淺談線性方程組與線性空間的聯(lián)系

馬思遙+宮春梅

【摘要】本文通過線性方程組求解這一問題的提出、分析和理論的建立，展現(xiàn)了其與線性代數(shù)若干基本概念——矩陣、行列式、n元向量、向量組的線性相關(guān)性之間的關(guān)系，更進(jìn)一步探討了線性方程組解的幾何結(jié)構(gòu)和幾何意義與線性空間、雙線性空間的聯(lián)系.這為學(xué)習(xí)線性方程組理論和代數(shù)理論體系提供一條重要思路.

【關(guān)鍵詞】線性方程組；矩陣；行列式；n元向量；線性空間

【基金項(xiàng)目】陜西省教育廳專項(xiàng)科學(xué)基金（15JK1411）；西安建筑科技大學(xué)專業(yè)骨干課程建設(shè)（1609217071）；西安建筑科技大學(xué)校級教改項(xiàng)目（6040417086）.

一、引 言

討論線性方程組的一般理論，從中找出規(guī)律性的東西，是討論線性方程組求解問題的基礎(chǔ)，也是線性代數(shù)的主要研究課題.線性方程組求解這一問題的提出、分析和理論的建立串聯(lián)起矩陣代數(shù)、行列式、n元向量、向量組的線性相關(guān)性等若干線性代數(shù)基本概念.線性代數(shù)基本概念也是高等代數(shù)的主要概念，在代數(shù)理論的進(jìn)一步學(xué)習(xí)中，線性空間和雙線性空間這兩個(gè)重要的抽象概念體現(xiàn)出它所涵蓋內(nèi)容的廣泛和所反映事物本質(zhì)的深刻.關(guān)于線性方程組解的幾何特性，線性空間和雙線性空間給出了最好的解釋.在本文末，關(guān)于線性方程組的可解性的討論中，我們又提到了歐幾里得空間，說明線性方程組無解時(shí)，在歐幾里得空間中可通過最小二乘法給出最小二乘解的代數(shù)條件.

五、小 結(jié)

線性方程組理論在線性代數(shù)歷史發(fā)展過程中具有重要的地位.最初的線性方程組問題大都是來源于生活實(shí)踐，而實(shí)際問題又刺激了線性代數(shù)這一學(xué)科的誕生與發(fā)展.本文通過線性方程組解這一問題的提出、分析和不同角度的討論，讓我們看到線性方程組理論的發(fā)展不僅促成了作為工具的矩陣論和行列式理論的創(chuàng)立與發(fā)展，線性空間、雙線性空間理論也能夠很好地解釋線性方程組解的幾何意義，歐幾里得空間上的最小二乘解又進(jìn)一步突破了線性方程組的可解性的討論.因此，討論線性方程組解的一系列工作，不僅讓我們掌握了線性代數(shù)中這些重要概念，更是通過線性方程組解的討論這一主線串聯(lián)起線性代數(shù)中重要概念之間的聯(lián)系.隨著計(jì)算機(jī)應(yīng)用的普及，計(jì)算數(shù)學(xué)對線性方程組的數(shù)值解法也取得了很大的進(jìn)展，這將使得線性方程組理論更加完善.

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