并在線實現了的造紙過程樣機運行實驗[1?2]。經過近十年來的發(fā)展，輸出概率密度函數控制已經形成了一個逐漸完善建模及控制理論體系。

非高斯隨機分布系統(tǒng)輸出概率密度函數模型建立之后，接著就需要設計合理的非高斯隨機分布控制算法。本文針對該問題提出了自適應控制算法，該控制算法的目的就是選擇合適的控制輸入[u（t）]使非高斯隨機分布系統(tǒng)輸出概率密度函數盡可能追蹤目標概率密度函數[γg（y）] ，同時滿足規(guī)定的性能指標。

1 模型參考自適應控制算法

1.1 模型建立

假設[v（t）∈[a，b]]是一致連續(xù)有界隨機過程變量，表示非高斯隨機分布系統(tǒng)的輸出；[u（t）∈Rn×1]表示非高斯隨機分布系統(tǒng)的控制輸入，控制變量[v（t）]的概率分布。在任何時刻，[v（t）]可通過其概率密度函數[γ（y，u（t））]來表示，其表達式為：

[P（a

式中[P（a

假設定義區(qū)間[a，b]是已知的，概率密度函數[γ（y，u（t））]是一致連續(xù)有界，使用B樣條函數逼近，則系統(tǒng)輸出概率密度函數的表達式為：

[γ（y，u（t））=i=1nvi（u（t））Bi（y）] （2）

非高斯隨機分布系統(tǒng)的動態(tài)部分由連續(xù)時不變系統(tǒng)表示，則其表達式如下：

[V（t）=AV（t）+Bu（t）+w（t）γ（y，u（t））=C（y）V（t）+L（y）] （3）

式中：[A∈R（n-1）×（n-1）]和[B∈R（n-1）×m]是未知的參數矩陣；[V（t）=（v1，v2，…，vn-1）]是狀態(tài)向量；[w（t）∈Rn-1]是外界干擾；[C（y），L（y）]的定義如下：

[L（y）∈b-1nBn（y）∈R1×1C（y）=C1（y）-Bn（y）bnbT=（B1（y）-Bn（y）abBn（y）dyabB1（y）dy，B2（y）-Bn（y）abBn（y）dyabB2（y）dy，…，Bn-1（y）-Bn（y）abBn（y）dy abBn-1（y）dy）∈R1×（n-1）]

記：

[f（y，u（t））=γ（y，u（t））-L（y）] （5）

對于[y∈[a，b]]，可進一步可獲得

[V（t）=AV（t）+Bu（t）+w（t）f（y，u（t））=C（y）V（t）] （6）

假設存在一個正定常數[δ]，滿足如下表達式：

[w（t）δ]

1.2 自適應控制器的設計

在非高斯隨機分布系統(tǒng)控制中，控制算法設計的目的是選擇合適的系統(tǒng)控制輸入[u（t）]使系統(tǒng)輸出概率密度函數跟蹤目標概率密度函數[γg（y）]，即：

[limt→+∞γ（y，u（t））=γg（y）] （7）

為了實現系統(tǒng)輸出概率密度函數的追蹤目的，假設目標概率密度函數可用如下表達式表示：

[γg（y）∈Ω=ff=i=1nwici（y）] （8）

式中[ci（y）]是基函數向量[C（y）]的第i個元素；[wi（i=1，2，…，n-1）]是定值。這就意味著存在一個已知向量[Vg∈Rn-1]，使目標概率密度函數[γg（y）]可用如下表達式表示：

[γg（y）=C（y）Vg]

在系統(tǒng)輸出概率密度函數追蹤過程中為了獲得好的動態(tài)性能，權值向量[V（t）]應逼近參考目標權值向量[Vg]，[Vg]可從如下參考模型中得到：

[Vm（t）=AmVm（t）+Bmr] （9）

式中：[Am∈R（n-1）×（n-1）]和[Bm∈R（n-1）×m]是已確定的矩陣；[r∈Rm]是已確定的常量。

[Am]是穩(wěn)定矩陣，使下列表達式成立：

[limt→+∞Vm（t）=VgAmVg=-Bmr] （10）

這就意味著選擇系統(tǒng)控制輸入[u（t）]，使[V（t）]盡可能的逼近[Vm（t）]。

定義：

[e（t）=V（t）-Vm（t）]

則，可得到誤差動態(tài)系統(tǒng)：

[e（t）=AV（t）+Bu（t）+w-AmVm（t）-Bm] （11）

為了使誤差動態(tài)系統(tǒng)式（11）漸近穩(wěn)定，可構造如下控制算法[1]：

[u（t）=Q（t）（K（t）abD（y）f（y，u（t））dy+r）] （12）

式中：[K（t）∈Rm×（n-1）]和[Q∈Rm×m]已確定的自適應調整增益矩陣；[γ（y，u（t））]是可測的系統(tǒng)輸出概率密度函數，[D（y）∈Rn-1]是定義在區(qū)間[a，b]上的函數向量，控制輸入[u（t）]與概率密度函數[γ（y，u（t））]的積分相關，定義系統(tǒng)的性能指標為：

