小學(xué)數(shù)學(xué)估算教學(xué)的思考

毋翠玲 和小軍

[摘 要]估算教學(xué)一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點，也是專家與一線教師時常探討的熱點話題。從估算的課程目標(biāo)內(nèi)涵、教材編排特點和學(xué)生認(rèn)知特點出發(fā)，教師要正確處理估算與精算、數(shù)感及問題解決的關(guān)系，深刻理解教材的編寫意圖，密切聯(lián)系學(xué)生的認(rèn)知特點，切實把握好不同學(xué)段的教學(xué)要求。

[關(guān)鍵詞]估算；課程目標(biāo)；教材編寫；認(rèn)知特點；教學(xué)要求

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）05-0014-03

估算是一種基本的數(shù)學(xué)能力，是計算能力的重要組成部分，也是現(xiàn)實生活中經(jīng)常使用的一種計算方法。在數(shù)學(xué)教育教學(xué)中。Reys等人認(rèn)為估算過程需要綜合運用心算、數(shù)概念及各種計算技巧，它要求使用心算快速地算出答案，并且算出的結(jié)果與正確結(jié)果之間要有合理性的接近。估算具有以下特點：以快速心算為主要的計算方式；以合理猜測為主要的推理方式；是心算、數(shù)概念及各種計算技巧的綜合運用。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱課標(biāo)）將估算作為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感、應(yīng)用意識、運算能力、推理能力的重要途徑和手段，各版本小學(xué)數(shù)學(xué)教材也都精心編排了估算的教學(xué)內(nèi)容。在教學(xué)實踐中，估算常常被一線教師定為教學(xué)難點，其主要原因是教師未能理解教材的編寫意圖，以及宏觀把握教學(xué)方向。本文將從課標(biāo)要求、教材編排、學(xué)生認(rèn)知特點出發(fā)，闡述對估算教學(xué)的思考。

一、估算在課程標(biāo)準(zhǔn)中的要求

小學(xué)階段的估算在課標(biāo)中的課程目標(biāo)描述分為兩個學(xué)段。第一學(xué)段要求學(xué)生在生活情境中感受萬以內(nèi)數(shù)的意義，能結(jié)合具體情境選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡單的估算，體會估算在生活中的作用，能估測一些物體的長度并進(jìn)行測量，會估算給定簡單圖形的面積。第二學(xué)段要求結(jié)合現(xiàn)實情境感受大數(shù)的意義并能進(jìn)行估計；在解決問題的過程中能選擇合適的方法進(jìn)行估算，會根據(jù)其中一個量的值估計另一個量的值，會用方格紙估計不規(guī)則圖形的面積。

估算內(nèi)容廣泛分布在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐四個領(lǐng)域之中，主要集中在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域。課標(biāo)對估算的要求有以下三點：一是要重視估算的實際背景，二是強(qiáng)調(diào)估算的單位選取，三是強(qiáng)調(diào)估算對于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的作用。估算與精算、數(shù)感及問題解決都有密切關(guān)系，培養(yǎng)小學(xué)生的估算能力是一項重要的教學(xué)任務(wù)。

二、估算內(nèi)容在人教版教材中的編排

教材是教學(xué)的重要載體，理解教材是教學(xué)的基礎(chǔ)。自估算內(nèi)容在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)以來，一直受到一線教師的廣泛關(guān)注。下面筆者從教材的容量、內(nèi)容分布、呈現(xiàn)方式、內(nèi)容編排四個方面闡述估算內(nèi)容在人教版教材中的編排方式。

從估算內(nèi)容的容量看，估算內(nèi)容集中出現(xiàn)在二年級下冊、三年級上下冊和四年級上冊，其中四年級中的估算內(nèi)容最多，是估算教學(xué)的重點。人教版教材涉及估算內(nèi)容有92處，從二年級上冊開始，估算內(nèi)容逐漸增多，直至四年級上冊。其中，一年級上下冊，四年級下冊，五年級上下冊和六年級下冊均未安排估算內(nèi)容。（如下表）

