對排列組合問題的探討

周佳洵

摘 要：排列組合是組合數(shù)學(xué)的最基本的知識。它是學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)知識及進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有關(guān)分支的預(yù)備知識，因此在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是非常廣泛的。本文在概述了排列組合定義的基礎(chǔ)上通過實(shí)例分析了排列組合中幾種典型的類型與解題方法，來幫助人們真正認(rèn)識排列組合，掌握方法解決好排列組合問題。

關(guān)鍵詞：排列組合；類型；解題方法

一、排列組合的概述

排列組合是組合數(shù)學(xué)中最基本的概念。所謂排列就是指從給定的元素中取出指定個(gè)數(shù)的元素，之后進(jìn)行排序的一個(gè)過程。組合就是從給定的元素中只取出指定個(gè)數(shù)的元素，不考慮排序的一個(gè)過程。

二、排列組合的類型與解題方法

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，排列組合是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。表面上很多排列組合問題都看起來很簡單，但實(shí)際上排列組合是靈活易變，而且涉及到的題型也是多種多樣的。因此，掌握排列組合的解題類型與方法是解題的前提。

（一）捆綁型問題捆綁法

如果題目中要求某幾個(gè)元素必須在一起，這就屬于排列組合中的捆綁型問題，我們就可以利用捆綁法來解決這類問題，把要求在一起的這些元素當(dāng)成一個(gè)新的元素，再將這個(gè)新元素與其他元素按照題目要求進(jìn)行排列組合，有時(shí)也不能忽略新元素內(nèi)部的排列組合。

例1：4個(gè)男生與3個(gè)女生站成一排拍照，要求3個(gè)女生必須都站在一起，有多少種排法呢？這屬于一個(gè)排隊(duì)問題，排隊(duì)需要考慮前后順序，又因?yàn)?個(gè)女生必須在一起，因此把3個(gè)女生當(dāng)成一個(gè)新元素，與4個(gè)男生一起排列，有[A55]種排法，再加上3個(gè)女生內(nèi)部有[A33]種排法，所以總共有[A55?A33=7200]種排法。

（二）不相鄰問題插空法

如果題目中要求至少有兩個(gè)元素是不能相鄰的，就是不相鄰問題，我們需要先把沒有限制的元素排列好，再將有限制的元素插入已排好的元素中間或者是兩端即可。

例2：4個(gè)男生與3個(gè)女生站成一排拍照，要求3個(gè)女生不能相鄰，有多少種排列方法呢？先將4個(gè)男生排好有[A44]種排法，再在他們之間或者是兩端的5個(gè)空中選擇三個(gè)位置讓3個(gè)女生插入，就有[A35]種方法，于是總共有[A44?A35=1400]種排法。

（三）插板法

有些排列組合問題是比較復(fù)雜的，在做題難以迅速找到解題的突破口時(shí)，我們就可以將其想象成另外一個(gè)情景，構(gòu)造一個(gè)插板模型來使復(fù)雜問題簡單化。

例3：某高校高一年級有8個(gè)班級，要求每個(gè)班級至少要有一名同學(xué)來參加學(xué)校組織的10人研討活動(dòng)，在這種情況下會(huì)有多少分配方法呢？要是直接進(jìn)行解題是非常困難的，甚至無從下手，但是構(gòu)造一個(gè)插板模型，將題想象成把10個(gè)球分成8份，只需要把10個(gè)球排成一排，在9個(gè)間隙中插入7塊板，就會(huì)有[C79]種分配方法。

（四）正難反易轉(zhuǎn)化法

對于一些生疏的問題或者是直接解答困難的問題，從反面的情況來分析題目就會(huì)變得很簡單，這類的問題我們就可以從反面出發(fā)，就可以將問題變得簡單最終得出答案。