[J=ab（γ（y，u）-γg（y））2dy] （13）

該性能指標依賴于系統(tǒng)輸出概率密度函數[γ（y，u（t））]的權值積分。

為了簡化表達式，定義：

[Σ=abD（y）C（y）dy∈R（n-1）×（n-1）] （14）

存在兩個常數矩陣[K0∈Rm×（n-1）]和[Q0∈Rm×m]，使下面的條件成立：

[A+BmK0Σ=AmBQ0=Bm] （15）

由式（3）和式（12），可得非高斯隨機分布閉環(huán)系統(tǒng)為：

[V（t）=（A+BQ（t）K（t）Σ）V（t）+BQ（t）r+w（t）] （16）

由式（11），式（15），式（16）可得到誤差動態(tài)系統(tǒng)：

[e（t）=Am（t）V（t）+B（Q（t）K（t）-Q0K0）ΣV（t）+BQ（t）r- AmVm（t）-Bmr+w（t） =Ame（t）+Bm（K（t）-K0）ΣV（t）+Bm（Q-10- Q-1（t））u（t）+w（t）] （17）

定義：

[?（t）=K（t）-K0ξ（t）=Q-10-Q-1（t）] （18）

則式（11）進一步可表示為：

[e（t）=Ame（t）+Bm?（t）η（t）+Bm（t）ξ（t）u（t）+w（t）] （19）

式中[η（t）=ΣV（t）]。

由于[V（t）]是不可測的，[e（t）]也是不可測的，則[e（t）]不能在自適應調整算法中使用。必須構造一個信號可在自適應調整算法中使用，則構造的信號為：

[ε0（t）=abD0（y）（f（y，u）-g（y））dy∈Rm] （20）

式中[D0（y）∈Rm]是一個已確定的函數向量，則可看出信號：

[ε（t）=ε0（t）-Σ1（Vm（t）-Vg）] （21）

是可測得定義：

[Σ1=abD0（y）C（y）dt∈Rm×（n-1）]

則式（21）可表示為：

[ε（t）=Σ1e（t）] （22）

誤差動態(tài)系統(tǒng)可進一步表示為：

[e（t）=Ame（t）+Bm?（t）η（t）+Bmξ（t）u（t）+w（t）ε（t）=Σ1e（t）] （23）

式中除了[e（t），?（t）]和[ξ（t）]外，所有參數信息都是可測的。

2 參數[K（t），Q（t）]的調整規(guī)則

在建立非高斯隨機分布誤差動態(tài)系統(tǒng)（23）之后，接著就需要設計非高斯隨機分布系統(tǒng)的控制算法。為了設計[K（t），Q（t）]的調整規(guī)則，首先考慮在噪聲干擾不存在的情況下，通過文獻[1?2]中的定理1直接引出[K（t），Q（t）]控制算法。

定理1：假設式（10），式（15）成立；矩陣[Am]穩(wěn)定和滿足[w（t）=0]；存在定義在區(qū)間[a，b]上的函數向量[D0（y）]和一個正定矩陣[P]，使表達式：

[ATmP+PAm=-In-1BTmP=Σ1] （24）

成立，則自適應調整規(guī)則：

[K（t）=-ε（t）ηT（t）Q（t）=-Q（t）ε（t）uT（t）Q（t）] （25）

成立，式（23），式（25）中的參數變量一致連續(xù)有界且：

[limt→+∞f（y，u）=g（y）， ?y∈[a，b]] （26）

當定理1中的條件滿足時，非高斯隨機分布閉環(huán)系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定，可實現式（7）的追蹤性能指標。

自適應調整控制算法可通過以下步驟實現：

（1） 選擇[D0（y）]使條件式（24）滿足；

（2） 采集控制輸入[u（t）]，和由系統(tǒng)輸出獲得概率密度函數[γ（y，u（t））]；

（3） 利用式（5）計算[f（y，u）]和參考模型輸出[Vm（t）]；

（4） 利用式（21）計算[ε（t）]；

（5） 利用式（25），計算增益[K（t），Q（t）]；

（6） 利用式（12），計算[u（t）]。

3 結 語

非高斯隨機分布系統(tǒng)控制是控制理論與應用研究領域的一個重要分支。其目標就是通過分析系統(tǒng)特性來設計、優(yōu)化控制算法、確保非高斯隨機分布系統(tǒng)的穩(wěn)定性、魯棒性和收斂性能。本文針對系統(tǒng)追蹤控制問題，首先建立系統(tǒng)輸出概率密度函數模型，動態(tài)數學模型，通過定理1提出自適應調整控制算法，并給出該算法的實現步驟。通過分析可知該算法能夠實現系統(tǒng)輸出概率密度函數追蹤目標概率密度函數，并滿足規(guī)定的保性能指標。

參考文獻

[1] WANG Hong. Bounded dynamic stochastic systemss： modelling and control [M]. London： Springer?Verlag Ltd， 2000.

