基于運動學正解的Delta機器人工作空間分析

韋巖，李冉冉，張魯浩，周萬里，郁漢琪

(南京工程學院 工業(yè)中心，江蘇 南京 211167)

0 引言

廣義的并聯(lián)機械臂是末端的執(zhí)行裝置由幾個獨立的運動支鏈連接到基座，形成的閉環(huán)運動鏈機構[1]。瑞士的Reymond clavel教授于1985年提出的Delta機器人是應用最為廣泛的并聯(lián)機構之一。由于Delta機器人的結構特點，使它只有3個平移自由度，設計、制造、控制都比較簡便，在輕工業(yè)分揀與包裝中應用廣泛。機器人的工作空間是衡量機器人工作性能的一個重要性能指標，在進行機構設計、控制、軌跡規(guī)劃時，工作空間是首先必須要考慮的重要問題。本文介紹一種Delta機器人的結構及工作原理，使用蒙特卡羅方法，在位置正解的基礎上，結合MATLAB軟件對工作空間進行探索研究。

1 Delta機器人簡介

Delta機器人是由動平臺、靜平臺、3根主動臂以及3根平行四邊形結構的從動支鏈組成[2]，結構簡圖如圖1所示。靜平臺和動平臺一般成正三角形，靜平臺三角形的3邊通過3條運動鏈與動平臺三角形的3條邊相連。每條運動鏈都是由4個球鉸鏈與4根桿組成平行四邊形，3個電機帶動主動臂旋轉，進而控制動平臺的運動。3組平行四邊形采用閉環(huán)結構，這保證了動平臺與靜平臺能夠始終保證平行，即保證動平臺只能進行平動，而不能進行任何方向的旋轉。

圖1 Delta機器人機構簡圖

根據(jù)Delta機器人的結構及空間機構自由度計算公式[3]來計算其自由度：

其中：M是自由度，n是機構總的構件數(shù)，g是n個構件之間的運動副數(shù)目，fi是第i個運動副的相對自由度數(shù)，根據(jù)公式能夠得到Delta機器人的自動度數(shù)：

M=6×(17-21-1)+3×6+15=3

2 Delta機器人的運動學模型

2.1 Delta機器人的運動學逆解

機器人的運動學逆解是已知機器人末端在參考坐標系的位姿T的情況下，求機器人各個關節(jié)變量qi的取值。運動學的逆解是控制機器人的關鍵，因為只有各關節(jié)變量在按照逆解所求值進行運動時，才能使機器人末端達到目標位置。

首先對Delta機器人模型進行簡化處理，由于從動臂運動鏈呈平行四邊形(平面結構)，平行四邊形中的2條相對邊總是平行，所以平行四邊形左右2根桿的運動與上下2邊中點連線的運動始終相同，所以簡化為圖2所示。O為靜平臺正三角形B1B2B3的中心點，O′為動平臺正三角形P1P2P3的中心點，Ei、Pi(其中i= 1,2,3，下同)分別是平行四邊形從動臂上下2邊的中點，分別在2個平臺上建立直角坐標系O-xyz、O'-x'y'z'，且ox⊥B1B3，o’x’⊥P1P3。

設OBi=R，O’Pi=r，則點Bi在坐標系O-xyz中的位置矢量和Pi在坐標系O'-x'y'z'中的位置矢量分別為：

圖2 Delta機器人結構示意圖

設θi是3根主動臂與靜平臺之間的夾角，|EiBi|=l1,|PiEi|=l2,則:

得到等式：

[(R+l1cosθi-r)cosηi-x]2+[(R+l1cosθi-r)sinηi-y]2+[-l1sinθi-z]2=l22

(1)

式(1)為運動學逆解公式，即主動臂與靜平臺張角(輸入量)θi與動平臺中心點(輸出量)位移之間的方程。

化簡式(1)，令R-r=Δr，展開得：

(2)

將式(2)寫成Acosθi+Bsinθi+C=0

(3)

代入式(3)并化簡得到：

(C-A)ti2+2Bti+(A+C)=0 (i=1,2,3 )

這是3個一元二次方程,解方程可得

(4)

根據(jù)以上公式，當給定動平臺的位置坐標時，即可以求出3個主動臂的角度，由于每個方程有2個解，所以逆解共有8組。Delta機器人在運行過程中會受到運動轉角的限制，所以并非所有的解都滿足要求，結合實際情況選取“±”中的值，即為最終的逆解。