例4：同一個(gè)街道上有8個(gè)垃圾桶，為了合理配置資源又不影響正常的使用，可以把其中的3個(gè)垃圾桶撤掉，但不能同時(shí)撤掉相鄰的2個(gè)或3個(gè)，也不能撤掉街道兩頭的垃圾桶，那么滿足條件的方法有多少呢？根據(jù)條件，可以知道撤掉第一個(gè)垃圾桶的方法有6種，撤掉第二個(gè)、第三個(gè)都需要分情況討論，比較復(fù)雜。但從反面入手，就是一個(gè)滿足條件的撤掉與保留垃圾桶的排列，問題被轉(zhuǎn)化成在5個(gè)保留的垃圾桶的6個(gè)空位中插入3個(gè)撤掉的垃圾桶，所以滿足條件的方法有[C35]種。

（五）順序固定問題用除法

解答排列組合問題時(shí)，常常出現(xiàn)某幾個(gè)元素順序一定的情況，就可以把這幾個(gè)元素與其他元素一同排列，之后用總的排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的排列數(shù)。

例5：6個(gè)人排成一排，要求甲乙丙三個(gè)人按照甲-乙-丙的順序進(jìn)行排列，這種情況下的排隊(duì)方法有多少？不考慮順序固定這個(gè)條件，排隊(duì)方法有[A66]種，而甲乙丙三個(gè)人的排列數(shù)[A33]中只有一個(gè)是符合條件的，所以最終的排隊(duì)方法有[A66÷A33=120]種方法。

（六）特殊元素優(yōu)先安排法

如果排列組合中出現(xiàn)特殊元素，我們就要優(yōu)先考慮特殊元素，再安排其他元素。

例6：用0，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)的三個(gè)數(shù)，其中偶數(shù)有多少個(gè)？由于組成的這三個(gè)數(shù)是偶數(shù)，那么末尾數(shù)字必須是偶數(shù)。又因?yàn)?不能排首位，因此0是一個(gè)特殊元素，要優(yōu)先考慮0這個(gè)特殊元素，就有0排在末尾和不在末尾這兩種情況。當(dāng)0排在末尾時(shí)有[A24]個(gè)；當(dāng)0不排在末尾時(shí)有[A14]、[A15]、[A14]個(gè)，所以具有偶數(shù)[A24+A14+A15+A14=30]個(gè)。

（七）多類元素組合問題

對于元素多，選取情況多的排列組合問題，可以按照要求采取先分類再分布，最后總算的方法；對于較為復(fù)雜的也可以采取表格法，即列圖表的形式來解決問題。

例7：學(xué)?；@球隊(duì)由9個(gè)人組成，其中7個(gè)人善于打前鋒，3個(gè)人善于打后衛(wèi)，現(xiàn)在要從中選出5個(gè)人（兩個(gè)后衛(wèi)，三個(gè)前鋒，而且衛(wèi)分左右，鋒分左、中、右）進(jìn)行組隊(duì)，有多少種組隊(duì)方法呢？由題目要求可以知道有1個(gè)人既善于打前鋒，又善于大后衛(wèi)。只會(huì)打前鋒的有6個(gè)人，只會(huì)打后衛(wèi)的有2個(gè)人，可以列表如下：

根據(jù)表我們可以得出組隊(duì)方法總共有[A36?A36+A36?C12?A22+C26?A33?A22=900]種方法。除了用上述方法外，有時(shí)候也可以采取設(shè)置未知數(shù)解方程式的方法等，但在解題過程中一定要先審題，理解題意后，合理分類，避免遺漏，掌握這些求解方法才能靈活運(yùn)用。

三、總結(jié)

排列組合是組合數(shù)學(xué)中的基本知識點(diǎn)，也是高中數(shù)學(xué)中的重難點(diǎn)。我們必須掌握排列組合問題中的典型類型和解題方法，比如捆綁型問題捆綁法、不相鄰問題插空法和插板法等，同時(shí)靈活運(yùn)用排列組合，才能加深對其的認(rèn)識和了解，達(dá)到更有效解決排列組合問題的目的。

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