從估算內(nèi)容的分布看，估算內(nèi)容在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐四個領(lǐng)域中均有分布。數(shù)與代數(shù)有88處，圖形與幾何有1處，統(tǒng)計與概率有1處，綜合與實踐有2處。不難發(fā)現(xiàn)，估算內(nèi)容主要集中在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，尤其集中在數(shù)與代數(shù)的計算教學(xué)中。估計的形式主要有三種：數(shù)量估計、測量估計、計算估計，簡稱估數(shù)、估測、估算。

從估算內(nèi)容的呈現(xiàn)方式看，估算在教材中的呈現(xiàn)方式主要有4種：純文字、純算式、文字+算式（表格）、圖文情境?！凹兾淖殖尸F(xiàn)”是指采用語言文字承載題目的含義，并要求學(xué)生進(jìn)行估算的計算題目?！凹兯闶匠尸F(xiàn)”是指以算式形式呈現(xiàn)學(xué)生要完成的估算題目。“文字+算式（表格）呈現(xiàn)”是指使用算式或表格對文字部分進(jìn)行輔助說明，并要求學(xué)生進(jìn)行計算的估算題目?！皥D文情境呈現(xiàn)”是指采用情景圖、對話框以及文字?jǐn)⑹龅姆绞疥U述題目的含義，并要求學(xué)生進(jìn)行計算的估算題目。人教版教材中，純算式呈現(xiàn)有32處，純文字描述有4處，文字+算式（表格）有1處，圖文情境有55處。其中圖文情境以學(xué)生喜聞樂見、圖文并茂的情境為主，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特點。

從估算內(nèi)容的編排看，人教版教材注重聯(lián)系生活情境。每個單元的內(nèi)容以“生活情境——例題——練習(xí)”為主線進(jìn)行編排，每個知識點按照“例題——做一做——練習(xí)”的模式進(jìn)行編排；例題后面編排有“想一想、做一做”等欄目，在每個章節(jié)后編排有整理與復(fù)習(xí)以及總復(fù)習(xí)等內(nèi)容。估算內(nèi)容的例題有15處，練習(xí)有53處，“試一試”“想一想”有16處，復(fù)習(xí)與整理有3處，總復(fù)習(xí)中有5處。估算內(nèi)容與編排體例結(jié)合度較高，實現(xiàn)了多維度安排和滲透，重視培養(yǎng)學(xué)生的估算意識和估算能力。

三、學(xué)生學(xué)習(xí)估算的特點

小學(xué)生估算能力的發(fā)展?fàn)顩r是心理學(xué)中的一個熱點問題，心理學(xué)家對此主要采用實驗調(diào)查的研究模式。司繼偉對1027名學(xué)生進(jìn)行團(tuán)體和個別測試，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的估算能力受到年齡的影響，并且在不同年齡階段有不同的影響。譬如，學(xué)生從一年級就開始接觸整數(shù)的概念，而對小數(shù)概念的學(xué)習(xí)到四年級才開始，因此小數(shù)題的認(rèn)知難度對學(xué)生而言顯著高于整數(shù)題。學(xué)生能否解決復(fù)雜的估算問題取決于能否結(jié)合問題所提供的信息，選擇恰當(dāng)?shù)墓浪悴呗浴W(xué)生估算的效率在各階段都有其發(fā)展的特點。譬如，小學(xué)三年級是整數(shù)、小數(shù)估算能力發(fā)展的關(guān)鍵時期，小學(xué)五年級是分?jǐn)?shù)估算能力發(fā)展的良好時期。

陳英和采用實驗法和訪談法，對小學(xué)一年級到三年級的學(xué)生解決加減法算術(shù)題的策略使用特點進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生能夠靈活運用多種策略解決加減法算術(shù)題；隨著年級增高，策略選擇呈簡約化發(fā)展趨勢。陳麗蘭對9～12歲學(xué)生選擇估算策略的特點進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)：隨著問題難度的增大，選擇估算策略的最佳擊中率降低；隨著年齡的不斷增長，選擇估算策略的個數(shù)增多，并且選擇估算策略的最佳擊中率上升，其中四、五年級學(xué)生的最佳擊中率上升尤為明顯；估算策略的選擇不存在性別差異。

