教學(xué)一道例題后的思考

廣東江門市江海區(qū)外海街道中心小學(xué)（529000） 林早星

一、猜想、驗(yàn)證

生：可以利用通分的方法、假設(shè)法、畫圖的方法。

師：可以通過畫圖把計算幾個部分的和轉(zhuǎn)化為求一個正方形減去空白部分所的差。

接下來，讓學(xué)生通過計算發(fā)現(xiàn)和的規(guī)律：隨著加數(shù)越來越多，和就越來越接近1。這個“無限”的概念非常抽象，學(xué)生不易理解，教師可以出示一個圓，或一條線段，或一個正方形，讓學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義表示這些加數(shù)，使學(xué)生直觀地看到最終的結(jié)果是“1”。

例題探究到這里，學(xué)生已經(jīng)能感受到數(shù)形結(jié)合和極限的數(shù)學(xué)思想，基本上達(dá)到了教學(xué)目標(biāo)。但是學(xué)生會不會受“無限”這個概念的影響，認(rèn)為只要后面的每個分?jǐn)?shù)是前一個分?jǐn)?shù)的且一直加下去，結(jié)果都是1呢？于是，筆者認(rèn)為很有必要進(jìn)行以下的探究。

二、再猜想、再驗(yàn)證

【教學(xué)片段2】師：受這道題的啟發(fā)，你能不能大膽猜想一下“幾個分?jǐn)?shù)相加，如果前一個分?jǐn)?shù)是后一個分?jǐn)?shù)的2倍，求它們的和，怎樣計算比較簡便？

生1：幾個分?jǐn)?shù)相加，如果前一個分?jǐn)?shù)是后一個分?jǐn)?shù)的2倍，求它們的和，只要用1減去最后一個分?jǐn)?shù)就行了。

師：這個猜想正確嗎？

生2：以為例，可發(fā)現(xiàn)猜想錯誤。

師：還能提出新的猜想嗎？

生3：如果前一個分?jǐn)?shù)是后一個分?jǐn)?shù)的2倍，求這樣一組分?jǐn)?shù)的和，只要用第一個分?jǐn)?shù)的2倍減去最后一個分?jǐn)?shù)。

由于經(jīng)歷了再猜想、再驗(yàn)證，學(xué)生通過畫圖、舉例驗(yàn)證，比較兩個猜想的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)關(guān)于例題的猜想只適用于特殊情況，這個新猜想才更具有普遍性。

【思考】

1.引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合（畫圖操作），感受用形解決數(shù)的有關(guān)問題的直觀性與簡捷性

幾何直觀符合小學(xué)生的思維特點(diǎn)，是最常用的一種解決問題的策略。對于的計算結(jié)果，有的學(xué)生會說最終的結(jié)果無限接近于1，但永遠(yuǎn)不可能為1。事實(shí)上，對于任一有限和“都可以通過再減一項得到更小的數(shù)，這正是極限的核心思想。畫圖可以使數(shù)學(xué)問題變得直觀明了，“圖”應(yīng)成為學(xué)生表征思維過程的重要方式，用“圖”幫助思考應(yīng)成為學(xué)生的習(xí)慣。

2.引導(dǎo)學(xué)生掌握推理的方法，確保結(jié)論的正確性

歸納推理必須注意兩條要求：（1）枚舉的數(shù)量要足夠多,考察的范圍要足夠廣。（2）考察有無反例。在數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)上，要引導(dǎo)學(xué)生猜想有限項的規(guī)律并加以驗(yàn)證、歸納，總結(jié)出“通用模式”。這樣的結(jié)論才更具有普遍性，學(xué)生也能在這個學(xué)習(xí)的過程中體會和掌握歸納推理的思想和方法。

3.引導(dǎo)學(xué)生從不同角度探索數(shù)與形的通用模式，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

小學(xué)階段的學(xué)習(xí)，雖然不要求學(xué)生寫出一個數(shù)列的通式，但學(xué)生可以通過數(shù)形結(jié)合的方法，利用圖形的規(guī)律，用自己的語言描述數(shù)列的通用模式。學(xué)生通過計算發(fā)現(xiàn)的和越來越趨向于1，感受到“無限接近”，雖然無法一一列舉所得結(jié)果，但學(xué)生可以利用觀察得出的規(guī)律進(jìn)行“無窮無盡”的類推，從而體會極限的思想。

綜上，以“前一個分?jǐn)?shù)是后一個分?jǐn)?shù)的2倍的分?jǐn)?shù)加法算式求和”這一知識為載體，運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”和“數(shù)形結(jié)合”的方法，能使學(xué)生經(jīng)歷“猜想——驗(yàn)證——再猜想——再驗(yàn)證”的科學(xué)探究過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律形成的過程，感悟探究數(shù)學(xué)規(guī)律的一般方法。