幾何畫板技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)探究實(shí)驗(yàn)的創(chuàng)新性應(yīng)用研究
——以“用表格表示數(shù)量之間的關(guān)系”為例

王小磊 邢志新

(1.榮成市第二十三中學(xué)，山東 榮成 264300； 2.榮成市第十四中學(xué)，山東 榮成 264300)

一、案例分析

1.原實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐可行性分析

在魯教版教材六年級(jí)下冊(cè)第九章第一節(jié)的“用表格表示數(shù)量之間的關(guān)系”這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，教材中所設(shè)計(jì)的小車下滑實(shí)驗(yàn)很難實(shí)現(xiàn)，究其原因主要有三方面：一是實(shí)驗(yàn)所需器材種類太多，難以湊齊；二是因?yàn)樵O(shè)備較復(fù)雜，實(shí)驗(yàn)不易成功(受木板寬度所限，小車很容易跑偏；而且實(shí)驗(yàn)對(duì)精度要求很高，受木板長(zhǎng)度所限，小車下滑時(shí)間很短，測(cè)量數(shù)據(jù)誤差很大)；三是做該實(shí)驗(yàn)費(fèi)時(shí)費(fèi)力，探究過程至少需要30 min，妨礙后續(xù)問題的深入探究。更有可能因前期實(shí)驗(yàn)氣氛過于熱鬧，導(dǎo)致結(jié)果草草收?qǐng)觯瑳]有達(dá)到理論的高度，使得數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)流于形式而忽略了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。因此，該實(shí)驗(yàn)在實(shí)際的課堂教學(xué)中用實(shí)物操作很難實(shí)現(xiàn)。在實(shí)際教學(xué)中處理該部分內(nèi)容時(shí)，實(shí)驗(yàn)多停留在教材的描述層面。由于課堂受場(chǎng)地條件的限制，只能用flash課件演示該實(shí)驗(yàn)，學(xué)生僅從電腦模擬的情境中觀察、體驗(yàn)整個(gè)實(shí)驗(yàn)過程，而后直接進(jìn)入“××所在的學(xué)習(xí)小組……”問題串的探究過程。

2.原實(shí)驗(yàn)在教學(xué)中面臨的問題

在實(shí)踐的難度極高時(shí)，能否放棄該實(shí)驗(yàn)的課堂實(shí)踐呢？學(xué)生沒有親手完成實(shí)驗(yàn)的弊端很明顯，主要體現(xiàn)在以下三點(diǎn)：首先，錯(cuò)過培養(yǎng)學(xué)生相互合作、相互配合的時(shí)機(jī)；其次，沒有讓學(xué)生經(jīng)歷探索具體情境中兩個(gè)變量之間關(guān)系的直觀體驗(yàn)，影響對(duì)后面問題的理解和探究；第三，忽略對(duì)學(xué)生收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)并進(jìn)行推斷等能力和思維的培養(yǎng)。

尤其在現(xiàn)行教材安排對(duì)學(xué)生各項(xiàng)意識(shí)和能力的培養(yǎng)要求很強(qiáng)的情況下，教材的各章節(jié)之間相互交叉、相互滲透，互補(bǔ)性極強(qiáng)。如果教師不組織學(xué)生分組完成實(shí)驗(yàn)，那么教學(xué)目標(biāo)的落實(shí)以及學(xué)生動(dòng)手能力的鍛煉、合作精神的培養(yǎng)、統(tǒng)計(jì)意識(shí)的形成，就會(huì)大打折扣。

二、探究與發(fā)現(xiàn)

1.創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)的思路

那么，怎樣能夠做到既解決當(dāng)前困難，又實(shí)現(xiàn)預(yù)期的課堂教學(xué)效果呢？經(jīng)過對(duì)課標(biāo)教材的不懈鉆研，以及對(duì)教學(xué)內(nèi)容的深入挖掘，在忠于教材的編寫意圖并不影響探究結(jié)果的前提下，大膽創(chuàng)新，完成了以下探索研究。

本研究既利用了教材中提供的內(nèi)容，又創(chuàng)造性地使用教材，采用幾何畫板技術(shù)設(shè)計(jì)了一組與教材內(nèi)容相對(duì)應(yīng)的模擬實(shí)驗(yàn)，較好地還原了小車下滑的過程，代替教材中的實(shí)際操作實(shí)驗(yàn)。從而解決了原實(shí)驗(yàn)難以操作的問題，突破了教學(xué)的重、難點(diǎn)，達(dá)到了課堂教學(xué)的期望效果。