綜合相關(guān)研究，學(xué)生估算能力的發(fā)展是一個逐步完善的過程，它需要學(xué)生具有一定的算術(shù)技能，同時還需要學(xué)生具有一定水平的思維能力。在小學(xué)階段，學(xué)生估算能力的發(fā)展顯現(xiàn)出整體推進(jìn)、交替向上的態(tài)勢。

四、估算教學(xué)的思考

1.正確認(rèn)識估算與精算、數(shù)感的關(guān)系

估算與精算既有區(qū)別又有聯(lián)系。估算是一種無需獲得準(zhǔn)確結(jié)果的計算，是學(xué)生根據(jù)有關(guān)的條件和知識，通過觀察、比較、判斷、推理等方式，對題目中的數(shù)字或運算結(jié)果所做出的一種大致判斷。其結(jié)果是在一定范圍內(nèi)對答案進(jìn)行的估計。估算過程具有跳躍性、直覺性、內(nèi)隱性等特點，反映了學(xué)生對數(shù)的內(nèi)部運算的認(rèn)知水平。精算強(qiáng)調(diào)準(zhǔn)確性，計算時要遵循算理，熟練算法。然而，有些問題可能只需估算，無需精算。譬如，購物時，在選擇一些物品后，先估計一下大約需要多少錢，看自己帶的錢是否足夠。又如，“學(xué)校組織學(xué)生去游樂場玩耍，共有987名學(xué)生參加，假設(shè)游樂場的門票是8元/張，那么帶8000元錢是否足夠”的問題。有些問題可能只需精算，無需估算，有些問題可能需要先估算后精算，或在精算的過程中用到估算。如乘法運算時先估計結(jié)果是幾位數(shù)，就可以快速判斷計算結(jié)果是否合理。

估算與數(shù)感之間有著密切的聯(lián)系。一方面，經(jīng)常進(jìn)行估算訓(xùn)練可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)感的發(fā)展，而培養(yǎng)數(shù)感又有助于學(xué)生估算能力的提高。譬如，估算258÷5，250與260都是5的倍數(shù)，但相對于250，260與258更為相近，因此利用260÷5估算結(jié)果更為準(zhǔn)確。這種通過對數(shù)進(jìn)行感知再進(jìn)行判斷、估算的方法，實質(zhì)上需要學(xué)生具有良好的數(shù)感。學(xué)生只有對數(shù)具有良好的感知能力，才能對數(shù)有良好的把握，從而進(jìn)行合理估算。另一方面，估算能力不同的學(xué)生在做數(shù)感類的題目時，多數(shù)情況下都傾向于選擇有效性中等水平的策略。譬如，小數(shù)估算中忽略小數(shù)部分、改變數(shù)位；分?jǐn)?shù)估算中同分母化為易處理的小數(shù)、選擇基點“1”等。

2.把握估算內(nèi)容的教材編排特點

估算內(nèi)容沒有獨立的章節(jié)呈現(xiàn)，而是分散呈現(xiàn)在不同年級。估算教學(xué)需要全面理解蘊(yùn)含在教材中的估算內(nèi)容，教師只有準(zhǔn)確把握小學(xué)兩個學(xué)段對估算的不同要求，才能有目的、有計劃地將估算滲透于教學(xué)。

第一學(xué)段立足于數(shù)量的簡單推理和筆算驗算，在解實際應(yīng)用題時，初步滲透估算的意識和“誤差”的概念。譬如，對于“媽媽帶400元去商店購物，電話245元，吹風(fēng)機(jī)187元。400元買這兩件商品夠不夠”的問題，若學(xué)生提出“245元估成200元，187元估成200元，所以245加187大約是400元，所以夠買”，這樣的錯誤應(yīng)該是可以理解的。換句話說，教師要重視學(xué)生的估算過程，讓學(xué)生通過交流討論，學(xué)習(xí)如何根據(jù)實際情況調(diào)整估算策略。

