一個優(yōu)美不等式的簡潔證法

安徽省蕪湖市沈巷中學

何業(yè)亮 (郵編：241012)

安振平老師在文[1]提出二十六個優(yōu)美不等式，其中第五個為：

彭代元老師在文[2]中利用Schur不等式證明了該不等式，筆者認為此法有兩大弊端：一是證明過程相當復雜，對思維能力和運算能力要求極高；二是條件x+y+z=1的使用，不僅給人一種“太突然”的感覺，也讓人無法從中提煉出一般性的方法或技巧.本文給出第五個優(yōu)美不等式問題的一種簡潔證法，僅供大家參考.

證明因x、y、z為正實數(shù)，且x+y+z=1，

①

②

注意到安振平老師在文[3]中提出的恒等式：

(xy+yz+zx)(x+y+z)=(x+y)(y+z)(z+x)+xyz，

所以原不等式成立.

評述利用條件1=x+y+z，在①、②兩處實現(xiàn)齊次化，是此種證法的關(guān)鍵.齊次化是證明不等式的一種技巧，更是一種方法，它在高考和競賽中占有一席地位.下面給出幾道題，供大家應驗：

1(第29屆俄羅斯數(shù)學奧林匹克)設a、b、c∈R+，且a+b+c=1，證明：

1 安振平．二十六個優(yōu)美不等式[J]．中學數(shù)學教學參考(上旬)，2010，1-2

2 彭代元．利用Schur不等式證明兩個“優(yōu)美不等式”[J]．數(shù)學教學通訊，2011(7)

3 安振平．三個無理不等式之間的鏈接[J]．中學數(shù)學月刊，2011(7)