[2] GUO Lei， WANG Hong. Stochastic distribution control systems design [M]. London： Springer?Verlag Ltd， 2010.

[3] 屈毅，李戰(zhàn)明，李二超.隨機分布系統(tǒng)的神經保性能控制器的設計[J].計算機集成制造系統(tǒng)，2012，18（11）：2515?2521.

[4] QU Yi， LI Zan?ming， LI Er?chao. Fault tolerant control for non?Gaussian stochastic distribution systemss [J]. Circuits System Signal Process， 2013， 32 （1）： 361?373.

[5] GUO Lei， WANG Hong. Observer?based optimal fault detection and diagnosis using conditional probability distribution [J]. IEEE Transactions on Singnal Processing， 2006， 54（10）： 3712?3719.

[6] QU Yi， LI Zan?ming， LI Er?chao. Fault detection and diagnosis for non?Gaussian stochastic distribution systemss with time delays via RBF neural networks [J]. ISA Transactions， 2012， 51： 786?791.

[7] WANG Hong， AFSCHAR P， YUE Hong. ILC?based generalised PI control for output PDF of stochastic systems using LMI and RBF neural networks. Proc.of the IEEE Conference on Decision and control. San Diego， CA： IEEE， 2006： 5048?5053.

[8] QU Yi， LI Zan?ming， LI Er?chao. Fault detection and diagnosis for non?Gaussian singular stochastic distribution systemss via output PDFs [J]. Automatika， 2012， 53（3）： 236?243.

[ATmP+PAm=-In-1BTmP=Σ1] （24）

成立，則自適應調整規(guī)則：

[K（t）=-ε（t）ηT（t）Q（t）=-Q（t）ε（t）uT（t）Q（t）] （25）

成立，式（23），式（25）中的參數變量一致連續(xù)有界且：

[limt→+∞f（y，u）=g（y）， ?y∈[a，b]] （26）

當定理1中的條件滿足時，非高斯隨機分布閉環(huán)系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定，可實現式（7）的追蹤性能指標。

自適應調整控制算法可通過以下步驟實現：

（1） 選擇[D0（y）]使條件式（24）滿足；

（2） 采集控制輸入[u（t）]，和由系統(tǒng)輸出獲得概率密度函數[γ（y，u（t））]；

（3） 利用式（5）計算[f（y，u）]和參考模型輸出[Vm（t）]；

（4） 利用式（21）計算[ε（t）]；

（5） 利用式（25），計算增益[K（t），Q（t）]；

（6） 利用式（12），計算[u（t）]。

3 結 語

非高斯隨機分布系統(tǒng)控制是控制理論與應用研究領域的一個重要分支。其目標就是通過分析系統(tǒng)特性來設計、優(yōu)化控制算法、確保非高斯隨機分布系統(tǒng)的穩(wěn)定性、魯棒性和收斂性能。本文針對系統(tǒng)追蹤控制問題，首先建立系統(tǒng)輸出概率密度函數模型，動態(tài)數學模型，通過定理1提出自適應調整控制算法，并給出該算法的實現步驟。通過分析可知該算法能夠實現系統(tǒng)輸出概率密度函數追蹤目標概率密度函數，并滿足規(guī)定的保性能指標。

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[ATmP+PAm=-In-1BTmP=Σ1] （24）

成立，則自適應調整規(guī)則：

[K（t）=-ε（t）ηT（t）Q（t）=-Q（t）ε（t）uT（t）Q（t）] （25）

成立，式（23），式（25）中的參數變量一致連續(xù)有界且：

[limt→+∞f（y，u）=g（y）， ?y∈[a，b]] （26）

當定理1中的條件滿足時，非高斯隨機分布閉環(huán)系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定，可實現式（7）的追蹤性能指標。

自適應調整控制算法可通過以下步驟實現：

（1） 選擇[D0（y）]使條件式（24）滿足；

（2） 采集控制輸入[u（t）]，和由系統(tǒng)輸出獲得概率密度函數[γ（y，u（t））]；

（3） 利用式（5）計算[f（y，u）]和參考模型輸出[Vm（t）]；

（4） 利用式（21）計算[ε（t）]；

（5） 利用式（25），計算增益[K（t），Q（t）]；

（6） 利用式（12），計算[u（t）]。

3 結 語

非高斯隨機分布系統(tǒng)控制是控制理論與應用研究領域的一個重要分支。其目標就是通過分析系統(tǒng)特性來設計、優(yōu)化控制算法、確保非高斯隨機分布系統(tǒng)的穩(wěn)定性、魯棒性和收斂性能。本文針對系統(tǒng)追蹤控制問題，首先建立系統(tǒng)輸出概率密度函數模型，動態(tài)數學模型，通過定理1提出自適應調整控制算法，并給出該算法的實現步驟。通過分析可知該算法能夠實現系統(tǒng)輸出概率密度函數追蹤目標概率密度函數，并滿足規(guī)定的保性能指標。

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