第二學(xué)段的重點是學(xué)習(xí)基本的估算方法，掌握估算策略。第二學(xué)段中的大數(shù)認(rèn)識更抽象，數(shù)的運算更復(fù)雜，基于學(xué)生想簡算的心理，可以促進(jìn)其主動利用估算解決問題。譬如，“三位數(shù)乘兩位數(shù)的估算”的題目：秋天來了，五年級的小朋友打算進(jìn)行一次秋游，每個小朋友的車票和門票是49元，五年級共有104個小朋友，估算一下，大約準(zhǔn)備多少元才夠買票？學(xué)生可能會有兩種估算方法，估算成50×100=5000（元），或者估算成50×110=5500（元）。教師要引導(dǎo)學(xué)生思考哪一種估算方法好一些，也就是說要選取怎樣的估算策略，這是解決問題的關(guān)鍵。因為只有這樣才能讓學(xué)生結(jié)合實際來理解在什么情況下估大，什么情況下估小，才符合要求，做到具體問題具體分析。畢竟，估算是解決問題的常用方法，但是沒有固定的法則，要根據(jù)具體的情況采取適當(dāng)?shù)牟呗浴?/p>

把握兩個學(xué)段對估算的不同要求，理解教材的編寫意圖，才能全面系統(tǒng)地進(jìn)行估算教學(xué)。譬如，對于低年級學(xué)生，即使估算結(jié)果與準(zhǔn)確值偏離較大，但只要學(xué)生能清晰、完整地說出估算過程，對估算結(jié)果能做出合理的解釋，教師都應(yīng)給予鼓勵。高年級學(xué)生已經(jīng)積累了一些估算經(jīng)驗，形成了較高的估算技能，教師就要指導(dǎo)他們不斷進(jìn)行自我反思、分析和調(diào)整，使估算結(jié)果盡可能接近準(zhǔn)確結(jié)果。

3.把握小學(xué)生估算能力發(fā)展的特點

小學(xué)生估算能力的發(fā)展是一個逐步精確化、合理化、策略化、程序化的過程，教師要根據(jù)不同階段學(xué)生估算能力的特點，科學(xué)制定相應(yīng)的潛力開發(fā)方案。

作為數(shù)學(xué)教師，要明確估算的意義，提高學(xué)生學(xué)習(xí)估算的自覺性和積極性；要讓學(xué)生關(guān)注現(xiàn)實生活和生產(chǎn)實踐中的估算問題并嘗試解決，使學(xué)生意識到在他們周圍存在著大量的估算問題，體會到估算的必要性和優(yōu)越性。比如“全家聚餐”大約需要200元，這就是估算，但飯店的收銀員在收取費用時則需要進(jìn)行精確計算。

估算是一種開放型的創(chuàng)造性活動，因內(nèi)容和問題情境的不同，估算的方法和策略也不盡相同。學(xué)生學(xué)習(xí)估算的難點在于不知道如何根據(jù)實際問題去選擇估算策略：是要估算得大些， 還是要估算得小些？什么時候需要對估算結(jié)果進(jìn)行調(diào)整？雖然估算在簡化運算、選擇方法和調(diào)整結(jié)果各環(huán)節(jié)中都有對應(yīng)的策略， 但都需要學(xué)生針對實際問題靈活選擇。譬如，估算有上限額度時，必須估大些；估算有最低額度時，則要估小些……估算是為了運算簡便而取的一個近似數(shù)，不是為了估算而估算。因此教師要讓學(xué)生不斷進(jìn)行練習(xí)，逐步積累估算經(jīng)驗，總結(jié)規(guī)律，從而提高學(xué)生的估算能力。

4.妥善處理估算學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的常見問題

在學(xué)生學(xué)習(xí)估算的過程中，經(jīng)常出現(xiàn)以下問題：估算意識淡薄——用精算代替估算；省略估算步驟——缺少估算結(jié)果的調(diào)整；估算標(biāo)準(zhǔn)不確定——不知道估得對不對。針對這些常見的問題，教師要正確對待、妥善處理。