2.創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容

為了更全面地比較傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)與幾何畫板模擬實(shí)驗(yàn)的效果，現(xiàn)把本節(jié)教材內(nèi)容和幾何畫板模擬實(shí)驗(yàn)的思路呈現(xiàn)如下。

(1)教材實(shí)驗(yàn)內(nèi)容再現(xiàn)?！痢翆W(xué)習(xí)小組利用同一塊木板進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，記錄了小車從不同高度沿斜放的木板從頂部下滑到底部所用的時(shí)間，得到如表1數(shù)據(jù)。

表1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

支撐物高度為70 cm時(shí)，小車下滑時(shí)間是多少？

如果用h表示支撐物高度，t表示小車下滑時(shí)間，隨著h逐漸變大，t的變化趨勢(shì)是什么？

h每增加10 cm，t的變化情況相同嗎？

估計(jì)當(dāng)h=110 cm時(shí)，t的值是多少？你是怎樣估計(jì)的？

隨著支撐物高度h的變化，還有哪些量發(fā)生變化？哪些量始終不發(fā)生變化？

(2) 模擬創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)思路呈現(xiàn)。

實(shí)驗(yàn)一：改變支撐物的高度并記錄小車下滑時(shí)間。

實(shí)驗(yàn)過程中用同一塊木板，記錄小車從不同高度沿斜放的木板從頂部下滑到底部所用的時(shí)間。

首先讓我們請(qǐng)上三位同學(xué)完成本次實(shí)驗(yàn)：一名同學(xué)負(fù)責(zé)操作實(shí)驗(yàn)；一名同學(xué)負(fù)責(zé)讀數(shù)；一名同學(xué)負(fù)責(zé)記錄。注意：木板每升高10 cm記錄一次。其他同學(xué)一邊觀察一邊在導(dǎo)學(xué)案中完成數(shù)據(jù)的收集與記錄，并思考：在這個(gè)變化過程中的常量與變量分別是什么？自變量與因變量呢？

實(shí)驗(yàn)二：改變斜坡木板長(zhǎng)度并記錄小車下滑時(shí)間。

在支撐物高度一定的情況下，記錄小車沿斜放的不同長(zhǎng)度的木板從頂部下滑到底部所用的時(shí)間。在這個(gè)變化過程中，常量與變量又分別是什么呢？

實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比作用有三：一是對(duì)于四個(gè)量的深入認(rèn)識(shí)；二是前后兩次的對(duì)比實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)常量與變量并不是絕對(duì)的，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)從相對(duì)的角度看待問題；三是體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想。

通過總結(jié)得出結(jié)論：常量和變量并不是絕對(duì)的，常量和變量是對(duì)于某一個(gè)變化過程而言的，同一個(gè)量在不同的問題情境中，可能是常量，也可能是變量。

三、實(shí)驗(yàn)過程與討論

“教師可以引導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)手，讓學(xué)生根據(jù)自己的想法對(duì)幾何畫板進(jìn)行自主操作探究。”[1]通過以上分析探究，筆者及所在教研組在教學(xué)實(shí)踐中幾易其案，編制了以下教學(xué)實(shí)驗(yàn)方案。該方案著眼于學(xué)生發(fā)展，通過三人一組參與實(shí)驗(yàn)，經(jīng)歷“提出問題——收集問題——整理描述數(shù)據(jù)——分析數(shù)據(jù)——發(fā)現(xiàn)結(jié)論——驗(yàn)證結(jié)論”的過程，使學(xué)生既獲得了數(shù)學(xué)知識(shí)，又積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的同步成長(zhǎng)。

1.實(shí)驗(yàn)原理

利用秒表將小車與表格中的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)起來；通過調(diào)整支撐物的高度來改變小車下滑時(shí)間；通過調(diào)整斜坡木板長(zhǎng)度來改變小車下滑時(shí)間。

小車在無阻力的情況下，應(yīng)該是勻加速運(yùn)動(dòng)，按運(yùn)動(dòng)狀態(tài)來說，前面應(yīng)該有一段滑行，此處為了教學(xué)需要到底部就停下來。

2.實(shí)驗(yàn)過程(幾何畫板制作小車滑行)

