一道2017年越南數(shù)學(xué)奧林匹克試題的推廣

安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院

江媛瑤 郭要紅 (郵編：241000)

1 引言

2017年越南數(shù)學(xué)奧林匹克一試題是：

已知a、b、c是滿足a+b+c=1的正數(shù)，求證：

①

文[1]給出了上式的一個(gè)證明，并將不等式推廣為：

已知a,b,c是滿足a+b+c=1的正數(shù)，n是正整數(shù)，求證：

考慮不等式①的其他形式的推廣，得到：

定理已知a、b、c是滿足a+b+c=1的正數(shù)，k為非負(fù)整數(shù)，則

②

2 主要結(jié)論的證明

證明先證明

③

因?yàn)閍2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=1-2x，

a4+b4+c4=(a2+b2+c2)2-2(a2b2+b2c2+c2a2)

=(a2+b2+c2)2-2[(ab+bc+ca)2-2abc(a+b+c)]=1-4x+2x2+4y，所以

再證明不等式②.

因?yàn)閗≥1，所以函數(shù)f(x)=xk是(0,+)內(nèi)的凸函數(shù)，根據(jù)Jensen不等式，有

④

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí).

3 討論

當(dāng)k=1時(shí)，不等式②即為不等式①，所以不等式②是不等式①的推廣.

從上述證明過(guò)程可以看出，不等式②對(duì)k≥1的實(shí)數(shù)也成立.

1 陳一君. 若干2017年國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克不等式題的精彩證明[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西)，2017(4)：46-47

2 匡繼昌.常用不等式(第三版)[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004:61-62