2.2 Delta機器人的位置正解

運動學正解即已知機器人各個運動關節(jié)的關節(jié)變量，求解機器人末端(動平臺中心點)的位置。利用式(2)可以得到O'在O-xyz中的位置矢量x,y,z的方程組，該方程組有3個等式，3個未知量(x,y,z)，通過解方程組可以得到末端位置。但是，該方程組是非線性方程組，解析解不易求得，而且還存在多解問題，需要對解進行取舍。哈爾濱工業(yè)大學的趙杰[4]采用幾何法，構造出特征四面體，求出它的唯一正解，如圖2所示，分別將E1P1，E2P2，E3P3沿著P1O’、P2O’、P2O’平移，并交于O’點，設此時的E1，E2，E3分別移動到Q1，Q2，Q3點，由于Qi點的坐標已知，而O’到Qi點的距離始終等于l2，可據(jù)此列出方程，求出O’的位置坐標。

將圖2中的三棱錐單獨提出來分析，如圖3所示，H為△Q1Q2Q3的外心，K為邊Q1Q3的中點，容易證明O’H⊥△Q1Q2Q3，且H為垂足。

(5)

△Q1Q2Q3的外接圓半徑：

(6)

(7)

OO'=OH+HO'=OK+KH+HO'

(8)

式(8)就是運動學正解方程，已知θ1，θ2，θ3，l1，l2，R，r幾個參數(shù)，代入式(5)、式(6)、式(7)、式(8)，即可以求出O’的坐標。

3 Delta機器人的工作空間

機器人的工作空間是機器人操作器的工作區(qū)域，它的大小是衡量機器人性能的重要指標[5]。影響并聯(lián)機器人工作空間大小的因素主要有：1) 桿長的限制：當桿長達到極限時，動平臺給定參考點也達到了工作空間的邊界；2) 運動副轉角的限制：球面副和轉動副的轉角在實際并聯(lián)機器人產品上通常都有限制；3) 連桿的干涉：連桿在運動過程中可能會發(fā)生干涉。并聯(lián)機器人的工作空間的解析求解是一個很復雜的問題，故采用數(shù)值積分法來計算工作空間的范圍。

常用的工作空間的計算方法有幾何法、離散化方法、數(shù)值方法等，這幾種方法各有優(yōu)缺點，在不同機構中所用的方法也不盡相同。

對于Delta機器人而言，選擇動平臺的中心點為參考點，則該點可以到達的點的集合即為Delta機器人的工作空間。Delta機器人結構相對簡單，輸入變量為主動臂的3個轉角θ1，θ2，θ3，動平臺在運動過程中始終保持與靜平臺平行(即保持水平)，所以不存在姿態(tài)角度的變化，在分析工作空間時，只要分析單一姿態(tài)下參考點所達點的集合。

式(8)為運動學的正解方程，它反映了輸入量與參考點坐標與輸入量之間的關系，通過給定合理的輸入變量并代入該方程，即可得到參考點坐標，這些坐標點的集合就是Delta機器人的工作空間范圍。

4 仿真

Delta機器人仿真使用的結構參數(shù)如下：靜平臺外接圓半徑R=195mm，動平臺外接圓半徑r=65mm，主動臂桿長l1=200mm，從動臂l2=500mm。根據(jù)實際的結構，主動臂轉角θi限制為20°～160°，通過給定具體數(shù)值，使用MATLAB編程，分別使θ1，θ2，θ3從20°～160°之間等間距取50個值，代入正解方程，生成可視化的工作空間仿真圖形，如圖4所示。

圖4 工作空間仿真結果

從圖4中可以清晰地看到Delta機器人的工作范圍，Delta機器人的工作空間呈橢球型，且在靠近z=0平面時會有一段不可達的區(qū)間(空洞)，這段區(qū)域的大小是由主動臂桿長，從動臂桿長，動靜平臺尺寸共同決定的，通過合理設計各桿長，可以優(yōu)化Delta機器人結構，使機器人有更大的工作范圍。

5 結語

機器人工作空間的分析對于機械本體設計、軌跡規(guī)劃

及控制系統(tǒng)設計都有重要的意義。本文通過對Delta結構的分析，根據(jù)Delta結構的特點建立了約束方程，并借此求出了運動學逆解，采用幾何法求取運動學正解方程，并在運動學正解的基礎上，借助MATLAB軟件，得到了Delta機器人的可達工作空間，為衡量Delta機器人性能提供參考依據(jù)。

[1] J.-P., 梅萊,黃遠燦. 并聯(lián)機器人[M]. 北京：機械工業(yè)出版社, 2014.

[2] 梁香寧, 牛志剛. 三自由度Delta并聯(lián)機器人運動學分析及工作空間求解[J]. 太原理工大學學報, 2008(1):93-96.

[3] 黃真, 劉婧芳, 李艷文. 150年機構自由度的通用公式問題[J]. 燕山大學學報, 2011(1):1-14.

[4] 趙杰, 朱延河, 蔡鶴皋. Delta型并聯(lián)機器人運動學正解幾何解法[J]. 哈爾濱工業(yè)大學學報, 2003(1):25-27.

[5] 黃真, 趙永生, 趙鐵石. 高等空間機構學[M]. 北京：高等教育出版社, 2014.