(1)工具。幾何畫板(5.0以上版本)、小車圖片(一張)。

(2)制作步驟。打開幾何畫板，繪制點(diǎn)A(此時(shí)點(diǎn)A處于被選中狀態(tài))，水平方向平移點(diǎn)A(變換——平移，參數(shù)選擇：極坐標(biāo)、固定距離為1 cm、固定角度為0°、平移)得到點(diǎn)A′，作射線AA′，將射線AA′繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°(變換——旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)參數(shù)中固定角度為90°)得到射線AA″，在射線AA″上取一點(diǎn)C，作線段AC(AC為斜坡的高度，即小車下滑的高度)，將點(diǎn)C向上平移得到點(diǎn)C′,作射線CC′，在射線CC′上取一點(diǎn)D,連接AD(設(shè)定AD長(zhǎng)度為斜坡的長(zhǎng)度，即小車下滑的路程)；以點(diǎn)C為圓心、AD長(zhǎng)為半徑繪制圓C，圓C與射線AA′交于點(diǎn)E，作射線EC(射線EC為小車下滑坡面)；以點(diǎn)C為圓心CC′為半徑作圓。

(3)安裝小車。將線段CE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE′，在線段CE′上取一點(diǎn)H,經(jīng)平移旋轉(zhuǎn)得到H′、H″。將小車圖片固定于C、H、H″位置，再按標(biāo)記向量CG平移，此時(shí)拖動(dòng)點(diǎn)F可以看到小車移動(dòng)。選中點(diǎn)C處小車：右擊—屬性—不透明度改為50%。

(4)制作秒表。準(zhǔn)備秒表圖片(將圖片置于底層)，繪制一點(diǎn)O，將點(diǎn)O向上平移2 cm得到點(diǎn)O′,作線段OO′，選中線段OO′。計(jì)算秒針旋轉(zhuǎn)角度α。

(5)制作表格。依次選中支撐物體高度/厘米、斜坡長(zhǎng)度/厘米、小車下滑時(shí)間/秒，菜單中選數(shù)據(jù)—制表即可(說明：點(diǎn)C和點(diǎn)D均可分別自由調(diào)整高度和斜坡)。

四、理論依據(jù)和實(shí)踐意義

1.幾何畫板在教學(xué)中應(yīng)用的特點(diǎn)

幾何畫板易于掌握，使用幾何畫板可以增加教學(xué)中的師生互動(dòng)，幾何畫板的運(yùn)用使抽象、枯燥的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)變得直觀、形象，讓學(xué)生通過自己動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的方法，獲得探索變量之間關(guān)系的體驗(yàn)，并進(jìn)一步發(fā)展了學(xué)生的符號(hào)感，使其能在具體情境中初步認(rèn)識(shí)變量——自變量和因變量，從而使學(xué)生學(xué)會(huì)收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)及由數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷的思考方式。同時(shí)我們應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，幾何畫板的特征是動(dòng)態(tài)性，它可以準(zhǔn)確地闡釋數(shù)學(xué)理論，但是在此過程中，需要教師正確地指導(dǎo)，如果在教學(xué)實(shí)踐中出現(xiàn)失誤，數(shù)學(xué)理論就不能被準(zhǔn)確地表達(dá)出來。這就需要我們教師平時(shí)苦練內(nèi)功，增加自身的知識(shí)素養(yǎng)，只有這樣才能正確地利用幾何畫板，提升數(shù)學(xué)探究實(shí)驗(yàn)的效率。

2.利用數(shù)形結(jié)合，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率

在以往的教學(xué)實(shí)驗(yàn)中，因?qū)嶒?yàn)器材及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的固定性，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中往往難以理解，這種不理解的累積，極大地挫傷了學(xué)生對(duì)教學(xué)實(shí)驗(yàn)的興趣，導(dǎo)致其學(xué)習(xí)效率難以提高。而幾何畫板作為一個(gè)教學(xué)中非常有用的教具，具有動(dòng)態(tài)性特征，打破了傳統(tǒng)教學(xué)實(shí)驗(yàn)的固定性，將數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式應(yīng)用其中，明顯增加了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的興趣。因?yàn)橛袑W(xué)生的親自動(dòng)手參與，使其對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有了更加深入的了解，能更加準(zhǔn)確把握實(shí)驗(yàn)的精髓，加深對(duì)數(shù)學(xué)理論的理解，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

