有關(guān)復(fù)數(shù)模的一道不等式

福建省福州市第二十四中學(xué)

楊學(xué)枝 (郵編：350015)

本文給出有關(guān)復(fù)數(shù)模的一道不等式.

定理(自創(chuàng)題，2017.11.15)設(shè)z1、z2、z3∈C，求證：

|z1|+|z2|+|z3|-(|z2+z3|+|z3+z1|+|z1+z2|)+|z1+z2+z3|≥0.

證明先給出并證明證明以下恒等式,并作為引理.

引理設(shè)a、b、c∈C，則

(|a|+|b|+|c|-|b+c|-|c+a|-|a+b|+|a+b+c|)·(|a|+|b|+|c|+|a+b+c|)

=(|b|+|c|-|b+c|)·(|a|-|b+c|+|a+b+c|)

+(|c|+|a|-|c+a|)·(|b|-|c+a|+|a+b+c|)

+(|a|+|b|-|a+b|)·(|c|-|a+b|+|a+b+c|).

證明記x=|a|+|b|+|c|,y=|a+b+c|,則

原式左邊=(x+y-∑|b+c|)(x+y)=(x+y)2-(x+y)∑|b+c|;

原式右邊=∑(x-|a|-|b+c|)(y+|a|-|b+c|)

=3xy+x(x-∑|b+c|)-y(x+∑|b+c|)-∑(|a|2-|b+c|2)

=3xy+x2-xy-(x+y)∑|b+c|-∑|a|2+∑|b+c|2

=x2+2xy-(x+y)∑|b+c|+(a+b+c)2

=x2+2xy+y2-(x+y)∑|b+c|=(x+y)2-(x+y)∑|b+c|;

左邊=右邊,故引理成立.

下面就來證明原不等式.

根據(jù)絕對值不等式，有

|b|+|c|-|b+c|≥0，|c|+|a|-|c+a|≥0，|a|+|b|-|a+b|≥0；

|a|-|b+c|+|a+b+c|=|a+b+c|+|-a|-|b+c|≥|b+c|-|b+c|=0，

同理有

|b|-|c+a|+|a+b+c|≥0，|c|-|a+b|+|a+b+c|≥0；

另外，又根據(jù)引理，便得到

(|a|+|b|+|c|-|b+c|-|c+a|-|a+b|+|a+b+c|)·(|a|+|b|+|c|+|a+b+c|)

=(|b|+|c|-|b+c|)·(|a|-|b+c|+|a+b+c|)

+(|c|+|a|-|c+a|)·(|b|-|c+a|+|a+b+c|)

+(|a|+|b|-|a+b|)·(|c|-|a+b|+|a+b+c|)≥0，

故知原命題成立.

若在定理中取特例,令|z1|=|z2|=|z3|=1，則有以下

命題(自創(chuàng)題，2017.11.15)α,β為任意實數(shù)，則

3[|cosα|+|cosβ|+|cos(α+β)|]≥3+2[|cosβcos(α+β)|+|cos(α+β)cosα|+|cosαcosβ|].

證明在定理中設(shè)zi=cosαk+isinαk，αi∈[0,2π],k=1,2,3，便得到

經(jīng)整理，即等價于

①

經(jīng)整理，有

注由本定理證明再次說明了恒等式在證明不等式時的應(yīng)用.

最后,筆者提出以下

猜想 設(shè)zi∈C,i=1,2,···,n,求證:

我們希望能看到對以上猜想的初等證明.筆者猜測,可能存在有一個類似于引理1的恒等式.