關(guān)于學(xué)生用精算代替估算的問題，其實質(zhì)是學(xué)生估算意識薄弱。作為教師，要選擇有代表性的估算題目，以便引導(dǎo)學(xué)生體會估算的意義和價值，逐漸形成估算意識。譬如，金金用5元購買牛奶、面包和雞蛋。其中牛奶1.5元，面包1.29元，雞蛋1.44元，在下面哪種情況下使用估算比精算有意義？①當(dāng)金金檢查5元是否夠用時；②當(dāng)收銀員將每種商品的價格錄入收銀系統(tǒng)時；③當(dāng)收銀員告訴金金應(yīng)該付多少錢時；④當(dāng)收銀員核對金金所付的錢時。這種以生活實例呈現(xiàn)問題的方式，需要學(xué)生正確理解估算與精算，才能做出正確選擇。顯然，將精算和估算相結(jié)合的題目編排方式，能很好地鍛煉學(xué)生的估算意識。

對估算結(jié)果的調(diào)整，實際上是學(xué)生根據(jù)實際問題選擇恰當(dāng)?shù)墓浪悴呗裕粩噙M(jìn)行推理驗證的過程。譬如，周莊村組織272名村民去旅游，每輛客車可以坐48人。估算一下，周莊村租5輛這樣的客車夠嗎？至少要租多少輛這樣的客車？這個問題看似很簡單，但對三年級的學(xué)生來說并非如此，因為解決問題時，學(xué)生需要經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程才能做出判斷。對于這個問題，應(yīng)先將48看作50，50×5=250，再比較實際座位數(shù)應(yīng)該比估算出的250個座位少一些，然后比較估算出的250個座位又比272名村民要少一些，由此判斷5輛車不夠坐。在這個估算過程中，需要學(xué)生合理運用估算的基本方法，并能將估算結(jié)果與實際問題進(jìn)行比較。這個估算過程需要學(xué)生具有較強(qiáng)的推理能力，并且能夠靈活運用合理的估算策略進(jìn)行估算。

需要注意的是，對于純算式的估算，不能簡單地把估算結(jié)果是否與準(zhǔn)確值最接近作為唯一的標(biāo)準(zhǔn)，只要落在區(qū)間內(nèi)，就是合理的。譬如，估算78×365的結(jié)果大約是多少時，學(xué)生剛接觸估算時可能估為70×300，80×300或80×400，這些都可以視為是合理的。待學(xué)生有了一定的估算經(jīng)驗后，教師就要引導(dǎo)學(xué)生反思“怎樣估才能更接近準(zhǔn)確值”，這樣才能完善學(xué)生的估算意識。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 李長毅，張彥春，孫衛(wèi)紅等.估算在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的編寫與啟示——基于人教版、西師版和北師大版教材文本分析[J].課程·教材·教法，2013，33（4）.

[2] 王鮮鳳.新課程下小學(xué)估算教學(xué)的現(xiàn)狀研究[D].重慶：西南大學(xué)，2007.

[3] 張敏，楊伊生.小學(xué)估算教學(xué)的歷史回顧與展望[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報（教育科學(xué)版），2008，21（6）.

[4] 孫衛(wèi)紅，陳朝東.中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對估算要求的變化探析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2013，22（5）.

[5] 司繼偉，張慶林，胡冬梅.小學(xué)兒童算術(shù)估算能力的發(fā)展[J].心理與行為研究，2008，6（1）.

[6] 陳英和，耿柳娜.小學(xué)一～三年級兒童加減法策略選擇的發(fā)展特點研究[J].心理發(fā)展與教育，2005，21（2）.

[7] 陳麗蘭.9～12歲兒童估算策略選擇的發(fā)展特點[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2012，21（1）.

[8] 熊丙章，劉麗穎，毛君順.估算能力對兒童數(shù)感發(fā)展的影響研究[J].成都教育學(xué)院學(xué)報，2006（2）.

[9] 徐群飛，李俊.中小學(xué)生估算意識及策略的調(diào)查研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2006，15（3）.

（責(zé)編 金 鈴）