幾何畫板的幾大好處是：通過動(dòng)畫和數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)性變化，能夠使枯燥、抽象的數(shù)學(xué)概念生動(dòng)地展現(xiàn)給學(xué)生[2]；能夠幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)理論；能夠讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)更加生動(dòng)活潑；因?yàn)槠淙菀渍莆眨梢栽鰪?qiáng)師生互動(dòng)，讓學(xué)生通過自己動(dòng)手來提高對(duì)實(shí)驗(yàn)的興趣。

3.實(shí)驗(yàn)創(chuàng)新對(duì)本節(jié)課程的教學(xué)意義

正如《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中所要求的讓學(xué)生“動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流”，本實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)以上述思想為出發(fā)點(diǎn)，在兩個(gè)對(duì)比實(shí)驗(yàn)的操作環(huán)節(jié)中以實(shí)驗(yàn)法教學(xué)為主，讓學(xué)生在動(dòng)手操作中獲取知識(shí)；在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析和預(yù)測(cè)環(huán)節(jié)，以談?wù)摲ê蛶缀萎嫲寮夹g(shù)相結(jié)合的教學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生的思考與分析能力。在整個(gè)教學(xué)過程中讓學(xué)生保持強(qiáng)烈的好奇心和求知欲，使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，通過親自參與、經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，在掌握基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中應(yīng)用的魅力。

4.實(shí)驗(yàn)創(chuàng)新對(duì)實(shí)驗(yàn)應(yīng)用的實(shí)踐意義

本實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)可多次應(yīng)用以達(dá)到不同的目的。

首先，本設(shè)計(jì)可用于翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)的課前預(yù)習(xí)。學(xué)生可根據(jù)導(dǎo)學(xué)提綱預(yù)習(xí)本節(jié)內(nèi)容，對(duì)本節(jié)重點(diǎn)和難點(diǎn)知識(shí)進(jìn)一步加深理解；甚至可以提前嘗試完成練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生自覺學(xué)習(xí)的好習(xí)慣，又可以減輕教師課堂教學(xué)的壓力。

其次，本設(shè)計(jì)可用于課堂的教學(xué)之中。通過操作實(shí)驗(yàn)，解決學(xué)生在預(yù)習(xí)過程中出現(xiàn)的疑問和障礙，對(duì)于本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，模擬實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生深入探究思考，逐一突破。

最后，本設(shè)計(jì)還可以用于課后的知識(shí)梳理中。學(xué)生在課堂教學(xué)中，可能對(duì)一部分重難點(diǎn)知識(shí)掌握得不是太好，本設(shè)計(jì)可以反復(fù)操作，很容易就達(dá)成他們的學(xué)習(xí)目標(biāo)，是課后查漏補(bǔ)缺的工具和鞏固知識(shí)的途徑。

五、結(jié)論與建議

幾何畫板可以很生動(dòng)地把用表格表示數(shù)量之間關(guān)系的、抽象枯燥的實(shí)驗(yàn)理論表現(xiàn)出來；運(yùn)用測(cè)量、計(jì)算、數(shù)形結(jié)合功能，準(zhǔn)確地表達(dá)用表格表示數(shù)量之間的關(guān)系實(shí)驗(yàn)中兩個(gè)變量之間的關(guān)系。課堂實(shí)踐證明，通過師生互動(dòng)，讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)、動(dòng)手，會(huì)比簡(jiǎn)單的記憶練習(xí)有效得多；同時(shí)，幾何畫板的應(yīng)用需要教師正確的指導(dǎo)，這就需要教師平時(shí)苦練內(nèi)功，增加自身的知識(shí)素養(yǎng)。雖然幾何畫板在實(shí)驗(yàn)教學(xué)方面有非常大的優(yōu)勢(shì)，但是，也不能完全否定傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)教學(xué)方式，某些方式依然在學(xué)習(xí)中有著不可替代的作用。所以我們不能僅僅因?yàn)橐脦缀萎嫲?，而忽略傳統(tǒng)的教學(xué)方式，有時(shí)候傳統(tǒng)教學(xué)方式能更好地幫助我們實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)[3]。這就需要運(yùn)用我們的經(jīng)驗(yàn)和智慧，不能讓現(xiàn)代技術(shù)束縛我們的思想。

[1] 車錦陽.幾何畫板優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)的案例淺析[J].教育現(xiàn)代化，2016(29)：344.

[2] 劉培山.試分析初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何畫板的教學(xué)[J].教育教學(xué)論壇，2015(29)：279-280.

[3] 耿秀榮，唐劍嵐.“幾何畫板”在定積分概念變式教學(xué)中的應(yīng)用[J].攀枝花學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，28(3)：78-80.